2022年高中数学直线与圆的方程知识点总结汇编.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品文档高中数学之直线与圆的方程一、概念懂得：1、倾斜角：找：直线向上方向、x 轴正方向.平行： =0.范畴： 0 180 .2、斜率：找k ：k=tan （ 90）.垂直：斜率k 不存在.范畴：斜率 k R.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、斜率与坐标：ktany1y2x1x2y2y1x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_构造直角三角形（数形结合）.斜率 k 值于两点先后次序无关.留意下标的位置对应.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、直线与直线的位置

2、关系：l1 : yk1xb1, l2 : yk2 xb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相交：斜率k1k2 （前提是斜率都存在）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特例 -垂直时： l1x轴,即k1不存在,就 k20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜率都存在时：k1k21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平行： 斜率都存在时：k1k2 , b

3、1b2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重合：斜率都存在时：k1k2 ,b1b2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、方程与公式：1、直线的五个方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点斜式：yy0k xx0 将已知点 x0 ,y0 与斜率k 直接带入即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜截式：ykxb将已知截距0,b 与斜率k 直接带入即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

4、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy1两点式：y2y1xx1x2x1,其中 x1x2 , y1y2 将已知两点 x1, y1, x2, y2 直接可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_带入即可.截距式：xy1ab将已知截距坐标a ,0, 0,b 直接带入即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式：AxByC0,其中 A、 B 不同时为0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式.2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方

5、程联立,解方程组即可精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、距离公式：两点间距离：P Pxx 2 yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 21212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点到直线距离：dAx0By0C AB可编辑资料 - - - 欢迎

6、下载精品_精品资料_22平行直线间距离：dC1C222AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、中点、三分点坐标公式：已知两点A x1 , y1 , B x2 , y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AB中点 x0 ,y0 ： x1x2 , 2y1y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AB三分点s1 ,t1, s2,t2 ： 2x13x2 , 2 y13y2 靠近 A 的三分点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x12 x2 ,

7、 y132 y2 3靠近 B 的三分点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中点坐标公式,在求对称点、第四章圆与方程中,常常用到.三分点坐标公式,用得较少,多见于大题难题.5. 直线的对称性问题已知点关于已知直线的对称: 设这个点为P（ x0, y0） , 对称后的点坐标为P（ x, y ）,就 pp的斜率与已知直线的斜率垂直,且pp的中点坐标在已知直线上.三、解题指导与易错辨析：1、解析法（坐标法） ：建立适当直角坐标系,依据几何性质关系,设出点的坐标.依据代数关系（点在直线或曲线上）,进行有关代数运算,并得出相关结果.将代数运算结果,翻译成几何中“所求或所要证明”.2、动点

8、P到两个定点A、B 的距离“最值问题” ：y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PA PAPB 的最小值：找对称点再连直线,如右图所示：PB 的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”.ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 PAPB的最值：函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴”.3、直线必过点：含有一个参数-y=a-1x+2a+1 = y=a-1x+2+3令： x+2=0 =必过点 -2,3含有两个参数-3m-nx+m+2ny-n=0 = m3x+y+n2y-x-1=0令： 3x+y=0、 2y-x-1=0联立方程组求解=必过点 -1/7,3/74、易错辨析

9、： 争论斜率的存在性：解题过程中用到斜率,肯定要分类争论：斜率不存在时,是否满意题意.斜率存在时,斜率会有怎样关系. 留意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解.（求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见.）精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品文档 直线到两定点距离相等,有两种情形：直线与两定点所在直线平行.直线过两定点

10、的中点.圆的方程1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆,其中定点称为圆的圆心,定长为圆的半径.2. 圆的方程表示方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一种：圆的一般方程x 2y 2DxEyF0其中圆心 CD ,E,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D 2E 24F半径 r.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 D 2当 D 2当 D 2E 24 FE 24FE 24 F0 时,方程表示一个圆,0 时,方程表示一个点0 时,方程无图形 .D ,E.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

