2022年高中数学函数解题技巧与方法 .docx

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1、精品_精品资料_专题 1函数 理科一、考点回忆1. 懂得函数的概念,明白映射的概念.2. 明白函数的单调性的概念,把握判定一些简洁函数的单调性的方法.3. 明白反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简洁函数的反函数.4. 懂得分数指数幂的概念,把握有理指数幂的运算性质,把握指数函数的概念、图象和性质.5. 懂得对数的概念,把握对数的运算性质,把握对数函数的概念、图象和性质.6. 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简洁的实际问题.二、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象函数的性质是争论初等函数的基石,也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深化懂得上下功夫复

2、习函数的性质,可以从“数 ”和“形”两个方面,从懂得函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判定和证明函数的性质的问题中得以稳固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化详细要求是：1. 正确懂得函数单调性和奇偶性的定义,能精确判定函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性, 能娴熟运用定义证明函数的单调性和奇偶性2. 从数形结合的角度熟悉函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特点的懂得和运用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法3. 培育同学用运动变化的观点分析问题,提高同学用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的才能这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深化懂得

3、函数的单调性只能在函数的定义域内来争论函数y fx 在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不肯定是函数在定义域上的整体性质函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制对函数奇偶性定义的懂得,不能只停留在 f x f x 和 f x fx 这两个等式上, 要明确对定义域内任意一个 x,都有 f x f x , f x f x的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件稍加推广,可得函数f x的图象关于直线 x a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x ,都有 fx a f a x成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的

4、反映这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用依据已知条件,调动相关学问,挑选恰当的方法解决问题,是对同学才能的较高要求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的图象是函数性质的直观载体,函数的性质可以通过函数的图像直观的表现出来.因此,把握函数的图像是学好函数性质的关键,这也正是“数形结合思想”的表达.复习函数图像要留意以下方面.1. 把握描画函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法2. 会利用函数图象,进一步争论函数的性质,解决方程、不等式中的问题3. 用数形结合的思想、分类争论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题4. 把握学问之间的联系,进一步培育观看、分析、归纳、概括和

5、综合分析才能以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,把握这两种方法是本节的重点运用描点法作图象应防止描点前的盲目性,也应防止盲目的连点成线要把表列在关键处,要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范畴、大致特点、变化趋势等作一个大致的争论而这个争论要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换这也是个难点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 设 a 0,求函数f xxln xa x 0 , 的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

6、- - 欢迎下载精品_精品资料_分析：欲求函数的单调区间,就须解不等式f x0 递增 及 f x0 递减 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： f x12x1 x xa0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 0, x 0 时fx 0x 2 2 a 4 x a2 0 , fx 0x 2 2 a 4 x a2 0 当 a 1 时,对全部 x 0,有x 2 2a 4 x a2 0,即 fx 0 ,此时 f x 在0 , 内单调递增 当 a 1 时,对 x 1,有x 2 2 a 4 x a 2 0 ,即 fx 0 ,

7、此时 f x 在0 , 1 内单调递增,在 1, 内单调递增 又知函数 f x在 x 1 处连续,因此,函数f x 在0, 内单调递增 当 0 a 1 时,令 f x 0 ,即x 2 2 a 4 x a 2 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 x2a21a ,或 x2a2 1a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,函数 f x 在区间0 ,2a2 1a）内单调递增,在区间2a2 1a ,）内也单调递可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增令 fx 0 ,即 x 2 2 a 4 x a 2 0 ,

8、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 ： 2a2 1ax2a21a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,函数 f x 在区间 2a2 1a ,2a21a）内单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：本小题主要考查导数的概念和运算,应用导数争论函数性质的方法及推理和运算才能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2已 知 a0 , 函 数f x1 x , x x0, . 设 02x1, 记 曲线 y af x 在 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M x1 , f x1

9、 处的切线为 l . 求 l 的方程. 设 l 与 x 轴交点为 x2 ,0 .证明：x1 02.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 假设ax111,就 x1x2aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 分析：欲求切线 l 的方程,就须求出它的斜率,依据切线斜率的几何意义便不难发觉,问题归结为求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 yf x 在点M x1 ,f x1 的一阶导数值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：求f x的导数：f x1,由此得切线 l 的方程：x2可编辑资料 - -

10、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1ax1 x11 xx 2x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 分析： 要求x2 的变化范畴, 就须找到使x2 产生变化的缘由, 明显,x2 变化的根本缘由可归结为x1 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变化,因此,找到x2与x1 的等量关系式,就成.欲比较x2 与x1 的大小关系,判定它们的差的符号即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可.证：依题意,切线方程中令y 0,可

11、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x1 1ax1x1x1 2ax12,其中 0x1.2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 由 0x12 , x ax1 2ax1, 有x20,及x2a x11 21aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 x21 ,当且仅当 x a1 时, x1 .21a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当x11时, ax1a11,因此, x2x1 2ax1 1x1,且由, x2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x1x2.a点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法,考查不等式的基本性质,

