2022年高中数学二项式定理题型总结 .docx

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1、精品_精品资料_学问点归纳1. 二项式定理及其特例：二项式定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n0n1nrn rrnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） abCn aCna bLCnabLCnbnN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1rrn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 1x1CnxLCn xLx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 二项绽开式的通项公式：Tr 1C r a nr br r0,1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3. 常数项、有理项和系数最大的项：求常数

2、项、有理项和系数最大的项时,要依据通项公式争论对r 的限制.求有理项时要留意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角） ab n 绽开式的二项式系数, 当 n 依次取 1,2,3 时,二项式系数表, 表中每行两端都是 1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项式系数的性质：n012nr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab绽开式的二项式系数是Cn ,Cn ,Cn , Cn Cn可以看成以 r 为自变量的函数f r ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域是 0,1,2, L , n ,例当 n6时,其图象是7 个孤立的点（如图）（ 1）对称性 mn m

3、n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnCnn）直线r是图象的对称轴2n 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）增减性与最大值：当 n 是偶数时,中间一项C 2 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项Cn 2, Cn 2取得最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1rrn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）各二项式系数和： 1x1CnxLCn xLx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n012rn令 x1 ,就 2CnCnCnLCnLCn可编辑资料 - - -

4、欢迎下载精品_精品资料_题型讲解例 1 假如在（x +124 x）n 的绽开式中,前三项系数成等差数列,求绽开式中的有理项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：绽开式中前三项的系数分别为1,nnn,281,由题意得 2n=1+2nn81,得 n=8 设第 r +1 项为有理项,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16 3 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T r 1r=C 8 1 x42r,就 r 是 4 的倍数,所以 r =0,4, 8 , 有理项为 T1=x4,T5=35x,T9=81256x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：

5、求绽开式中某一特定的项的问题常用通项公式,用待定系数法确定r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2求式子（ x +1| x |2）3 的绽开式中的常数项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：（ x+1| x | 2） 3=（ x +1| x |2）（ x+1| x | 2）（ x +1| x |2）得到常数项的情形有：三个括号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中全取 2,得（ 2）3.一个括号取 x,一个括号取1,一个括号取 2,得 C 1 C 1 （ 2）= 12,常数项为（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32| x |可

6、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3+（ 12）= 20 解法二：（ |x|+1| x | 2）3=（| x | 1| x |）6 设第 r+1 项为常数项, 就 T r=C r （ 1）r（1|x |）r|x| 6 r =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6661（ 1） 6 C r |x| 6 2r ,得 62r=0, r =3 T3+1=（ 1） 3 C 3 =20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3求（ 1+ x+x2+x3）（ 1x） 7 的绽开式中 x4 的系数.求（ x+求（ 1+x） 3+（1+ x）4 + +（ 1+x） 50 的绽

7、开式中 x3 的系数4 4） 4 的绽开式中的常数项.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原式 = 11x（ 1 x） 7= （ 1 x4 ）（ 1 x） 6 ,绽开式中x4 的系数为（1 ） 4C 4 1=14 （ x+648x4 4 ）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x 24=4x4 4x 4 2x 8=x4, 展 开 式 中 的 常 数 项 为 C4 2 4 （ 1 ） 4=1120 方 法 一 ： 原 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 3 1=x 4811=x 511x 3绽开式中 x3 的系数为 C 4 方法二：原绽开式中x

8、3 的系数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x151333x34334334可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 3 +C 4 +C 5 + +C 50 =C 4 +C 4 +C 50 =C 5 +C 5 +C 50 = =C 51点评：把所给式子转化为二项绽开式形式是解决此类问题的关键9219可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4求x绽开式中2xx 的系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： TC r x2r1C r x18 2rr1x rC rr1x183 r 令393121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9

9、rr 1999n2x22183r9, 就r3, 故x 的系数为 : C922可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：Cr a nr br 是 a3b绽开式中的第n9r1项, r3310,1,2,n 留意二项式系数与某项系数的区分在此题中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 4 项的二项式系数是C9 ,第 4 项 x 的系数为 C9,二者并不相同2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5求3x3 2100绽开所得 x 的多项式中,系数为有理数的项数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrx32100 rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

10、_精品资料_解： Tr 1C100100 r3x3 2 rC100100 r23 依题意：1002r , r 3Z ,r 为 3 和 2 的倍数,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 6 的倍数,又0r100 , rN ,r0,6,96 ,构成首项为0,公差为 6,末项为 96 的等差数列,由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_960 n16 得 n17 ,故系数为有理数的项共有17 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：有理项的求法：解不定方程,留意整除性的解法特点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6求 x 253x2绽开式中

11、x 的系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：5x23x255x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 0 x5C 1x 4LC 4 xC 5C 0 x5C1 x4 2LC4 x 24C 5 25故展开 式中含x的 项为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_255555555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5C25rC 4 x555C 4 x24240 x ,故绽开式中 x 的系数为 240 ,解法二： x53x252x23x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C55Tr