11、欢迎下载精品_精品资料_其次种：圆的标准方程圆 xa 2 yb 2r 2 . 其中点Ca, b 为圆心, r 为半径的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三种：圆的参数方程圆的参数方程：xar cos（为参数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ybr sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：圆的直径方程：已知Ax 1, y1 Bx 2 , y 2 xx1 xx 2 yy1 yy2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 点和圆的位置关系：给定点M x0 ,y 0 及圆C : xa) 2

12、 yb) 2r 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C 内 x 0a) 2 y 0b) 2r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C 上（ x0a) 2 y 0b) 2r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C 外 x 0a) 2 y 0b) 2r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 直线和圆的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

13、设圆圆 C ： xa) 2 yb) 2r 2 r0 .直线 l ： AxByC0 A 2B 20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AaBbC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心 C a, b 到直线 l 的距离d.A 2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ dr dr dr时, l 与 C 相切. 时, l 与 C 相交., 时, l 与 C 相离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、圆的切线方程：2一般方程如点 x0 , y0 在圆上,就 x ax0 a+y by0 b= R

14、 .特殊的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过圆 x2y 2r 2 上一点P x0 ,y 0 的切线方程为x0 xy 0 yr 2 . 注: 该点在圆上, 就切线方程只可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有一条 精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1

15、y0k x1x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如点 x0 , y0 不在圆上, 圆心为 a,b就Rby1k ax1 ,联立求出 k切线方程 .（注：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R21过圆外的点引切线必定有两条, 如联立的方程只有一个解,那么另外一条切线必定是垂直于X 轴的直线.）6. 圆系方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过 两 圆 的 交 点 的 圆 方 程 ： 假设 两 圆 方程 为 ：C1:x2 +y2+Dx+Ey+F =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1112222C2:x+y +D2x+E2y+F2 =0

16、就 过 两 圆 的 交 点 圆 方 程 可 设 为 ： x +y +D1x+E1y+F1 +22（ x +y +D2x+E2y+F2） =0111222过两圆的交点的直线方程：x 2+y2+D x+E y+F - x 2+y2+D x+E y+F =0（两圆的方程相减得到的方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 与圆有关的运算：程就是直线方程）22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弦长的运算： AB=2* R -d其中 R 是圆的半径, d 等于圆心到直线的距离2AB=（ 1+k ）* X1-X 2其中 k 是直线的斜率,X1 与 X2 是直线与圆的方程联立之后得

17、到的两个根过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径8. 圆的一些最值问题圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径假设P（ x, y）是在某个圆上的动点,就（x-a ） / （ y-b ）的最值可以转化为圆上的点与该点（ a,b）的斜率问题,即先求过该定点的切线,得到的斜率便是该分式的最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设P（ x ,y ）是在某个圆上的动点, 就求 x+y 或 x-y 的最值可以转化为： 设 T=x+y 或 T=x-y ,在圆上找到点X,Y 使得以 y=x+T 或 y=x-T 在

18、 Y 轴上的截距最值化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 圆的对称问题已知圆关于已知的直线对称,就对称后的圆半径与已知圆半径是相等的,只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可.如某条直线无论其如何移动都能平分一个圆,就这个直线必过某定点,且该定点是圆的圆心坐标圆锥曲线椭圆椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：PF1PF22a2aF1F2 其次定义：PFce0d ae 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222、

19、标准方程：xy1ab0或22yx1ab0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2a2b 2精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、参数方程x a cosy b sin（为参数）几何意义：离心角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、几何性质：

20、（只给出焦点在x 轴上的的椭圆的几何性质）、顶点 a,0,0,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、焦点 、离心率c,0ec 0 ae1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准线： xa 2（课改后对准线不再要求,但题目中有时给出）c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、焦点三角形面积：2SbtanPF1F22 （设F1PF2） 推导过程必需会可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、椭圆面积：S椭a b

