2022年高中数学函数知识点总结 7.docx

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1、精品_精品资料_高中数学函数学问点总结1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”.2 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集的特殊情形留意借助于数轴和文氏图解集合问题.空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_师名如：集合归纳Ax|x22 x30 ,Bx|ax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总如BA,就实数结|3. 留意以下性质：大a的值构成的集合为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_肚（ 1）集合 a , a , ,a的全部子集的个数是2 n .可编辑资料 - -

2、- 欢迎下载精品_精品资料_有12n容,要知道它的来历：如B 为 A 的子集,就对于元素a1 来说,有 2 种挑选（在或者不在） .同样,对于元素a2, a3,容习学an,都有 2 种挑选,所以,总共有2n 种挑选, 即集合 A 有 2 n 个子集.困难之当然,我们也要留意到,这2n 种情形之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情形,故真子集个数为2 n1 ,事,业学非空真子集个数为 2n2有成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,（ 2）如ABABA,ABB.更一上（3）德摩根定律：层楼CU ABCU ACU B , CU ABCU ACU B可编辑资料 - - - 欢迎下载

3、精品_精品资料_有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知关于的取值范畴.x的不等式 ax5x2a0的解集为M ,如 3M 且5M ,求实数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 对映射的概念明白吗？映射f：A B,是否留意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应B 中有元素无原象. ）留意映射个数的求法.如集合A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,就从A 到 B 的映射个数有 nm 个.可编辑资料 - -

4、- 欢迎下载精品_精品资料_如：如 A1,2,3,4 , B a, b, c.问： A 到 B 的映射有个, B 到 A 的映射有个. A 到 B 的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有个,如 A1,2,3 ,就 A 到 B 的一一映射有个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y x 的图象与直线 xa 交点的个数为个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同.定义域一样两点必需同时具备 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：函数

5、 yx 4lg xx2 的定义域是3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数定义域求法：分式中的分母不为零.偶次方根下的数（或式）大于或等于零.10. 如何求复合函数的定义域？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_师名如：函数归f x 的定义域是a, b, ba0,就函数Fx f xf x的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_纳义域是.总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|例如函数 y大肚有容f x 的定义域为1 ,22,就的定义域为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,11、函数值域的求法学容1、直接观看法习对于一些比较简洁的

6、函数,其值域可通过观看得到.困难1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_之例 求函数 y=事学,2、配方法的值域x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_业配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.有成,例、求函数 y= x 2 -2x+5 ,x-1 , 2 的值域.更一上3、判别式法层对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不楼必拘泥在判别式上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a. yb k+x 2型：直接用不等式性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. ybxx2mxn型, 先化简,

7、再用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： yx1121+x21x+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c. yx2mxnx2mxnx 2mxn型 通常用判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d. y型xn法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉x2x1 （ x+1）2 （ x+1）+1 1例： y（ x+1）1211x1x1x15、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域.我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、函数单调性法通常和导数结合

8、,是最近高考考的较多的一个内容7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发名挥作用.师可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_纳归例 求函数 y=x+总结|8 数形结合法x1 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这肚有类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目.容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,学容例：求函数 y=x习困难之事, 学业有成,更倒数法

9、22 +x28 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一上有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况层可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_楼例求函数 y=x2 的值域x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 求一个函数的解析式时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,肯定要留意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误, 与到手的满分失之交臂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： fx1exx,求f x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. 如何用定义证明函数的单

10、调性？（取值、作差、判正负）判定函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：依据定义,设任意得 x1,x 2,找出 fx 1,fx2 之间的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以变形为求f x1 f x2 的正负号或者f x1 与 1 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2f x2 (2) 参照图象：如函数 fx的图象关于点 a , b 对称,函数fx在关于点 a , 0 的对称区间具有相同的单调性.（特例： 奇函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偶函数）(3) 利用单调函数的性质：函数 fx与 fx cc 是常数 是同向变化的函数

11、fx与 cfxc是常数 ,当 c 0 时,它们是同向变化的.当c0 时,它们是反向变化的.假如函数 f1x,f2x同向变化,就函数 f1x f2x和它们同向变化. （函数相加）假如正值函数 f1x,f2x同向变化,就函数 f1xf2x和它们同向变化.假如负值函数f12 与 f2x同向变化,就函数 f1xf2x和它们反向变化. （函数相乘）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx与 1f x名在 fx的同号区间里反向变化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_归师 如函数 u x ,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 同向变化,就在 ,纳 上复合函数 yF

