2022年高中数学圆的方程经典例题与解析 .docx

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1、精品_精品资料_高中数学圆的方程经典例题与解析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 求过两点A1 , 4 、B 3 , 2 且圆心在直线 y0 上的圆的标准方程并判定点P2 , 4 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆的关系分析： 欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判定点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,假设距离大于半径,就点在圆外.假设距离等于半径,就点在圆上.假设距离小于半径,就点在圆内 解法一：待定系数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆的标准方程为xa2 yb 2r 2 可编辑资料

2、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心在 y0 上,故 b0 圆的方程为xa2y21a 216r 2 r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又该圆过A1 , 4 、B3 , 2 两点223a 24r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解之得： a1 , r 220 所以所求圆的方程为x1y20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：直接求出圆心坐标和半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于圆过A1 , 4 、 B3 , 2 两点,

3、所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上, 又由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42k AB131 ,故 l 的斜率为 1,又 AB 的中点为2 , 3 ,故 AB 的垂直平分线 l 的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为： y3x2 即 xy10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又知圆心在直线 y0 上,故圆心坐标为C 1 , 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

4、- - - 欢迎下载精品_精品资料_半径 rAC1124220 故所求圆的方程为 x12y 220 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又点 P2 , 4 到圆心 C1 , 0 的距离为dPC21 24225r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P 在圆外说明：此题利用两种方法求解了圆的方程,都环围着求圆的圆心和半径这两个关键的量, 然后依据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,假设将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知圆O：x

5、2y24 ,求过点P 2,4与圆 O 相切的切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 点P 2,4不在圆 O 上,切线 PT 的直线方程可设为yk x24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据 dr2解得 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 y3 x241k 24 即43 x4 y100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于过圆外一点作圆得切线应当有两条,可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为 x2 说明： 上述解题过程简单

6、漏解斜率不存在的情形,要留意补回漏掉的解此题仍有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0 解决也要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意漏解仍可以运用x0 xy0 yr 2 ,求出切点坐标x0、 y0 的值来解决, 此时没有漏解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、直线3xy230 截圆x2y 24 得的劣弧所对的圆心角为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依题意得,弦心距d3 ,故弦长AB2r 2d 22 ,从而 OAB是等边三角可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形,故截得的劣弧所对的圆心角为AOB.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 圆 x3 2 y3 29 上到直线 3x4 y110 的距离为 1 的点有几个？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 借助图形直观求解或先求出直线l1 、 l2 的方程,从代数运算中查找解答可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一： 圆

8、 x3 2 y329 的圆心为O13 , 3 ,半径 r3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆心O1 到直线 3x4 y110 的距离为 d ,就 d334323114223 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图,在圆心O1 同侧,与直线 3 x4 y110 平行且距离为 1 的直线l1 与圆有两个交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点,这两个交点符合题意又 rd321 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与直线 3 x4 y110 平行的

9、圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线3x4 y110 ,且与之距离为1 的直线和圆的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点设所求直线为3x4 ym0 ,就 dm111,3242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m115 ,即 m6 ,或 m16 ,也即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

10、 - 欢迎下载精品_精品资料_l1：3x4 y60 ,或l2：3x4y160可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆 O1：x3 2 y329 的圆心到直线l1 、 l 2 的距离为d1 、 d2 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33436d132423 , d233432316142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l1 与 O1相切,与圆合题意的点共3 个O1 有一个公共点.l2 与圆O1 相交,与圆O1有两个公共点即符可编辑资料 - - - 欢迎

11、下载精品_精品资料_说明： 对于此题,假设不留心,就易发生以下误会：设圆心 O1 到直线 3x4 y110 的距离为 d ,就 d334311324223 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆 O1到 3x4 y110 距离为 1 的点有两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显,上述误会中的d 是圆心到直线3 x4 y110 的距离, dr ,只能说明此直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线与圆有两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1到一条直线的

12、距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数,一般依据圆与直线的位置关系来判定,即依据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5：圆 x 2y22 x0 和圆 x 2y 24 y0 的公切线共有条.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：圆 x1 2y 21 的圆心为O11,0 ,半径 r11,圆 x2 y2 24 的圆心为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

13、精品_精品资料_O2 0,2) ,半径 r22 ,O1O25, r1r23, r2r11. r2r1O1O2r1r2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两圆相交 .共有 2 条公切线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6自点 A3,3发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在的直线与圆C： x2y24x4 y70 相切M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求光线 l 和反射光线所在的直线方程AC2光线自 A 到切点所经过的路程分析、

14、略解： 观看动画演示,分析思路依据对称关系,第一求出N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A的对称点 A 的坐标为3, 3,其次设过 A 的圆 C 的切线方程为G OBx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yk x33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据 dr ,即求出圆 C 的切线的斜率为43k或 kA34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_进一步求出反射光线所在的直线的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x3 y30 或 3x4 y30图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最终依据入射光与反射光关于x

15、 轴对称,求出入射光所在直线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x3 y30 或 3x4 y30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_光路的距离为A M2,可由勾股定理求得A M22A CCM7 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 此题亦可把圆对称到x 轴下方,再求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 71 已知圆大、最小值O1： x32 y4 21 , P x ,y 为圆 O 上的动点,求 dx2y 2 的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知圆O2： x2 2y21 , P x ,y 为圆上任一点求y2 的

