2022年高中数学分章节知识点总结相应习题.docx

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1、精品_精品资料_不等式学问总结一、不等式的性质1. 两个实数 a 与 b 之间的大小关系1a b 0 ab. 2a b = 0 a = b. 3a b 0 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a、bR ,就456ab 1a b.a= 1a = b.ba 1a bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 不等式的性质(1) abb a对称性 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 2ab bca c 传递性 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) abacbc加法单调性 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b c

2、0ac bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 乘法单调性 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b c 0ac bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) ab cacb移项法就 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 6ab cdacb d 同向不等式可加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(7) 7ab cda cb d 异向不等式可减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab 0(8) cd 0ac bd同向正数不等式可乘 可编辑资料 - - - 欢迎

3、下载精品_精品资料_(9) 9ab 0 0cdab异向正数不等式可除 cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(10) 10a b 0 nNanbn 正数不等式可乘方 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b 0(11) 11nNn a n11b正数不等式可开方 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12a b 03. 肯定值不等式的性质1|a| a. |a|=a b 正数不等式两边取倒数aa 0 , aa 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

4、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 假如 a 0,那么22|x|ax aaxa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|x|ax 2a2x a或x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3|a b| |a| |b|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a4| b| a| b|b 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5|a| |b| |a b| |a| |b|6|a1 a2 an| |a1| |a2| |an| 二、不等式的证明1. 不等式证明的依据可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

5、品资料_(1) 实数的性质：a、b同号ab 0. a、b异号ab 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab 0ab.a b 0ab.ab = 0a = b(2) 不等式的性质 略3 重要不等式： |a|0. a2 0. a b2 0a、b R a2 b2 2aba、b R,当且仅当 a=b 时取“ =”号ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22. 不等式的证明方法aba 、bR,当且仅当a = b时取“= ”号 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 比较法：要证明 a ba b,只要证明 a b 0a b0,这种证明不等式的方可编辑资料 - -

6、- 欢迎下载精品_精品资料_法叫做比较法用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判定符号(2) 综合法：从已知条件动身,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法(3) 分析法：从欲证的不等式动身,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需条件已判定为正确时,从而肯定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法证明不等式除以上三种基本方法外,仍有反证法、数学归纳法等 三、解不等式1. 解不等式问题的分类(1) 解一元一次不等式(2) 解一元二次不等式(3) 可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式.解分式不等式.解无理不等式.解指

7、数不等式.解对数不等式.解带肯定值的不等式.解不等式组2. 解不等式时应特殊留意以下几点：(1) 正确应用不等式的基本性质(2) 正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3) 留意代数式中未知数的取值范畴 3不等式的同解性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1fx gx 0与fx 0或fx 0同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gx 0gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2fx gx 0与fx 0或fx 0同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gx 0gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3fxgx 0与fx

8、 0或gx 0fx 0同解gx 0gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 4fxgx 0与fx 0或gx 0fx 0同解gx 0gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5|fx| gx 与 gx fx gx 同解 gx 06|fx| gx 与 fx gx 或 fx gx 其中 gx 0同解.与 gx 0 同解fx gx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(7) fx gx与(8) fx gx 与fx 0gx 0fx gx 2fx 0fx 0或gx 0同解同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精

9、品_精品资料_(9) 当 a 1 时, afx agx 与 fx gx 同解,当 0 a 1 时, afx agx与 fx gx同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(10) 当a 1时, log afx log agx 与fx gx fx 0同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当0a 1时, log afx log agx与fx gx fx 0gx 0同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面解析几何学问总结一、坐标法1. 点和坐标建立了平面直角坐标系后,坐标平面上的点和一对有序实数x , y 建立了

10、一一对应的关系2. 两点间的距离公式22设两点的坐标为 P1x 1,y 1, P2 x 2, y2,就两点间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|P1P2|= x 2x 1 y 2y 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊位置的两点间的距离,可用坐标差的肯定值表示：(1) 当 x 1=x 2 时两点在 y 轴上或两点连线平行于y 轴,就|P1P2|=|y2 y1|(2) 当 y 1=y 2 时两点在 x 轴上或两点连线平行于x 轴,就|P1P2|=|x2 x1|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 线段的定比分点(1) 定义：设P点把有向线段P

