2022年高中数学-函数的单调性奇偶性周期性对称性及函数的图像 .docx

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1、精品_精品资料_函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像一复习指导单调性：设函数 yfx定义域为 A,区间 MA,任取区间M 中的两个值 x1, x2,转变量 x x2 x1 0,就当 y fx2 f x1 0 时,就称 fx在区间 M 上是增函数,当y=fx2 fx1 0 时,就称 fx在区间 M 上是减函数 假如 y fx在某个区间 M 上是增 减函数,就说 y=fx在这一区间上具有单调性,这一区间M 叫做 y=fx的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质,在给定区间上,判定函数增减性,最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取 x1, x2,当 x1 x2 时判定相应的函数值fx

2、1与 fx2的大小利用图象观看函数的单调性也是一种常见的方法,教材中全部基本初等函数的单调性都是由图象观看得到的对于 y=fx 型双重复合形式的函数的增减性,可通过换元,令u=x,然后分别依据 u=x,y=fu在相应区间上的增减性进行判定,一般有“同就增,异就减”这一规律此外, 利用导数争论函数的增减性,更是一种特别重要的方法,这一方法将在后面的复习中有特的的争论, 这里不再赘述奇偶性：1设函数 fx的定义域为 D,假如对 D 内任意一个 x,都有 x D,且 f x= fx,就这个函数叫做奇函数.设函数 fx的定义域为 D,假如对 D 内任意一个 x,都有 x D,且 f x=fx,就这个函

3、数叫做偶函数函数的奇偶性有如下重要性质：fx奇函数fx的图象关于原点对称 fx为偶函数fx的图象关于 y 轴对称此外,由奇函数定义可知：假设奇函数fx在原点处有定义,就肯定有f 0=0 ,此时函数 fx的图象肯定通过原点周期性：对于函数 f x,假如存在一个非零常数T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有fx+T=fx成立,就函数 fx叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期关于函数的周期性,下面结论是成立的(1) 假设 T 为函数 fx的一个周期,就 kT 也是 fx的周期 k 为非零整数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 假设 T 为 y=fx的最小正周期,就

4、对称性：T为 y=Afx+b 的最小正周期,其中0|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设函数 y=fx 满意 f a x= fb+x就 y=fx的图象关于直线 xab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称,假设函数 y=fx满意 fa x= fb+x就 y=fx 的图象关于点 ab , 0对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式,利用函数的图象可以帮忙我们更好的懂得函数的性质,我们第一要熟记一些基本初等函数的图象,把握基本的作图方法,如描点作图,三角函数的五点作图法等,把握通过一些变换作函数图象的方法同

5、时要特殊留意体会数形结合的思想方法在解题中的敏捷应用(1) 利用平移变换作图：y=f x左右平移y=fx ay=fx上下平移y=fxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 利用和 y=fx对称关系作图：y=f x 与 y=fx的图象关于 y 轴对称. y= fx与 y=fx的图象关于 x 轴对称y= f x与 y fx 的图象关于原点对称. y=f-1x与 y=f x的图象关于直线 y=x 对称(3) 利用 y=fx 图象自身的某种对称性作图y=|fx|的图象可通过将 y=fx的图象在 x 轴下方的部分关于x 轴旋转 180 ,其余部分不变的方法作出y=f|x| 的图象： 可

6、先做出 y=fx,当 x 0 时的图象, 再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质, 作出 y=fx x 0的图象此外利用伸缩变换作图问题,待三角的复习中再进行争论仍要记住一些结论：假设函数y=fx 满意 fax=f b+x就 y=fx的图象关于直线 xab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称,假设函数 y=fx满意 fa x= fb+x就 y=fx 的图象关于点 ab , 0对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二解题方法指导例 1 设 a0,试确定函数f xax1x2在 1, 1上的单调性可编辑资料 - - -

