2022年高中数学典型例题解析平面解析几何初步 .docx

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1、精品_精品资料_高中数学典型例题分析一、学问导学1. 两点间的距离公式: 不管 A x 1, y 1 , B x 2, y 2 在坐标平面上什么位置,都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d=|AB|= x1x 2 y1y 2,特殊的,与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2 x 1| 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22|AB|=|y 2- y 1|.2. 定比分点公式 : 定比分点公式是解决共线三点 A x 1, y 1 ,B x 2, y 2 , P x , y 之间数量关系的一个公式,其中的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比. 这里起点、分点

2、、终点的位置是可以任意挑选的,一旦选定后的值也就随之确定了 . 假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 A 为起点, B 为终点, P 为分点,就定比分点公式是x x1 1y y11x2. 当 P 点为 AB的中点y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x时, =1,此时中点坐标公式是y3. 直线的倾斜角和斜率的关系x1x22.y1y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1每一条直线都有倾斜角,但不肯定有斜率.2斜率存在的直线,其斜率k 与倾斜角之间的关系是k =tan . 4确定直线方程需要有两个相互独

3、立的条件.直线方程的形式许多,但必需留意各种形式的直线方程的适用范畴.名称方程说明适用条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜截式ykxbk 为直线的斜率b 为直线的纵截距倾斜角为 90的直线不能用此式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点斜式yy0k xx0 x0 , y0 为直线上的已知点, k 为直线的斜率倾斜角为 90的直线不能用此式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点式yy1xx1=y2y1x2x1 x1 , y1 , x2 , y2 是直与两坐标轴平行的直线不能用此式可编辑资料 - - - 欢

4、迎下载精品_精品资料_截距式xy+=1ab线上两个已知点a 为直线的横截距b 为直线的纵截距过 0, 0及与两坐标轴平行的直线不能用此式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式AxByC0,分别BABA、B 不全为零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为斜率、横截距和纵截距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 两条直线的夹角. 当两直线的斜率k , k 都存在且 k k -1时,tan = k 2k1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1

5、2121k1k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当直线的斜率不存在时,可结合图形判定. 另外仍应留意到： “到角”公式与“夹角”公式的区分 .6. 怎么判定两直线是否平行或垂直？判定两直线是否平行或垂直时,假设两直线的斜率都存在, 可以用斜率的关系来判定.假设直线的斜率不存在,就必需用一般式的平行垂直条件来判定 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1斜率存在且不重合的两条直线l 1 yk1xb1 , l 2 yk2 xb2 ,有以下结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 l 2k1= k2 ,

6、且 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 l 2k1k2 = -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2对于直线 l 1A1 xB1yC10 , l 2 A2 xB2 yC20 ,当 A 1, A 2, B 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B 2 都不为零时,有以下结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 l 2A1 = B1 C1 A2B2C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 l 2A 1 A

7、 2+ B 1 B 2 = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 与 l 2 相交A1 B1 A2B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 与 l 2 重合A1 = B1 A2B2= C1C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 点到直线的距离公式.1已知一点 P x0 , y0 及一条直线 l ： AxByC0 ,就点 P 到直线 l 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d=

8、 | Ax0By0C |.A2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 两 平 行 直 线 l 1:AxByC10 ,l 2:AxByC20 之 间 的 距 离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d= | C1C2 | .A2B 28. 确定圆方程需要有三个相互独立的条件.圆的方程有两种形式,要知道两种形式之间的相互转化及相互联系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1圆的标准方程： x半径.a 2 yb 2r 2 ,其中 a ,b是圆心坐标, r 是圆的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

9、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2圆的一般方程：x2y2DxEyF0 D 2E 24F 0,圆心坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 -D , -2E ,半径为 r =D22E 24F.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、疑难学问导析1. 直线与圆的位置关系的判定方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1方法一直线： AxByC0 .圆： x2y 2DxEyF0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AxByC0消元判别式 0

10、相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2DxEyF0一元二次方程 b24ac 0相切 0相离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2方法二直线:Ax直线的距离为ByCdr0 .圆： x相离a 2 yb 2r 2 ,圆心 a , b到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| Aad=BbC |dr相切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2B2dr相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为r 1, r 2, |O 1

11、O2| 为圆心距,就两圆位置关系如下：|O1 O2 | r 1+ r 2两圆外离.|O1 O2 |= r 1+ r 2两圆外切.|r 1- r 2|O 1O2| r 1+ r 2两圆相交.| O 1O2 |=|r 1- r 2|两圆内切. 0| O 1O2|r 1- r 2|两圆内含 . 三、经典例题导讲例 1 直线 l 经过 P2,3 , 且在 x,y轴上的截距相等 , 试求该直线方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错解 ：设直线方程为 : xay1 , 又过 P2,3, 2ba31 , 求得 a=5b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线方程为 x+y-5