11、1 P2 分成P1 P和 PP2 两部分,那么有向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线段 P1 P和 PP2 的数量的比,就是P1PP点分P1 P2 所成的比,通常用 表示,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 =PP2,点 P叫做分线段P1P2 为定比 的定比分点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当P点内分P1P2 时, 0.当P点外分P1P2 时, 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 公式：分 P1x 1,y 2和 P2x 2, y

12、2 连线所成的比为 的分点坐标是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x 2x1yy1y 21 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊情形,当P是P1P2 的中点时, = 1,得线段P1P2 的中点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式x1x 2x2y1y 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、直线1. 直线的倾斜角和斜率(1) 当直线和 x 轴相交时, 把 x 轴围着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角,叫做这条直线的倾斜角当直线和 x 轴平行线重合时,规定直线的倾

13、斜角为0 所以直线的倾斜角 0 , (2) 倾斜角不是 90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率,直线的斜率常用k表示,即k = tan 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k 0 时, =arctank 锐角 当 k0 时, = arctank 钝角 (3) 斜率公式：经过两点P1x 1, y1、P2x 2 ,y2的直线的斜率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 2y112k =x x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2x12. 直线的方程(1) 点斜式已知直线过点 x 0, y0,斜

14、率为 k,就其方程为： y y 0=kx x 0(2) 斜截式已知直线在 y 轴上的截距为b,斜率为 k,就其方程为： y=kx b(3) 两点式已知直线过两点 x 1, y1 和x 2, y2,就其方程为：yy1xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 2y1=x 2x 1x 1x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 截距式已知直线在 x, y 轴上截距分别为 a、b,就其方程为：xy1ab(5) 参数式已知直线过点 Px 0, y0,它的一个方向向量是a, b,0xx 0at可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就其参数式方程为yybtt为

15、参数 ,特殊的,当方向向量为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_vcos , sin 为倾斜角 时,就其参数式方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x 0y y 0t cos t sin t 为参数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时, t的几何意义是tv = p0p , |t|=|p 0p|=|p 0p|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 一般式Ax By C=0A 、B 不同时为 0 7 特殊的直线方程垂直于 x 轴且截距为a 的直线方程是x=a,y 轴的方程是 x=0 垂直于 y 轴且截距为b 的直线方程是y=b, x

16、 轴的方程是 y=0 3. 两条直线的位置关系(1) 平行：当直线 l1 和 l2 有斜截式方程时,k 1=k 2 且 b1b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当l1 和l2A 1是一般式方程时,A 2B 1 C1B 2C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 重合：当 l 1 和 l 2 有斜截式方程时,k1 =k2 且 b1=b2,当 l 1 和 l2 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1一般方程时,A 2B 1C1B 2C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 相交：当 l 1, l 2 是斜截式方程时,k 1

17、k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当l1 , l2是一般式方程时,A 2 B 1A 2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点：A 1xB1yC1A 2 xB 2yC200的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜 到角： l交1到l 2的角 tank 2k 1 11k 1k 2k 1k 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_夹角公式：l1和l 2夹角tan| k 21k1k1k 2|1k 1k 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

18、精品_精品资料_垂直当l1和l 2 有叙截式方程时,k 1k 2= 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当l1和l 2 是一般式方程时,A 1A2B 1B 2 = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 点 Px 0, y0与直线 l： Ax By C=0 的位置关系：Ax 0 By 0C = 0P在直线 l上点的坐标满意直线方程 Ax 0 By 0C 0P在直线 l外可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点Px, y 到直线l 的距离为：d = |Ax 0+ By 0+ C|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00A 2B25. 两条平行直

19、线 l 1Ax By C1=0, l 2Ax By C2=0 间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|C1C 2 |A 2B 2的距离为： d =6. 直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系,它的方程的特点是除含坐标变量x, y 以外,仍含有特定的系数也称参变量 确定一条直线需要两个独立的条件,在求直线方程的过程中往往先依据一个条件写出所求直线所在的直线系方程,然后再依据另一个条件来确定其中的参变量(1) 共点直线系方程：经过两直线 l 1 A 1xB 1y C1=0,l2 A 2xB 2y C2=0 的交点的直线系方程为： A 1x B1y C1 A 2x B 2y