7、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 争论f xx2 的增减性x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3fx在 , 2上是增函数,且对任意实数x 均有 f4 x=fx成立,判定fx在2,+上的增减性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4* 已知函数 fx的定义域为 R,对任意实数m,n,都有1f mnf mf n11且当 x时,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx 0又f 0.211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 求证f 0, f 1; 22 判定函数 fx的单调性并进行证明可编辑资

8、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 在 R 上求一个函数,使其既是奇函数,又是偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 判定以下函数的奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) f xlgxx 21a x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) f x xax其中 x为奇函数, a 0 且 a 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 设函数f xxax x2bx11,1是奇函数,判定它的增减性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8设 fx是定义域

9、为 R 且以 2 为一个周期的周期函数,也是偶函数, 已知当 x 2 ,3 时 f x=x 12+1, 求当 x 1 , 2 时 fx的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 作出 y2x1的图象,并指出函数的对称中心,渐近线,及函数的单调性x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10 作出函数的图象2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) y x1 312 y=|lg|x|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11 1作出方程 x +y =1 所表示的曲线(2) 作出方程 x 1 + y+1 =1 所表示的曲线例 12 已知

10、函数 fx和 gx的图象关于原点对称,且fx= x2+2 x(1) 求函数 gx的解析式.2 解不等式 gx fx x 1例 题 解 析例 1 解：任取 x1, x2 1, 1,且 x=x2 x1 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 yf x f x ax2ax1a x2x1 1x1 x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx12112122221x2 1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1由于 1 x1x21,所以 x=x2 x1 0, 1x1 x2 0, 1x 2 0, 1x2 0可编辑

11、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2因此当 a0 时, y=fx2 fx1 0,当 a 0 时, y=fx2 fx1 0所以当 a0 时 fx在1, 1上是增函数,当 a 0 时, fx在 1, 1上是减函数例 2 分析：可先在 0, 上争论 fx的增减性,然后依据fx的奇偶性判定其在 ,0上的增减性,而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 0 时,有f xx22 2 , 当且仅当 2 xxx 即 x2 时“=”成立,即当 x2 时,fx取得最小值2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可知 x=2 是函数单调区间的一个分界点解： 任取 x1, x2

12、 0, 2 ,且 x=x2 x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 yf x 2 f x1 x 222 x1x 2x 1 x 2x1 12x1 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 0x1x22 , x=x2 x1 0,且 12x1x20 ,因此 y=fx2 fx1 0,故 fx在 0,2 上是减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数同理可证 fx 在2 , 是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由 f xx2 xf x, 可知 fx是奇函数,其图像关于原点对称,所以可知f

13、x在 ,2 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是增函数,在 2,0 上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,f xx2 在 x,2 和 2 , 上是增函数,在2,0 , 0,2 上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 解：任取 x1, x2 2, ,且 x1 x2,就由 2 x1 x2 得 2 4 x1 4 x2由于 fx在 , 2上是增函数,所以有f4 x1 f4 x2而由已知又有 f4 x1= fx1, f4 x2=fx2,所以 fx1 fx2,故 fx 在2, 上是减函数小结： 留意体会解题中的划归思想此题假设是一个小

14、题,由f 4 x=fx 可知 fx的图像关于x=2 对称, 立刻就可以判定出fx在2, 上是减函数例 4 分析：判定这类抽象函数的单调性,关键是依据已知去制造条件,利用单调性的定义进行和判定,可以采纳分析法寻求解题思路可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由 fm n=fm fn又由1 得 f0= f0 0=2 f021 有 f0= 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_及 f 1 20 得 f 1 12111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 任取 x1, x2 R 且 x x2 x1 0 就x2x

15、12依据已知可得21f x2x10 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 f x 2 f x 2x1x1 f x2x1 f x1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0f 1 f xf x211x 121f x 121f x1f x1 2.f x 2x 1111f 2221f x 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1112函数 fx在 R 上为增函数例 5 解：设所求的 R 上的函数为 fx,就由函数奇偶性定义得f x= fx, fx= fx,联立, 消去 fx,得 fx=0可编辑资料 - -