21、 （明白即可）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、直线与椭圆位置关系：相离（0）.相交（0 ）.相切（0 ）判定方法：直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判定根的个数8、椭圆切线的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）切点（2x y）已知时,x2y1ab0x xy y切线001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00a2b2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22yx1ab0y0 yx0 x切线1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222a 2b2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）切线斜

22、率k 已知时,x2y2a 2b 21ab0切线 ykxa kb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 2x2a 2b29、焦半径：椭圆上点到焦点的距离1ab0切线 ykxb2k 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221ab0abraex0 （左加右减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221ab0abraey0 （下加上减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：

23、PF1PF22a其次定义：PFce e1da可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品文档x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、标准方程：221aab0, b0 （焦点在x 轴）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

24、资料_22yx1a0, b0 （焦点在y 轴）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参数方程：x a secy b tan（为参数） 用法：可设曲线上任一点Pa sec, b tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、几何性质 顶点 a,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 焦点 离心率c,0ecaa 2c2a 2b2e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 准 线 xc可编辑资料 - -

25、 - 欢迎下载精品_精品资料_ 渐近线x2y2a 2b21a0, b0bx2yx 或2aay2b 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2x2by2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、特殊双曲线221aab0, b0yx 或a220ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、等轴双曲线221e2aa渐近线 yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、双曲线xa 2y2x2b 21的共轭双

26、曲线a 2y2b 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线性质 2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上5、直线与双曲线的位置关系 相离（0 ）.相切（0 ）. 相交（0 ）判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起0时可以是相交也可以是相切6、焦半径公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2a2b21a0, b0点 P 在右支上rex0a （左加右减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P 在左支上rex0a （左加右减）可编辑资料 - - - 欢迎下

27、载精品_精品资料_精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品文档y2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221aab0, b0点 P 在上支上rey0a （下加上减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P 在上支上rey0a （下加上减）可编辑资料 - -

28、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、双曲线切线的求法x2y2x xy y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 切点 P x , y 已知1a0, b0切线001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00a 2b2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 2x21a0, b0y yx x00切线1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 切线斜率K 已知x2y2a 2b21ykxa 2k 2b 2 kb a可编辑资料 - - - 欢迎下

29、载精品_精品资料_y2x2a 2b21ykxa 2b 2k 2 kb a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、焦点三角形面积：抛物线2Sbcot（为PF1F22F1 PF2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：平面内与肯定点和肯定直线的距离相等的点的集合（轨迹）2、几何性质： P 几何意义：焦准距焦点到准线的距离设为P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准方程：y22 px p0y22 px p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图像：范围：x0x0对 称 轴：x轴x轴 顶点：（ 0, 0）（ 0, 0）可编辑资料 - - -

30、欢迎下载精品_精品资料_焦点：（p ,0 ）（2p ,0 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离 心 率：e1e1准线：xpxp22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准方程：x22 py p0x22 py p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图像：范对围： 称 轴：yy0轴yy0轴精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - -

31、- - - - - - - -精品文档定点：（0, 0）（ 0,0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点：（0,p ）0,p 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离 心 率：e1e1准线：ypyp22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、参数方程x 2 pt 2y 2 pt（ t 为参数方程）y22 px p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦2b2椭圆：双曲线通径长a抛物线通径长2P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、直线与抛物线的位置

32、关系1）相交（有两个交点或一个交点）2）相切（有一个交点） .3）相离（没有交点）6、抛物线切线的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）切点 Px0 , y0 已知：y22 px p0 的切线.y0 yp xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）切线斜率K 已知：y22px p0 :ykxp 2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y22 px p0 :ykxp 2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22 py p0 :2ykxpk 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22 py p0 :ykxpk 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此类公式填空挑选或解答题中（部分）可作公式直接应用附加：弦长公式：ykxb 与曲线交与两点A、B 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dABxx1k 21yy1可编辑