16、最大、最小值,求x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2 y 的最大、最小值分析： 1、2 两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 法 1由圆的标准方程 x3 2 y4 21 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可设圆的参数方程为x 3cos2y 4sin, 是参数2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22就 dxy96 coscos168sinsin可编辑资料 - - - 欢

17、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_266 cos8 sin2610 cos 其中tan4 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 dmax261036 , dmin261016 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法 2圆上点到原点距离的最大值d1 等于圆心到原点的距离d 1 加上半径 1,圆上点到原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点距离的最小值d2 等于圆心到原点的距离d

18、1 减去半径 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2所以 d1322d2344216 14 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 dmax36 dmin16 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 法 1 由 x2y1 得圆的参数方程：x2ysincos ,是参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2sin2sin2就令t ,x1cos3cos3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 sin21t cos3t t 22sin3t ,11t 2 sin33423tt33 4可编

19、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 tmax3333, t min44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 y2 的最大值为x133 ,最小值为433 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 x2 y2cos2sin25 cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x2 y 的最大值为25 ,最小值为25 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2法 2设x1时,如下图,k ,就 kxy k20 由于P x ,y) 是圆上点,当

20、直线与圆有交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条切线的斜率分别是最大、最小值2kk233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 d1k 21 ,得 k4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 y x2 的最大值为13 3 ,最小值为433 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 x2 yt ,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2m由 d1,得 m525 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x2 y 的最大值为25

21、,最小值为25 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8、 已知圆 x2y2x6 ym0 与直线 x2 y30 相交于 P 、 Q 两点, O 为原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点,且 OPOQ ,求实数 m的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分 析 ： 设 P 、 Q 两 点 的 坐 标 为 x1 ,y1 、x2, y2 , 就 由kOPkOQ1 , 可 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2y1 y20 ,再利用一元二次方程根与系数的关系求解或由于通过原点的直线的斜率可编辑资

22、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 y ,由直线 l 与圆的方程构造以xy为未知数的一元二次方程,由根与系数关系得出x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kOPkOQ 的值,从而使问题得以解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一： 设点 P 、 Q 的坐标为 x1, y1 、 x2 ,y2 一方面,由 OPOQ ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk1,即 y1y21 ,也即： x xy y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O

23、POQx1x21 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另一方面, x1 ,y1 、 x2, y2 是方程组x2 yx2y 230x6ym的实数解,即0x1 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 是方程5 x210 x4m270可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的两个根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1x22 , x1x24m27 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又

24、P 、 Q 在直线 x2 y30 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y1y2113x1 322x21 943x1x2 x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将代入,得y1 y2m125可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将、代入,解得m3 ,代入方程,检验0 成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二： 由直线方程可得3x2 y ,代入圆的方程 x2y2x6ym0 ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y21 x32 y x6 ym x 92 y 20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理,得12m x24m3) xy4m27 y20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 x0 ,故可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4m27y 2x4 m3) y x12m0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ kOP , kOQ 是上述方程两根故kOPkOQ1. 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

26、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12m4 m271 ,解得 m3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_经检验可知 m3 为所求说明： 求解此题时,应防止去求P 、 Q 两点的坐标的详细数值除此之外,仍应对求出的 m值进行必要的检验,这是由于在求解过程中并没有确保有交点P 、 Q 存在解法一显示了一种解这类题的通法,解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于y的二次齐次方程,虽有规律可循,但需肯定的变形技巧,同时也可看出,这种方法给人x以一种淋漓酣畅,一气呵成之感可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9、已知对于圆 x 2数 m 的取值范畴 y

27、121上任一点Px ,y ,不等式 xym0 恒成立,求实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分 析 一 ： 为了 使 不 等式 xym0 恒 成立 , 即 使 xym 恒 成 立 ,只 须 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xyminm就行了因此只要求出xy 的最小值, m的范畴就可求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一： 令uxy ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy由x2 yu121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

28、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： 2 y 22u1 yu20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 且4u18u ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 4 u22u10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 u 22u10 , 12u12 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ umin12 ,即 xy min12可编辑资料

29、- - - 欢迎下载精品_精品资料_又 xym0 恒成立刻 xym恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xymin12m 成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析二： 设圆上一点Pcos, 1sin 由于这时 P 点坐标满意方程 x2 y1 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题转化为利用三解问题来解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二： 设圆 x2 y121上任一点Pcos,1sin 0 , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xcos, y1sin

30、 xym0 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos即 m1sin1cosm sin0 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只须 m 不小于1cossin 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 u umaxsin2cos11 即 m22 sin141可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：在这种解法中, 运用了圆上的点的参数设法 一般的,把圆 xa2 yb 2r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上的点设为 ar cos, br sin 0 , 2 采纳这种设法一方面可削减参数的个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数,另一方面可以敏捷的运用三角公式从代数观点来看,这种做法的实质就是三角代换可编辑资料 - - - 欢迎下载