12、x是递增的.如函数 u x,x , 与函数 y Fu ,u , 或 u总结 , 反向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递减的.（同增异减）| 1|如函数 y fx是严格单调的,就其反函数x fy 也是严格单调的,而且,它们的增减性相同.肚大 fggxfgxfx+gxfx*gx有都 是 正容,数容学增增增增增困习 增减减/之难 减增减/事减减增减减,学业有成,更17. 函数 fx 具有奇偶性的条件是什么？一上（fx 定义域关于原点对称）层可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_楼如f xf x总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

13、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f xf x 总成立f x 为偶函数函数图象关于y轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数.两个偶函数的乘积是偶函数.一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数.（ 2）如fx 是奇函数且定义域中有原点,就 f00.（ 3）f（x）是定义域在（ -6,0）,（ 0, 6）上的奇函数,如x 0 时 f（ x）=求 x 0 时 f（ x）判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件.如函数的定义域不关于原点对称,就函数为

14、非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算f x ,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这种方法可以做如下变形fx+f-x =0奇函数fx-f-x=0偶函数fx1偶函数f-xfx1奇函数f-x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fggxfgxfx+gxfx*gx奇奇奇奇偶奇偶偶非 奇 非奇偶偶奇偶非 奇 非奇偶偶偶偶偶偶名师可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_归18. （如存在实数纳总结T（ T0）,在定义域内总有f xTf x,就f x

15、为周期函数, T 是一个周期.）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|如：如f xaf x,就| 大肚有我们在做题的时候,常常会遇到这样的情形：告知你fx+fx+t=0, 我们要立刻反应过来,这时说这个函数周期2t. 推容f x f xt 0f xt f x2 t 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_容学导：习困f x f x2 t ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难同时可能也会遇到这种样子：fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x. 其实这都是说同样一个意思：函数fx 关于直线对称,之事对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到.比如

16、,fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线x=a学,对称.业有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,成 又如：如 f x图象有两条对称轴xa,xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上更 即f ax一f ax,fbxf bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_层f x楼f xf 2axf 2bxf 2axf 2 bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令t2ax, 就2bxt2b2a,f tf t2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f xf x2b2

17、a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,函数f x以2 | ba | 为周期因不知道 a,b的大小关系 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为保守起见如：,我加了一个肯定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19. 你把握常用的图象变换了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 与f x的图象关于y轴 对称 联想点（ x,y） ,-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 与f x 的图象关于x轴 对称联想点（ x,y） ,x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

18、_精品资料_f x 与 f x 的图象关于 原点 对称联想点（ x,y） ,-x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 与f1 x的图象关于 直线yx 对称联想点（ x,y）,y,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 与f 2ax 的图象关于 直线xa 对称联想点（ x,y） ,2a-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 与f 2ax的图象关于 点a,0 对称联想点（ x,y） ,2a-x,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

19、资料_将yf x图象左移aa右移aa0 个单位0 个单位yf xayf xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上移bb名师下移bb归0 个单位0 个单位yf xab yf xab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_纳留意如下“翻折”变换：总可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|结f |x| f x把 |轴下x方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大肚有容,19.容学习困难之事, 学业有成, 更上一层楼f xf | x把| 轴右y方的图像翻到上面k0y=bO a,bOxx=a可编辑资料

20、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）一次函数：ykxb k0kk 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ）反比例函数： y的双曲线.k0 推广为 ybk xxa0 是中心O a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）二次函数yax2bxc a02a xb 2a4acb 24a图象为抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b4acb 2b顶点坐标为,对称轴 x2a4a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_开口方向： a0,向上,函数

21、y min4acb 24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a根的关系： x0,向下,b2ay max4 acb 24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxb , xxc ,| xx |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa121212| a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数的几种表达形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xax2bxc一般式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa xm2n顶点式,（m, n）为顶点可编辑资料 - - -

22、欢迎下载精品_精品资料_f xa xx1 xx2 x1, x2是方程的2个根）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa xx1 xx2h函数经过点（x1, h x2 , h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_师名 ax 2归bxc0,0时,两根x 1、x2为二次函数yax2bxc的图象与 x轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_纳总的两个交点,也是二次不等式结|求闭区间 m,n上的最值.大ax2bxc0 0 解集的端点值.可编辑资料 - -

23、 - 欢迎下载精品_精品资料_有肚区间在对称轴左边（ n容,b ） f m a x 2abf m ,fm i n fn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_容区间在对称轴右边（ m学习困区间在对称轴边 （） f m a x2ab）f n ,fm i n fm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难之事f学,m i n业24acb 24anm2af,m a xmfa mx f n , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成有也可以比较 m , n和对称轴的关系, 距离越远,值越大更, 只争论 a0的情形）上一求区间定（动） ,对称轴动（定）的最值问题.楼层一元二次

