2022年高中数学数列求和方法 .docx

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1、精品_精品资料_数列求和1公式法 ：必需记住几个常见数列前n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列：Snna12an na1n n1d.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列：Sna1 11qn .q1q111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2分组求和 ：如：求 1+1,4 ,2aa7 , ,a n 13n2 ,的前 n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可进行分组即： 1111aa 2a 31an 11473n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

2、_前面是等比数列,后面是等差数列,分别求和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： Sn3n3n1na121) na12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 裂 项 法 ： 如1111an, 求Sn, 常 用 的 裂 项,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn2n n1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n n2111 .2nn2nn11 n2112 nn11n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 错位相减法：

3、 其特点是 cn=anbn 其中 an是等差, bn是等比 如：求和 Sn=1+3x+5x2+7x3+ +2n 1xn 1留意争论 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 2Sn2nx11 x n 12n1x n 21xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x012(5) 倒序求和： 等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的.如求证：Cn +3Cn +5Cn +2n 1 Cn n=n+12n.名题归类例释错位相减法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1求数例 1, 3a, 5a , 7

4、a , 2n 1a, a 1 的前 n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23n-1解：因 S n=13a5a 7a 2n 1a,1n3(1) a得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2aSn=a 3a5a 2n 3an-1 2n 1a, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相减得23n-1n1 aSn=1 2a 2a 2a 2a 2n 1a=21 a a2 a3 an-1 2n 1a n -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 2 1（11a n a2n1) a n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

5、 - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 : Sn211an a) 2 2n1a n11a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_裂项求和法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2求和： 111 211 2 311 2 3 411 2 3,nnN* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12解：ak,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12k11Sn21 22 3kk11n n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1111112 112n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223nn1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下

6、载精品_精品资料_分部求和法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3已知等差数列an 的首项为 1,前 10 项的和为 145,求 a2a 4a 2n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：第一由就 aaS10 n10a11) d109d 23n2a145d33 2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12n2n21 2n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a4a2n32 22 2n31 22n3 22n 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

7、- 欢迎下载精品_精品资料_倒序相加法：01n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4设数列an是公差为 d ,且首项为 a 0d 的等差数列, 求和： Sn 1a 0Cna1CnanCn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于Sn 101na Ca Ca C0n1nnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sa C naC n 1a C 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1nnn 1n0n1+2得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

8、精品资料_2 SaaC 0aaC 1aaC n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 10nn1n 1nn0n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa C 0C 1C n aa2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0nnnn0n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Saa 2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 10n常规题型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 已知数列an中,Sn 是其前 n 项和,并且Sn 14 an2 n1,2, a11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设数列

9、bnan 1an2an n1,2, ,求证：数列bn是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设数列 cn, n2n1,2, ,求证：数列cn是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1由 Sn1 =4a n2 , Sn2 =4a n1 +2,两式相减,得Sn2 -Sn1 =4a n1 -a n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 a n2 =4a n1 -4a n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a n 2 -2a n1=2

10、a n1 -2a n ,又 b n =a n1 -2a n ,所以 b n1 =2b n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 S 2 =4a 1 +2, a 1 =1, a1 +a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5, b 1 =a 2 -2a 1 =3n1由 和 得,数列 b n 是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故b n =3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 设二次方程an x 2 - an +1x+1=0n N有两根和,且满意6 -2 +6 =31试用 an 表示 a n 1 .an 16an2an3,6an 13an2, an 11

11、an2132 an 1231 an2131 an223an 1a232312n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3数列an中, a18, a42 且满意an 22an 1annN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Sn| a1 | a 2 | an|,求Sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1由题意,an 2an 1an 1an , an为等差数列,设公差为d ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意得 283dd2 ,an82 n1102n .可

12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设 102n0就n5 , n5时, Sn| a1 | a 2 | an |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2an8102nn29nn 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n6 时, Sna1S5a2 SnS5 a5a6a 72 S5Snann 29n40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 Sn9nn2n5 n 29n40n6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.连线高考填空题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、湖南卷 假设数列an满意： a11, an 12a

13、n .n1 , 2, 3 . 就 a1a 2an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：数列an满意： a11,an 12an , n1 , 2, 3,该数列为公比为2 的等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1a22 n1an2n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、山东卷 设 Sn 为等差数列an的前 n 项和,S4 14 , S1044S7 30,就 S9.1可编辑资料 - - - 欢

14、迎下载精品_精品资料_解： 设等差数列an的首项为 a1,公差为 d,由题意得4a1d214,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10a1101021 d7a17721 d30,联立解得 a1 =2,d=1 ,所以 S9 92991 1542可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、浙江卷 设Sn 为等差数列an的前 n 项和,假设S510, S105 ,就公差为用数字作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答.解析 ：设首项为a1 ,公差为 d ,由题得可编辑资料

15、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5a1 10a110d1045d5a12d22a19d19d4d14d1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、重庆卷 在数列 an中,假设 a1=1,an+1=2an+3 n1,就该数列的通项an=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 ：在数列an 中,假设 a11, an 12an3n1 ,an 132 an3n1 ,即 an3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是以 a134 为首项, 2 为公比

16、的等比数列, an34 22,所以该数列的通项an23 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、北京卷 设等差数列 an的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. 假设 a11 =0,S14=98, 求数列 an的通项公式. 假设 a1 6, a11 0, S14 77,求全部可能的数列an的通项公式 .解：由 S14=98 得 2a1 +13d=14,又 a11=a1+10 d=0,故解得 d= 2,a1=20.因此, an的通项公式是 an=222n,n=1,2,3 S1477,2a113d11,2a113d11,由a110,得a110d 0,即2a120d 0,a16a162a11211由 +得 7d 11 .即 d.71由 +得 13 d 1,即 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是13111 d713可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 d Z,故 d= 1将代入得10 a1 12.又 a1 Z,故 a1 =11 或 a1=12.所以,全部可能的数列an 的通项公式是 an=12- n 和 an=13-n,n=1,2,3, 可编辑资料 - - - 欢迎下载