2022年高中数学复习专题讲座第讲数列的通项公式与求和的常用方法.docx
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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -题目高中数学复习专题讲座数列的通项公式与求和的常用方法高考要求数列是函数概念的连续和延长,数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数,是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的讨论,而数列的前n 项和 Sn 可视为数列 Sn 的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一, 与数列极限及数学归纳法有着亲密的联系, 是高考对数列问题考查中的热点, 本点的动态函数观点解决有关问题,为其供应行之有效的方法重难点归纳1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要留意辨析
2、数列中的项与数集中元素的异同 因此在讨论数列问题时既要留意函数方法的普遍性,又要留意数列方法的特别性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 数列 an 前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式an =S1, n1SS, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 13 求通项常用方法作新数列法作等差数列与等比数列累差叠加法最基本形式是an= an an 1+an 1+an2+a2 a1+ a1归纳、猜想法4 数列前 n 项和常用求法重要公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1+2+n=1 nn+12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12+
3、22+n2= 1 nn+12 n+16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13+23+n3=1+2+n2=1n2n+124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,等比数列中Sm+n =Sn+qnSm=Sm+qmSn裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=fn+1 f n,然后累加时抵消中间的很多项应把握以下常见的裂项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1nn111, n n.nn1n1.n. ,1sin 2ctgctg2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CCn 1r 1nnr1C,n n1.1n.
4、 n1等1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错项相消法并项求和法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列通项与和的方法多种多样,要视详细情形选用合适方法典型题例示范讲解例 1 已知数列 an 是公差为 d 的等差数列,数列 bn 是公比为 q 的 q R 且 q 1的等比数列,如函数 fx= x 1 2,且 a1=fd 1,
5、a3=fd+1 , b1=fq+1 , b3=fq 1,1求数列 an 和 bn 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设数列 cn 的前 n 项和为 Sn ,对一切 n N* ,都有 c1c1b1b2cn=an+1cn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成立,求limnS2n 1S2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_命题意图此题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限,以及运算才能和综合分析问题的才能学问依靠此题利用函数思想把题设条件转化为方程问题特别明显,而2 中条件等
6、式的左边可视为某数列前n 项和,实质上是该数列前n 项和与数列 an 的关系,借助通项与前n 项和的关系求解cn 是该条件转化的突破口错解分析此题两问环环相扣,1问是基础,但解方程求基本量a1、b1、d、q,运算不准易出错.2问中对条件的正确熟悉和转化是关键技巧与方法此题 1问运用函数思想转化为方程问题,思路较为自然,2 问“借鸡生蛋”构造新数列 dn 运用和与通项的关系求出dn,丝丝入扣解1 a1=f d 1= d 22, a3=fd+1= d2, a3 a1=d2 d2 2=2d, d=2, an=a1+n 1d=2n1 . 又 b1=fq+1= q2, b3=f q 1= q 22,可编
7、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b3b1q2 2q2=q2,由 qR ,且 q 1,得 q= 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ bn=bqn 1=4 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cn2令bn=dn,就 d1+d2+dn=an+1, n N * ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ dn=an+1 an=2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cnbn=2,即 cn=2 bn=8 2n1. S8 1 2nn=3可
8、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S2n 1S12 2n 112 2n1 2 n21 2 n2, limnS2 n 12S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n12n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 设 An
9、 为数列 an 的前 n 项和,An= 为 bn=4n+3;1求数列 an 的通项公式.3 an 1,数列 bn 的通项公式2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2把数列 an 与 bn 的公共项按从小到大的次序排成一个新的数列,证明数列 dn 的通项公式为dn=32n+1;3设数列 dn 的第 n 项是数列 bn 中的第 r 项, Br 为数列 bn 的前 r 项T4的和. Dn 为数列 dn 的前 n 项和, Tn=BrD n,求 limnn an 命题意图此题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系.集合的相关概念,数列极限,以及规律推理才能学问依靠利用项与和的关系求a
10、n 是此题的先决.2 问中探寻 an 与 bn 的相通之处, 须借助于二项式定理.而3 问中利用求和公式求和就是最基本的学问点错解分析待证通项dn=32n+1 与 an 的共同点易被忽视而寸步难行.留意不到 r 与 n 的关系,使Tn 中既含有n,又含有r,会使所求的极限模糊不清技巧与方法1问中项与和的关系为常规方法,2问中把3 拆解为4 1,再利用二项式定理,查找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔.3 问中挖掘出n 与 r 的关系,正确表示Br ,问题便可迎刃而解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 由 An=3an1 ,可知 An+1=23an+1 1,2可编辑资料 - -
11、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an+1 an=3an+1 an,即2an 1 =3, 而 a1=A1=an3a1 1,得 a1=3 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列是以3 为首项,公比为3 的等比数列,数列 an 的通项公式an=3n2n2 32n+1 =3 32n=3 4 12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n=342n+C 132n+1 bn2n而数 32n=412n 42n 1 1+C 2n1 4 1+ 1 2n =4n+3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
12、 - 欢迎下载精品_精品资料_2=42n+C 1 n42n1 1+C 2n1 41+1 2n=4 k+1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 32n bn ,而数列 an= a2n+1 a2n , dn=32n+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3由 32n+1 =4 r+3
13、 ,可知 r =32 n 13,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r74r332n 13 32n 1727n27n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Br =Tn2BrD nr2r 92n 1544 32n 18221278,Dn9n19 1 9191 ,8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_934n1188Tn32 n93 , a 44n34 n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4limnan 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3设 an 是正数组成的数列,其前n 项和为 Sn,并且对于全部的自然数 n, an
14、与 2 的等差中项等于Sn 与 2 的等比中项1写出数列 an 的前 3 项2求数列 an 的通项公式 写出推证过程 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3令 bn=1 an 12 ananan 1 n N* ,求 limnb1 +b2+b3 +bn n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析1 由题意,当n=1 时,有a1222S1, S1=a1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1222a1,解得 a1=2当 n=2 时,有 a2222S2,S2 =a1+a2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
15、品资料_将 a1=2 代入,整理得a2 22=16 ,由 a2 0,解得 a2=6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=3 时,有a3222S3, S3=a1+a2+a3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 a1=2,a2=6 代入,整理得a3 22=64 ,由 a3 0,解得 a3=10故该数列的前3 项为 2,6, 10 2)解法一由 1)猜想数列 an有通项公式an=4n 2下面用数学归纳法证明 an 的通项公式是an=4n 2,n N * )当 n=1 时,由于 4 12=2 ,又在 1 中已求出 a1=2 ,所以上述结论成立可编辑资料 - - - 欢
16、迎下载精品_精品资料_假设当 n=k 时,结论成立, 即有 ak=4k 2,由题意,有 ak 222Sk ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 ak =4k 2代入上式,解得2k=2Sk,得 Sk=2k2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意,有ak 1222Sk1 , Sk+1=Sk+ak+1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -
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