12、=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错因 ：直线方程的截距式:xa形.y1 的条件是 : a 0 且 b 0, 此题忽视了 ab b0 这一情可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正解 ：在原解的基础上, 再补充这样的过程 : 当直线过 0,0时, 此时斜率为 : k303 ,202直线方程为 y= 3 x2综上可得 : 所求直线方程为 x+y-5=0 或 y= 3 x .2例 2 已知动点 P 到 y 轴的距离的 3 倍等于它到点 A1,3 的距离的平方 , 求动点 P 的轨迹方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错解 ：设动点 P 坐标为 x,

13、y.由已知 3 x x12 y3 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2化简 3 x =x-2x+1+y-6y+9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 x 0 时得 x当 x 0 时得 x-5x+y22+ x+y-6y+10=0 .22-6y+10=0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错因 ：上述过程清晰点到y 轴距离的意义及两点间距离公式, 并且正确应用肯定值定义将方程分类化简 , 但进一步争论化简后的两个方程, 配方后得5222112232

14、+y-3=4和 x+2 +y-3= -4x-两个平方数之和不行能为负数, 故方程的情形不会显现.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_52221122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正解：接前面的过程 , 方程化为 x- 2 +y-3=4 , 方程化为 x+ 2 +y-3= -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34 , 由于两个平方数之和不行能为负数, 故所求动点 P 的轨迹方程为 : x-x 0522122 +y-3=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222例 3 m是什么数时,关于x,

15、y的方程 2m+m-1x +m-m+2y +m+2=0的图象表示一个圆？22错解： 欲使方程 Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要A=C 0,222得 2m+m-1=m-m+2,即 m+2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3 ,22当 m=1 或 m=-3 时, x 和 y 项的系数相等,这时,原方程的图象表示一个圆22错因： A=C,是 Ax +Cy +F=0 表示圆的必要条件,而非充要条件,其充要条件是：F A=C 0 且A 0.22正解： 欲使方程 Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要A=C 0,222得 2m+m-1=m-m+2,即 m+2m-3=0,解得 m1=1,m2=-

16、3 ,22(1) 当 m=1时,方程为 2x +2y =-3 不合题意,舍去 .22221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 当 m=-3 时,方程为 14x+14y =1, 即 x +y =14 , 原方程的图形表示圆 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 4 自点 A-3 , 3 发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆x +y -4x-4y+7 0 相切,求光线 L 所在的直线方程 .错解： 设反射光线为 L, 由于 L 和 L关于 x 轴对称, L 过点 A-3 ,3 ,点 A 关于 x 轴的对称点 A -3 , -

17、3 ,于是 L过 A-3 ,-3.22设 L的斜率为 k,就 L的方程为 y-3k x-3,即 kx-y+3k-3 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知圆方程即 x-2+y-2 1,圆心 O的坐标为 2 , 2 ,半径 r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 L和已知圆相切,就O到 L的距离等于半径r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k23k3即k 2125k51k 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得 12k -25k+12 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 k4L的方程为 y+3 34 x

18、+33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 4x-3y+3 0因 L 和 L关于 x 轴对称故 L 的方程为 4x+3y+3 0.错因： 漏解正解： 设反射光线为 L, 由于 L 和 L关于 x 轴对称, L 过点 A-3 ,3 ,点 A 关于 x 轴的对称点 A -3 , -3 , 于是 L过 A-3 ,-3.设 L的斜率为 k,就 L的方程为 y-3k x-3,即 kx-y+3k-3 0,京翰训练:/zgjhjy/可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知圆方程即 x-22+y-22 1,圆心 O的坐标为 2 , 2

19、,半径 r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 L和已知圆相切,就O到 L的距离等于半径r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k23k3即k 2125k51k 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得 12k -25k+12 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 k4 或 k 33443可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_L的方程为 y+3x+3;或 y+3 3x+3 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 4x-3y+3 0 或 3x-4y-3 0因 L 和 L关于 x 轴对称故 L 的方程为

20、 4x+3y+3 0 或 3x+4y-3 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5求过直线 x2 y40 和圆 x 2y22x4 y10的交点, 且满意以下条件之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一的圆的方程：（ 1） 过原点.2有最小面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设所求圆的方程是：x 2y 22x4 y1x2 y40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： x2y 21由于圆过原点,所以142x2 20 ,即14y140可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故

