2022年高中数学必修平面向量超详细知识点总结 .docx

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1、精品_精品资料_精品资料_| 大肚学问点归纳有容高中数学必修4 学问点总结平面对量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_容,一.向量的基本概念与基本运算学习1 向量的概念：困之难事向量 ：既有大小又有方向的量向量一般用 a,b,c ,来表示,或用有向线段的起点与终,学业有,成点的大写字母表示,如：AB 几何表示法AB , a .坐标表示法axiyjx, y向层更上一楼量的大小即向量的模（长度）,记作 | AB | 即向量的大小,记作a 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小零向量：长度为0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量 a 0a 0由于 0 的方向

2、是任意的,且规定0 平行于任何向量,故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清晰是否有“非零向量 ”这个条件（留意与0 的区分）单位向量：模为 1 个单位长度的向量向量 a 为单位向量a0 10平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同始终线上 方向相同或相反的向量,称为平行向量记作 a b 由于向量可以进行任意的平移 即自由向量 ,平行向量总可以平移到同始终线上,故平行向量也称为共线向量数学中讨论的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清晰共线向量中的“ 共线” 与几何中的 “ 共线”、的含义, 要懂得好平行向量中的“ 平行” 与

3、几何中的 “ 平行”是不一样的相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为ab 大1小相等,方向相同,xx 2yyx1yxy122122 向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设ABa, BCb ,就 a + b = ABBC = AC（ 1 ） 0aa0a .（2）向量加法满意交换律与结合律. 向量加法有 “ 三角形法就 ” 与“ 平行四边形法就 ”：（ 1）用平行四边形法就时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量（ 2） 三角形法就的特点是 “ 首尾相接 ”,由第一个向量的起点指

4、向最终一个向量的终第 1 页,共 8 页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点的有向线段就表示这些向量的和.差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点师名当两个向量的起点公共时,用平行四边形法就.当两向量是首尾连接时,用三角形法归总纳就向量加法的三角形法就可推广至多个向量相加：结|肚大ABBCCDPQQRAR ,但这时必需 “ 首尾相连 ” 有容容,3 向量的减法习学 相反向量： 与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量困之难记作a ,零向量的相反向量仍是零向量事,业学关于相反向量有：（ i）a = a . iia +a =a + a = 0 .有成更,一上iii 如 a

5、 、 b 是互为相反向量,就a =b , b =a , a + b = 0层楼向量减法：向量 a 加上b 的相反向量叫做a 与 b 的差, 记作： abab 求两个向量差的运算,叫做向量的减法作图法： ab 可以表示为从b 的终点指向 a 的终点的向量（a 、 b 有共同起点）4 实数与向量的积： 实数 与向量 a 的积是一个向量,记作 a ,它的长度与方向规定如下：（ ）aa .（ ）当0 时, a 的方向与 a 的方向相同.当0 时, a 的方向与 a 的方向相反.当0 时,a0 ,方向是任意的 数乘向量满意交换律、结合律与安排律5 两个向量共线定理：向量b 与非零向量 a 共线有且只有一

6、个实数,使得 b =a6 平面对量的基本定理：假如 e1 ,e 2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1 ,使： a1e12 e2 ,其中不共线的向量e1 ,e 2 叫做表示这一平面内全部2向量的一组基底7 特殊留意 :（ 1 ）向量的加法与减法是互逆运算（ 2 ）相等向量与平行向量有区分,向量平行是向量相等的必要条件（ 3 ）向量平行与直线平行有区分,直线平行不包括共线（即重合）,而向量平行就包括共线（重合）的情形（ 4 ）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细位置无关,只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,

7、 以形观数, 用代数的运算处理几何问题, 特殊是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面对量的基本定理,运算第 2 页,共 8 页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的模、两点的距离、向量的夹角,判定两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它师名往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是学问的交汇点归纳总结|例 1给出以下命题：大肚容有 如| a | | b | ,就 a = b .,容学习难困 如 A, B, C, D 是不共线的四点,就ABDC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要之事,条件.学业有,成 如 a = b , b = c ,就 a =

8、 c ,层更上一楼 a =b 的充要条件是 | a |=|b | 且 a / b . 如 a / b ,b / c ,就 a / c , 其中正确的序号是解： 不正确两个向量的长度相等,但它们的方向不肯定相同 正确 ABDC , | AB| DC | 且 AB / DC ,又 A,B,C,D 是不共线的四点, 四边形ABCD 为平行四边形.反之,如四边形ABCD为平行四边形,就,AB / DC 且 | AB| DC | , 因此, ABDC 正确 a = b , a , b 的长度相等且方向相同.又 b c ,b , c 的长度相等且方向相同, a , c 的长度相等且方向相同,故a c 不正

9、确当a / b 且方向相反时,即使| a |=|b | ,也不能得到a = b ,故| a |=|b |且 a / b 不是 a = b 的充要条件,而是必要不充分条件 不正确考虑 b = 0 这种特殊情形综上所述,正确命题的序号是 点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多,因而简单遗忘为此,复习一方面要构建良好的学问结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想 例 2设 A、 B、 C、 D、 O 是平面上的任意五点,试化简： ABBCCD , DBACBDOAOCOBCO解： 原式 =ABBCCDACCDAD原式 =DBBDAC0ACAC第 3 页,共 8 页可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_名原式 =OBOA OCCOABOCCOAB0AB师归纳总|结例 3 设非零向量a 、 b 不共线, c =k a + b , d = a +kbkR,如 c d ,试求 k| 大肚容有解： c d, 容学习难困由向量共线的充要条件得：c= d R之事,业学即 k a + b = a +kb k a+ 1 kb=0有成, 更一上又 a 、 b 不共线层楼k0由平面对量的基本定理k11k0二.平面对量的坐标表示1 平面对量的坐标表示：在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i , j作为基底 由平面对量的基本定理知,该平面内的任一向量a