16、- 欢迎下载精品_精品资料_明显函数 f x=0 既是奇函数又是偶函数,所以fx=0 就是所求的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 解： 1 由于对任意 x R,都有任取 x R ,就 xRx 21xx2x| x|x0 ,所以函数定义域为R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2且有 f xlgxx21lg xx21 1lg xx21f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f xlg xx1 是奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

17、_(2) 函数的定义域为R 任取 x R ,就 xR ,a x11axa x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且有 f xxxa1 x1 axxx.a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f xax xxa1是偶函数1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 解：明显 x 1,1 , x 1,1 ,由于 fx为奇函数,所以对区间 1,1 内任意实数 x 均有 f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x= fx成立,即xax 2bx1xax 2bx,也就是1xax2bx1xax 2bx这是关

18、于x 的恒等式,比较1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两端分子分母对应项的系数,可得a=b=0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f xx21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任取 x1, x2 1, 1 ,且 x=x2x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 yf x 2 f x 1 x 2x1xx112221 x 21x 2x1 121 x 2x1 x 2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 1x 1 x2 1,所以 x=x2 x1 0, 1 x1x2 0,因此 y=fx2 fx1 0,所以当 x 1,

19、1 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx2为增函数x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：此题也可以通过f0=0 , f1= f 1求得 a=b=0例 8 分析： 此题的解答要抓住两个关键点,一个是 fx为偶函数, 再一个是 fx为周期函数, 通过画出草图, 就会发觉可以先求出当x 3, 2 时函数的解析式,在利用周期性求出当x 1 ,2 时 fx的解析式,要留意体会划归的思想方法解：当 x 3, 2 时 x 2 ,3 所以 f x= x 12 1=x 12 1,由于 fx是偶函数, 因此当 x 3, 2时, fx= x1 21当 x 1 , 2 时, x

20、4 3, 2 ,有 f x4= x 4 12 1= x 32 1,由于 2 为 fx的周期,可知 4也为 fx一个周期,有fx 4= fx故 x 1 ,2 时 fx=x 32 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 解：由于 y2 x121x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以将 y的图象向左平移一个单位,再向上平移两个单位,即可得到y的图象,如图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1由图象可以得到：对称中心为 1, 2渐近线分别为 x= 1, y=2函数在 , 1和 1, 上都是增

21、函数22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10 解： 1 将函数 y如图x 3 的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位,即可的得到yx1 31 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y= lg x为偶函数,当x0 时先作出 y=lg x 的图象,在依据奇偶性作出y=lg x的图象,最终将y=lg x在横轴下面的图象关于x 轴旋转 180 ,其余部分不变即可得到y=lg x的图象,如图例 11 分析,曲线 x y=1 是关于 x 轴, y 轴和原点的对称图形,利用对称性可以很快的作出曲线, 至于曲线 x 1 y 1 =1,只需通过将曲线 x y 1 适当平移即

22、可得到解： 1 先作出线段 xy=1x 1, y 1,再作出该线段分别关于x 轴, y 轴和原点分别对称的线段,就得到方程 x y=1 所表示的曲线,如图2将1 中方程 x y =1 所表示的曲线右移一个单位, 下移一个单位就得到方程x 1 y 1=1 所表示的曲线,如图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12 解： 1 设 fx上任意一点Px0, y0关于原点的对称点为P x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x就2y0y20x0x即0y0y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0由于点 Px0, y0在 f x=x2 2x 的图像上,所以 y0故 gx= x2 2x2由 gx fx x1得 2x2 x 122x0,即 y= x2 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1 时,不等式化为 2x2 x 1 0,此式无实数解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1 时,不等式化为 2x2 x 1 0 解得1x1,因此 gx fx x1解集为 21, 1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载