24、方程根的分布问题.02b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：二次方程axbxc0的两根都大于 kk2af k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya0Okx 1x 2x一根大于 k,一根小于 kf k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间（m, n）内有 2根0mbn2ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f m0f n0（ 4）指数函数：yaa0,a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间（m, n）内有 1根f m fn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

25、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6 ）“对勾函数” yxkk0x第 7 页,共 11 页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用它的单调性求最值ykOkx_精品资料_| 大肚有21. 如何解抽象函数问题？容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,（赋值法、结构变换法）容习学如：（ 1）xR,f x 满意f xy困难f xf y,证明f x为奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_之（先令xy0事,f 00再令yx, ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_业学（ 2）xR,f x满意f xy有成f xf y,证明f x是偶

26、函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,（先令 xytf 更上t t f tt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_层一f t楼f tf tf t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f tf t , ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）证明单调性：f x 2 fx 2x 1x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（对于这种抽象函数的题目,其实简洁得都可以直接用死记了1、代 y=x ,2、3、令 x=0 或 1 来求出 f0 或 f1求奇偶性,令 y= x.求单调性：令x+y=x 1几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的

27、抽象函数f （x） kx（ k 0） - f （ x y） f（ x） f（ y）2. 幂函数型的抽象函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f（ x） xa- f（ xy） f（ x） f（ y）. f（x ）yf xf y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（ x y） f（ x） f（ y）,且当 x0 时, f x0, f 1 2 求 f x在区间 2,1 上的值域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（ x y） 2 f（ x） f（ y）

28、,且当 x0 时, f x2 ,f3 5,求不等式 f（a22a 2） 0,xN. f（ a b） f（ a）f（ b）, a、bN. f（ 2）习 4.同时成立？如存在,求出f（ x）的解析式,如不存在,说明理由.困难之事例 6 设 f（ x）是定义在（ 0,）上的单调增函数,满意f（ x y） f（ x） f（ y）, f（ 3） 1,求：学,（ 1）f（1）.业（ 2）如 f（ x） f（ x 8） 2,求 x 的取值范畴 .有成,更例 7 设函数 y f（ x）的反函数是 yg（ x） .假如 f（ ab） f（a） f（ b）,那么 g（ a b） g（ a） g（ b）是一上否正确

29、,试说明理由 .层楼可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 已知函数 f（ x）（ x0）满意 f（ xy） f（x） f（ y）,（ 1）求证： f（ 1） f（ 1） 0.（ 2）求证： f（ x）为偶函数.（ 3）如 f（ x）在（ 0,）上是增函数,解不等式f（ x） f（ x1） 0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10 已知函数 f（ x）对一切实数x、y 满意 f（ 0） 0,f（ x y） f（ x）f（ y）,且当 x 0 时, f（ x） 1,求证：（ 1）当 x0 时, 0 f（ x） 1.（ 2）f（ x）在 x R 上是减函数 .

30、练习题：1. 已知： f（ x y） f（ x） f（ y）对任意实数 x、y 都成立,就（）（ A） f（ 0） 0（ B） f（ 0） 1（ C） f（ 0） 0 或 1（ D）以上都不对2. 如对任意实数 x、y 总有 f（xy） f（ x） f（ y）,就以下各式中错误选项（）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） f（ 1） 0（ B） f（） f（ x）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ C） f（x ） f（ x） f（y）（ D） f（ xn） nf（ x）（ n N）y可编辑资料 - - -

31、 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知函数 f（x）对一切实数 x、 y 满意： f（0） 0,f（ x y） f（ x） f（ y）,且当 x 0 时, f（x） 1,就当 x0时, f（ x）的取值范畴是（）（ A）（ 1,）（B ）（, 1）（ C）（ 0, 1）（ D ）（ 1,）4. 函数 f（x）定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1 、x2 都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f（ x1 x2）f x1 f x2 ,就 f（x）为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f x1 f x2 名（ A）奇函数非偶函数（B ）偶函数非奇函数归师（ C）既

32、是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数纳5.已知不恒为零的函数f（ x）对任意实数 x、y 满意 f（ x y） f（x y） 2 f（ x） f（ y）,就函数 f（ x）是（）总结（ A）奇函数非偶函数（B ）偶函数非奇函数|（ C）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数大 函数肚有 1. 函数的奇偶性容,容 （ 1）如 fx 是偶函数,那么 fx=f x=;学习难困 （ 2）如 fx 是奇函数, 0 在其定义域内,就（可用于求参数） .之事, 学业 （ 3）判定函数奇偶性可用定义的等价形式：fx f-x=0 或（ fx ）0;有成 4如所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判定其奇偶性.,更 （ 5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性.偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性.一上 2. 复合函数的有关问题层楼