21、所求圆的方程为：x2y 27 x47 y0 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 将圆系方程化为标准式,有：22x2y225242455可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当其半径最小时,圆的面积最小,此时2为所求 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故满意条件的圆的方程是22x4y84 .555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：1直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较便利.当然也可以待定系数法.2面积最小时即圆半径最小.也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆

22、面积最小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 06 年辽宁理科 已知点 Ax1 , y1 ,Bx2 , y2 x1x2 0是抛物线 y 22 px p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2上的两个动点, O是坐标原点,向量OA,OB 满意 OAOB OAOB . 设圆 C 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程为 x 2y x1x2 x y1y2 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1证明线段 AB 是圆 C 的直径.可编辑资料 -

23、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当圆 C 的圆心到直线x2 y0 的距离的最小值为25 时,求 p 的值.225可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1证明 OAOB OAOB , OAOB OAOB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得：OA OB 0x1x2 y1 y2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Mx, y 是以线段 AB为直径的圆上的

24、任意一点,就MA MB 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即xx1 xx2 yy1 yy2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得： x 2y x1x2 x y1y2 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故线段 AB是圆 C 的直径 .2设圆 C 的圆心为 C x, y ,就x x1x2 2y y1y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 y122 px1, y22 px2 p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 x xy1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_124 p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 x1 x2 y1 y2 0,x1x2 y1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 y yy1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_124 p 2 x1 x2 0, y1 y2 02 y1 y2 4 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1x2 21 y 214 py 2 12 y14 p22 y y 1y y 4 p可编

26、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y212121 y 22 p2 p 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2所以圆心的轨迹方程为ypx2p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆心 C 到直线 x2 y0 的距离为,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| x2 y |p| yp 2p 2 |555p| 1 y 22 p 2 2 y |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

27、 - 欢迎下载精品_精品资料_当 y p 时,有最小值 p 2.四、典型习题导练p,由题设得5p2555yAy=2x+b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 直线3xy2 30 截圆x2y 24 得的劣弧所对的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心角为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 6B. 42C. 32D. 2O1xB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知直线 x=aa 0 和圆 x-1 2A.5B.4C.3+y =4 相切 ,那么 a 的值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23. 假如实数 x、 y 满

28、意等式 x-2为：.+y ,就y的最大值x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设正方形 ABCDA、B、C、D 顺时针排列的外接圆方程为x +y -6x+a=0 a9, C、 D 点所在直线 l 的斜率为 1 .31求外接圆圆心 M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率.2假如在 x 轴上方的 A、 B 两点在一条以原点为顶点,以x 轴为对称轴的抛物线上, 求此抛物线的方程及直线l 的方程.3假如 ABCD的外接圆半径为25 ,在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线l 的方程 .225. 如图,已知圆 C：x+4 +y =4

29、.圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切.圆 D 与 y 轴交于A、B 两点,点 P 为-3 , 0.1假设点 D坐标为 0, 3,求 APB的正切值.2当点 D 在 y 轴上运动时,求APB的正切值的最大值.3在 x 轴上是否存在定点Q,当圆 D在 y 轴上运动时, AQB是定值？假如存在,求出点 Q坐标.假如不存在,说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、学问导学1. 椭圆定义：在平面内,到两定点距离之和等于定长定长大于两定点间的距离的动点的轨迹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22. 椭圆的标准方程：xa 2y1 , y22b 2a 22x1

30、 a b 2b0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 椭圆的其次定义: 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个0,1内常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e,那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数e就是离心率椭圆的其次定义与第肯定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式4椭圆的准线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2对于a 2b 21 ,左准线l1 : xa2.右准线ca 2l 2 : xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

31、- - 欢迎下载精品_精品资料_y 2x2对于a 2b 21 ,下准线l1 : ya 2.上准线ca 2l 2 : yc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2pac ca 2c2cb 2焦参数c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 椭圆的参数方程x a cosy bsin 为参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 双曲线的定义：平面内到两定

32、点F1 , F2 的距离的差的肯定值为常数小于F1F2的动可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点的轨迹叫双曲线即MF1MF 22a这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离叫做焦距8. 双曲线的标准方程及特点：1双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点 y 轴上两种：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2y 2a0b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点在轴上时双曲线的标准方程为：1 , .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2yy 2

33、x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点在轴上时双曲线的标准方程为：1 a0 , b0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a,b,c 有关系式 c2a 2b 2 成立,且 aa 20, bb 20, c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 a 与 b 的大小关系 : 可以为 ab, ab, ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 焦点的位置 : 从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2y2x 、 项的分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_母的大小来确定, 分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是依据项的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正负来