12、 1r25 rCx253x0r5, rN, 要 使 x 指 数 为1 , 只 有r1 才 有 可 能 , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C12T25 x423x15x x 84 2x66 4x44 8x 224, 故x 的 系 数 为 15 24240, 解 法 三 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5x23x2x23x2x23x2x23x2x23x2x23x2,由多项式的乘法法就,从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5C24以上 5 个括号中,一个括号内显现x ,其它四个括号显现常数项,就积为x 的一次项,此时系数为点评：此类问题通常有两个解

13、法：化三项为二项,乘法法就及排列、组合学问的综合应用C 1 344240可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7设 an=1+q+q2+ +q n 1 （n N* ,q 1）,A n=C 1122 nnn a +C n a +C n a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）用 q 和 n 表示 An.（ 2）（理）当 3q1 时,求limAnn2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n解：（1）由于 q1,所以 an=1+q+q2+ +q n 1 = 1q1q于是 An= 11q11q2C n +q1q21Cn + +1q nnC nq可编辑资料 -

14、 - - 欢迎下载精品_精品资料_=1（C 1 2n ）（ C122nn）=1n 1）（ 1+q）n 1=1 2n（1+ q）n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n +C n +C n1qn q+C n q+ +C n q（ 21q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_An（2）=1 1（1q ） n 由于 3q1,且 q 1,所以 0| 1q|1 所以 limAn1=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CCCn2n1q222 n1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C0例 8已知n2C122 C 22n Cn729,求12n可编辑资料 -

15、 - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnnn分析：在已知等式的左边隐含一个二项式,设法先求出n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n解 ： 在 abC 0 anC 1an 1bC 2 an2 b2C nbn中 , 令 a1,b2 得 12 n729可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn3 n729n6CC 2Ln126CCCLCC 0C1C 2LC 6C026163可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1nnn66666666可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CCCnnn点评：记住课本结论：012n2 , Cnnn135CCCnnn2n

16、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Cn0CC4n2422留意所求式中缺少一项,不能直接等于26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9已知 2 x43a0a1xa x2a x3a4 x ,求 a0a2a4a1a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 令 x1时,有 24233 a0a1a2a3a4 ,令 x1时,有243a0a1a2a3a4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 a0a2a42a0a2a42a1a32a1a3a0a1a2a34232a4a043a1a2a3a4 1 41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7点

17、评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法,在高考题中屡见不鲜,特殊在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母给予肯定的特殊值,从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10求 x2 y绽开式中系数最大的项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设第 r1项系数最大,就有Tr 1Tr 1项系数项系数Tr 项系数7C2rrrr,即C2Tr 2项系数7r 1r 1C27C2r 1r 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 .2r7 .2r 121r16可编辑资料 - - - 欢迎

18、下载精品_精品资料_r . 7r.r1 . 7r1 .r8r3 又0r7, rN ,r5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 .7r1.7rr135255257 .2r7 .r . 7r.r2r 112r13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故系数最大项为T6C7 x2 y672 x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n 为偶数时中间项Tn的二项式系数最12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大.当 n 为奇数时,中间两项小结：Tn 12, Tn 112的二项式系数

19、相等且为最大1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 在使用通项公式T r=C ra n r br 时,要留意：通项公式是表示第r1 项,而不是第r 项 绽开式中第 r +1 项的二项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1式系数 C r与第 r+1 项的系数不同 通项公式中含有 a,b,n,r,T r1 五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个元素 在有关二项式定理的问题中,经常遇到已知这五个元素中的如干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程（或方程组）这里必需留意 n 是正

20、整数, r 是非负整数且r n2 证明组合恒等式常用赋值法同学练习1 已知（ 13x） 9= a0+a1 x+a2 x2+ +a9x9,就 a0 + a1 + a2+ + a9等于A 29B 49C 39D 1解析： x 的奇数次方的系数都是负值,a0+a1 +a2 + + a9 =a0a1+a2 a3+ a9 已知条件中只需赋值x= 1即可 答案： B2 2x+x ）4 的绽开式中 x3 的系数是A 6B 12C 24D 484解析：（ 2x+x ） 4=x2（ 1+2x ）4,在（ 1+2x ） 4 中, x 的系数为 C 2 22=24 答案： C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

21、品资料_3 （2x31）7 的绽开式中常数项是x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 14B 14C 42D 42711r3 7 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：设（ 2x3）7 的绽开式中的第 r+1 项是 T rx1 =C r（ 2x3） 7r （） r=C r 2 77xr （ 1） r x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7当 r +3（ 7r ） =0,即 r=6 时,它为常数项, C 6 （ 1）6 21 =14 答案： A24 一串装饰彩灯由灯泡串联而成,每串有20 个灯泡,只要有一只灯泡坏了,整串灯泡就不亮,就因灯泡损坏致

22、使一串彩灯不亮的可能性的种数为A 20B 219C 220D 2201可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20+C解析： C 12 + +C 20 =220 1 答案： D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20205 已知（ xa ） 8 绽开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,就绽开式中各项系数的和是x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 28B 38C 1 或 38D 1 或 28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： T=C r x8 r（ ax 1） r=（ a）r C r x8 2r , 令 82r =0, r =4