12、以及分析和解决问题的才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 、 函数 y 11的图象是 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析一：该题考查对 fx1图象以及对坐标平移公式的懂得,将函数 yx11的图形变形到y ,xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即向右平移一个单位,再变形到y1即将前面图形沿 x 轴翻转,再变形到y x11 1 ,从而x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到答案

13、 B.解析二：可利用特殊值法,取x 0 ,此时 y 1 ,取 x 2 ,此时 yB .答案： B点评： 1、挑选题要留意利用特值排除法、估值排除法等.2 、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判定出函数的标准模型,并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型.考点二：二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简洁又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数, 可以以它为素材来争论函数的单调性、奇偶性、最值等性质,仍可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系.作为抛物线,可以联系其它平面曲线争论相互之间关系.这些纵横联系,使得环绕二次函数可以编制出层出不穷、敏捷多变的数学问

14、题.同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学进展紧密联系, 是同学进入高校连续深造的重要学问基础. 因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁显现,也就不足为奇了 .学习二次函数,可以从两个方面入手：一是解析式,二是图像特点. 从解析式动身,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的才能反映出一个人的基本数学素养.从图像特点动身,可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种特别重要的思想方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 设 二 次 函 数 fxax 21bxc a0, 方 程 fxx0 的 两 个 根 x1 , x2 满 足可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品_精品资料_0x1x2.当 xa0, x1时,证明 xfxx1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：在已知方程fxx0 两根的情形下,依据函数与方程根的关系,可以写出函数fxx 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表达式,从而得到函数f x的表达式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：由题意可知f xxa xx1 xx2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xa xx1 x1 x1x2,ax2 0 ,可编辑资料 - - - 欢

16、迎下载精品_精品资料_当 x0, x1时, f xx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f xx1a xx1 xx2 xx1 xx1 axax21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx10,且axax211ax20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx1 ,综上可知,所给问题获证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：此题主要利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式ya xx1xx2 . .可编辑资料 - - - 欢迎下载

17、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5已知二次函数f xax2bx1a,bR, a0 ,设方程f xx 的两个实数根为x1和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 假如 x12x24 ,设函数f x 的对称轴为 xx0 ,求证： x01 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 假如 x12 , x2x12 ,求 b 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分

18、析：条件 x12x24 实际上给出了f xx 的两个实数根所在的区间,因此可以考虑利用上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_述图像特点去等价转化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设g xf xxax 2b1 x1 ,就g x0 的二根为x1和x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 由 a0 及 x12x24 ,可得g2g40 4a,即016a2b10,即4b30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b332a42b30,4a30,可编

19、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相加得b22a1 ,所以, x02a4a1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 由x1x2 b1 2a4, 可得a2a1b1 21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 x1x210 ,所以ax1 , x2同号 .0x12x2x22x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x12 , x2x12 等价于2 a1b1 2或12a1,b1 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g 20g20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即g 002a1b12或g0012a1b1 21

20、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解之得17b 或 b.44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 在处理一元二次方程根的问题时,考察该方程所对应的二次函数图像特点的充要条件是解决问题的关键.考点三：抽象函数抽象函数是指没有给出详细的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满意的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是高校高等数学函数部分的一个连接点,由于抽象函数没有详细的解析表达式作为载体,因此懂得争论起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质

21、,又能考查同学的思维才能,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题了,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法, 等多种方法从多角度,多层面去分析争论抽象函数问题,一函数性质法函数的特点是通过其性质如奇偶性,单调性周期性,特殊点等反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,敏捷进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有 :1 ,利用奇偶性整体摸索;2 ,利用单调性等价转化;3 ,利用周期性回来已知4; 利用对称性数形结合 ;5 ,借助特殊点,布列方程等.二特殊化方法1、在求解函数解析式或争论函数性质时,一般用代换的方法

22、,将x 换成 x 等.2、在求函数值时,可用特殊值代入.3、争论抽象函数的详细模型,用详细模型解挑选题,填空题,或由详细模型函数对综合题,的解答供应思路和方法 .总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们假如能通过对题目的信息分析与争论, 采纳特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之成效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 、 A是由定义在 2,4上且满意如下条件的函数 x组成的集合：对任意x1,2,都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1,2. 存

23、 在 常 数L0L1, 使 得 对 任 意 的x1 , x21,2, 都 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|2 x12 x2 |L | x1x2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 设 x3 1x , x 2,4 ,证明：xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 设 xA ,假如存在 x01,2,使得 x02 x0 ,那么这样的x0 是唯独的 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

24、 - - 欢迎下载精品_精品资料_ 设 xA ,任取 xl1,2 ,令xn 12xn , n1,2, 证明: 给定正整数 k,对任意的正整数p,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成立不等式| xk lxk |Lk 11L| x233x1 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 ： 对 任 意 x1,2 ,2 x3 12 x, x1,2 ,32x5 , 13 33 52, 所 以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