11、 可表示成 axiyj ,由于a 与数对 x,y 是一一对应的,因此把x,y 叫做向量 a 的坐标,记作a =x,y ,其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细位置无关,只与其相对位置有关2 平面对量的坐标运算：(1) 如ax1, y1,bx2 ,y 2,就 abx1x2 ,y 1y2(2) 如 A x 1 , y1 , B x2 , y 2,就 ABxxyy21 ,213如 a =x,y ,就a =x,y4如ax1, y1,bx2 ,y 2,就 a/ b

12、x1 y2x2 y105如 ax1, y1,bx2 ,y 2,就 a bx1x2y1y2如ab ,就0x1xyy2123 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算类型第 4 页,共 8 页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向1 平行四边形法就名师量2 三角形法就a b x1x2 ,y1y2abb的a结归纳总|a b cab c|加肚大容有法,ABBCAC容学向困习三角形法就量之难a bxx yyabab,事,学1212的业有,减成ABBA更上一法层楼OBOAAB向a 是一个向量,量满意 :的乘00时,时,a

13、与a 与aa同向;异向;法ax,ya aaaa=0 时,a = 0ababa bab向量ab 是一个数a bx xyyabba1 212的数a0 或 b 0 时 , a ba bab量积a b =0abcacbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 且 b0 时 ,2| a |2a,22| a |xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab |a|b| cos a,b| ab | | a |b |例 1 已知向量 a1,2, bx,1,ua2b , v2ab ,且 u /v ,求实数 x 的值解：由于 a1,2, bx,1, ua2b , v2ab所以u1,22 x

14、,12x1,4 , v21,2x,12x,3又由于 u / v所以 32 x142x0 ,即 10x51解得2x例 2 已知点 A4,0, B4,4, C2,6 ,试用向量方法求直线AC 和 OB （ O 为坐标原点） 交点 P 的坐标解：设 Px, y,就 OPx, y, APx4, y由于 P 是 AC 与 OB 的交点所以 P 在直线 AC 上,也在直线OB 上即得OP / OB, AP / AC第 5 页,共 8 页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由点 A4,0, B4,4, C 2,6 得, AC2,6, OB4,4名归师6x42y0总纳得方程组|结4x4y0|大肚x

15、3容有解之得,y3容习学故直线AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 3,3困难之事学,三平面对量的数量积业成有1 两个向量的数量积：, 更可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一上已知两个非零向量a 与 b层楼,它们的夹角为,就ab =abcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_叫做 a 与 b 的数量积（或内积）规定0 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 向量的投影：bcos=a b| a |R,称为向量b 在 a 方向上的投影投影的肯定值称为射可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_影3 数

16、量积的几何意义：a等于ba的长度与b 在a 方向上的投影的乘积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 向量的模与平方的关系：2|2 a aaa5 乘法公式成立：2222abababab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222abaa bb22a2a bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 平面对量数量积的运算律：交换律成立：a bba对实数的结合律成立：aba babR安排律成立：abcacbccab特殊留意 ：（ 1）结合律不成立：abcabc .ac不能得到bc= 0或b= 0（ 2 ）消去律不成立ab（ 3 ） a b =0不能得到 a可编辑

17、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量ax , y ,b x , y ,就a b =1122x xy y1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 向 量 的夹角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b , 作 OA = a ,OB = b ,就 AOB=第 6 页,共 8 页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_名（ 0180 0归师0）叫做向量a 与 b 的夹角纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总|结cos= cosa,b|大肚有容, 容学习困难之事,abx xy y22=1212abx2x1

18、y212y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学当且仅当两个非零向量a 与 b 同方向时, =0业有成, 更一上与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题层0 ,当且仅当a 与b 反方向时 =180 0,同时 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0楼9 垂直： 假如 a 与 b 的夹角为 90就称 a 与 b 垂直,记作 a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 两个非零向量垂直的充要条件：a ba b O1 xy y0x平面对量数量积的性质212例 1判定以下各命题正确与否：（ 1 ） 0a0 .（2）0 a0 .（ 3 ）如a0,aba c ,就

19、bc .如a ba c ,就 bc 当且仅当 a0 时成立.（ 5 ） a bca bc 对任意 a,b, c 向量都成立.（ 6 ）对任意向量a ,有22aa解： 错. 对. 错.错. 错. 对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 已知两单位向量a 与 b 的夹角为0120,如c2ab,d3ba ,试求 c 与 d 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_夹角解：由题意,ab1 ,且 a 与b 的夹角为0120,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,20

20、1a ba b cos120,222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ccc2ab 2ab4a4a bb7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c7 ,同理可得d13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而c d22ab 3ba7ab3b2172a,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设为 c 与d 的夹角,第 7 页,共 8 页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_师名就 cos归纳17172713911791182可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结182|肚大点评：向量的模的求法和向量间的乘法运算可见一斑有容arccos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_容,例 3 已知 a4,3,b1,2,mab, n2ab ,按以下条件求实数的学困习难值之,事学（ 1） mn .（2） m / n .3 mn业有成,更上解： mab4,32, n2ab7,8一楼层（ 1） mn47328052 .9（ 2） m/ n4832701 .2222223 mn432785488022115点评：此例展现了向量在坐标形式下的基本运算第 8 页,共 8 页可编辑资料 - - - 欢迎下载