23、, （ a） 4C 4 =1120 a= 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 1888当 a=2 时,令 x=1,就（ 1 2）8 =1 , 当 a= 2 时,令 x= 1,就（ 1 2）8 =38 答案： C316 已知（ x 2 +x3 ） n 的绽开式中各项系数的和是128,就绽开式中 x5 的系数是（以数字作答）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3解析：（ x 21+x3 ）n 的绽开式中各项系数和为128,令 x=1 ,即得全部项系数和为2n=128 , n=7 设该二项绽开式中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3163 11r可编辑资料

24、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 r+1 项为 T rr 1 =C 7（x 2 ） 7 r （ x3 ） r=C r x6,令 6311r =5 即 r=3 时, x5 项的系数为 C 376=35 答案： 35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_77 如（ x+1 ）n=xn+ +ax3 +bx2 +cx+1 （n N* ）,且 ab=3 1,那么 n= 解析： ab=C 3 C 2 =3 1,n=11答案： 11nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 （x1）8 绽开式中 x5 的系数为 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：设绽开式的

25、第r +1 项为 Tr8 r （ 1）r8 3rrr2令 8 3r5 的系数为（ 1）2C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 28r 1 =C 8 x=（ 1）C 8 xx=5 得 r=2 时,x28 =28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 如（ x3+1xx）n 的绽开式中的常数项为84,就 n= 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1解析： T r=C r33nnn（x3 ）n r （x2 ）r=C r x9 r2, 令 3n9 r =0, 2n=3r n 必为 3 的倍数, r 为偶数 试验可知 n=9,2可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品_精品资料_r6r =6 时,答案： 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C n =C 9 =8410 已知（ x lg x +1）n 绽开式中,末三项的二项式系数和等于22,二项式系数最大项为20220,求 x 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由题意 C n2 C n1 C n =22,即 C 2 C 1C 0 =22, n=6 第 4 项的二项式系数最大 C 3 （ x lg x ）3=20220 ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnx3lg x=1000 x=10 或 x= 110nnn6可编辑资料 - - - 欢迎下载

27、精品_精品资料_11 如（ 1+x）6 （1 2x）5=a0 +a1x+ a2x2+ +a11x11求：（1）a1+a2 +a3+ +a11.（ 2）a0+a2+a4+a10解：（1）（1+x） 6（ 12x）5=a0+a1x+a2x2+ a11x11 令 x=1 ,得 a0 +a1+a2+ +a11= 26,又 a0 =1,所以 a1+a2+a11=26 1= 65（ 2）再令 x= 1,得a0 a1+a2 a3+ a11=0 +得 a0+a2+a10= 1 （ 26+0） = 322点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法,令其中的字母等于1 或 1 12 在二项式

28、（ axm+ bxn）12（ a0, b 0,m、n 0）中有 2m+n=0,假如它的绽开式里最大系数项恰是常数项a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求它是第几项. （2）求的范畴b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=C解：（1）设 T r 1r （ axm）12 r （ bxn）r=C ra12 rbrxm（ 12 r） +nr 为常数项, 就有 m（12r ）+ nr =0,即 m（12 r ） 2mr=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212 r=4,它是第 5 项（ 2）第 5 项又是系数最大的项,可编辑资料 - - - 欢迎下

29、载精品_精品资料_12有 C 4a8b4 C 3a9b3C 4a8b4C 5a7b5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12121212由得11109121110a8b4a9 b3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_43232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a0, b 0,9ba,即4a 9b4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由得a 88a9,b 55b4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13 在二项式（x +124 x）n的绽开式中,前三项的系数成等差数列,求绽开式中的有理项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

30、料_分析：依据题意列出前三项系数关系式,先确定n,再分别求出相应的有理项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：前三项系数为 C 0 , 1 C 1 , 1 C 2 ,由已知 C 101 C 2 ,即 n2 9n+8=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn24解得 n=8 或 n=1（舍去）n =C n +n43 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=CrT r 183r（x ） 8 r （2 4x ） r=C r148x42 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4 Z 且 0r 8,r Z,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

31、_精品资料_ r=0, r=4 ,r =8 绽开式中 x 的有理项为 T1=x4, T5= 35 x, T9 =83r1x 22563r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：绽开式中有理项的特点是字母x的指数 4414 求证： 2（ 1+ 1 ）n3（n 2, nN*）nZ 即可,而不需要指数 4N4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：（ 1+ 1 ） n01 12 （ 1 ）2n （ 1 ） n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=C n +C nn+C nnn+ +C nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n=1+1+C 2 1n2+C 3 1nn3+C n 1nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1=2+2.n nn112+3.nn1n3n21nn121+nn.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2+11+2.3.11+4.n.112+2221+3 +212n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11=2+ 21 1 n2121n1=3（）21 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n所以 2（ 1+ 1nn2n）n3nn 3nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载