25、_精品资料_对任意的x1 , x21,2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|2x12 x2 | x1x2 |312x122312 x1 1x22 ,31x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_233 12x3 12x1x3 1x,1122222所以 0 2,312x13 12x1 1x23 1x23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2令3 12x123 12x1 1x23 1x22 L , 0L1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|2x1

26、2 x2 |L | x1x2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/反证法 :设存在两个x0 , x01,2, x0x0 使得 x02 x0 , x0 2 x0 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 | 2 x 0 2 x 0 |L | x 0x/| ,得 | x/x0 |L | x0/x0 |,所以 L1,冲突,故结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0021成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3x2 2x2 2x1 L x2

27、x1 ,所以xn 1xnLn 1 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| xk pxk |xk pxk p 1xk p 1xk p 2xk 1xkLk 11L| x23x1 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xk pxk p 1xk p 1xk p 2xk 1xkLk p 2 xxLk pxx1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21Lk 1 xxK 1212Lx2x11L可编辑资料 - - - 欢迎下载精

28、品_精品资料_点评：此题以高等数学学问为背景,与初等数学学问奇妙结合,考查了函数及其性质、不等式性质,考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想.考点四：函数的综合应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的综合运用主要是指运用函数的学问、思想和方法综合解决问题函数描述了自然界中量的依存关系,是对问题本身的数量本质特点和制约关系的一种刻画,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特点,建立函数关系因此,运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓,把握有关函数知识是运用函数思想的前提,提高用初等数学思想方法争论函数的才能,树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键例

29、 7 设函数f xtx 22t 2xt1xR, t0 求 f x 的最小值 ht . 假设 ht 2tm 对 t0,2 恒成立,求实数m 的取值范畴解： 23f xt xt tt1 xR, t0 ,当 xt 时, f x 取最小值 f t t3t1 ,即 ht t 3t1 令 g t ht 2tmt 33t1m ,由 g t3t 230 得 t1, t1 不合题意,舍去 当 t 变化时 g t , gt 的变化情形如下表：t0 , 111 , 2g t0极大值gt 递增递减1mg t 在 0,2 内有最大值 g 11m ht 2tm 在 0,2 内恒成立等价于 gt0 在 0,2 内恒成立,即

30、等价于 1m0 ,所以 m 的取值范畴为 m1点评：此题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用,考查运用数学学问分析问题解决问题的才能例 8 甲、乙两的相距S 千米,汽车从甲的匀速行驶到乙的,速度不得超过c 千米时,已知汽车每小时的运输成本以元为单位 由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米时 的平方成正比, 比例系数为b.固定部分为 a 元. 把全程运输成本 y 元表示为速度 v 千米时 的函数,并指出函数的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶？分析：几个变量运输成本、速度、固定部分有相互的关联,抽象出其中的函数

31、关系,并求函数的最小值 .解： 读题 由主要关系：运输总成本每小时运输成本时间,建模 有 y a bv2Sv解题 所以全程运输成本y 元表示为速度 v千米时 的函数关系式是：y S av bv ,其中函数的定义域是v 0 , c .a整理函数有y S bv S v vabv ,由函数 y xkxk 0 的单调性而得：当ab c 时,就 v ab时, y 取最小值.当ab c 时,就 v c 时, y 取最小值 .综上所述,为使全程成本y 最小,当ab c 时,行驶速度应为v ab.当a c 时,行驶速度b应为 v c .点评： 1. 对于实际应用问题,可以通过建立目标函数,然后运用解 证不等式

32、的方法求出函数的最大值或最小值,其中要特殊留意蕴涵的制约关系,如此题中速度v 的范畴,一旦无视,将显现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型,也可属于不等式模型.方法总结与 2022 年高考猜测一方法总结本专题主要思想方法：1. 数形结合2. 分类争论3. 函数与方程二2022 年高考猜测1. 考查有关函数单调性和奇偶性的试题,从试题上看,抽象函数和详细函数都有,有向抽象函数进展的趋势,另外试题留意对转化思想的考查,且都综合的考查单调性与奇偶性.2. 考查与函数图象有关的试题,要从图中或列表中 读取各种信息,留意利用平移变换、伸缩变换、对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称变换,

33、留意函数的对称性、函数值的变化趋势,培育运用数形结合思想来解题的才能.3. 考查与反函数有关的试题,大多是求函数的解析式,定义域、值域或函数图象等,一般不需求出反函数,只需将问题转化为与原函数有关的问题即可解决.4. 考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查,大多以基本函数的性质为依靠,结合运算推理来解决.5 加强函数思想、 转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题, 引进变量建立函数,运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识,进展才能.6 留意与导数结合考查函数的性质.一、强化训练（一） 挑选题 12 个yex 1 xR 的反函数是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A y1lnxx0B y1lnxx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C y3a1ln x x01x4a, x1D y1ln xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xlog a x, x1是 , 上的减函数,那么 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A 0,1B 0,31 1 C , 7 31D ,1