20、 C2=0 ,其中 是待定的系数在这个方程中, 无论 取什么实数, 都得不到 A 2xB2y C2=0,因此它不表示l 2当 =0 时,即得 A 1x B1y C1=0,此时表示 l 1(2) 平行直线系方程： 直线 y=kx b 中当斜率 k 肯定而 b 变动时, 表示平行直线系方程与直线 Ax By C=0 平行的直线系方程是Ax By =0 C, 是参变量(3) 垂直直线系方程：与直线Ax By C=0A 0, B 0垂直的直线系方程是： Bx Ay =0 假如在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解7. 简洁的线性规划(1) 二元一次不等式 Ax

21、By C0或 0表示直线 Ax By C=0 某一侧全部点组成的平面区域二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,即各个不等式所表示的平面区域的公共部分(2) 线性规划： 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题,例如, z=ax by,其中 x, y 满意以下条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1xB1yC1 0或 0 A 2 x B 2yC2 0 或 0A n x BnxCn 0 或 0*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 z 的最大值和最小值,这就是线性规划问题,不等式组 * 是一组对变量 x、

22、y 的线性约束条件, z=ax by 叫做线性目标函数满意线性约束条件的解 x ,y 叫做可行解, 由全部可行解组成的集合叫做可行域,使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解 三、曲线和方程1定义在选定的直角坐标系下,假如某曲线C 上的点与一个二元方程fx , y=0 的实数解建立了如下关系：(1) 曲线 C 上的点的坐标都是方程fx , y=0 的解一点不杂 .(2) 以方程 fx , y=0 的解为坐标的点都是曲线C 上的点 一点不漏 这时称方程 fx , y=0 为曲线 C 的方程.曲线 C 为方程 fx , y=0 的曲线 图形 设 P= 具有某种性质 或适合某种条件 的点

23、,Q=x , y|fx , y=0 ,如设点 M 的坐标为 x 0, y0,就用集合的观点,上述定义中的两条可以表述为：1M Px 0 ,y 0 Q,即PQ. 2x 0 ,y 0 QM P,即QP以上两条仍可以转化为它们的等价命题逆否命题 ：1x 0 ,y 0QMP. 2MPx 0 ,y 0 Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显,当且仅当PQ且QP,即P = Q时,才能称方程fx ,y = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为曲线 C 的方程.曲线 C 为方程 fx , y=0 的曲线 图形 2曲线方程的两个基本问题(1) 由曲线 图形 求方程的步骤：建系,

24、设点： 建立适当的坐标系, 用变数对 x ,y表示曲线上任意一点M 的坐标.立式：写出适合条件p 的点 M 的集合 p=M|pM.代换：用坐标表示条件pM ,列出方程fx ,y=0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简：化方程 fx ,y=0 为最简形式.证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点上述方法简称“五步法” ,在步骤中如化简过程是同解变形过程.或最简方程的解集与原始方程的解集相同,就步骤可省略不写,由于此时所求得的最简方程就是所 求曲线的方程(2) 由方程画曲线 图形 的步骤：争论曲线的对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点 .求截距：可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_方程组f x,y0的解是曲线与x轴交点的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程组f x,y0的解是曲线与y轴交点的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0争论曲线的范畴.列表、描点、画线3. 交点求两曲线的交点,就是解这两条曲线方程组成的方程组4. 曲线系方程过两曲线 f 1x ,y=0 和 f2x ,y=0 的交点的曲线系方程是f1x ,y f2x ,y=0 R 四、圆 1圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合轨迹 叫圆2. 圆的方程(1) 标准方程 x a2 y b2=r2 a,

26、b为圆心, r 为半径 特殊的：当圆心为0, 0时,方程为x2 y2=r 2(2) 一般方程 x 2 y2 Dx Ey F=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方xD 2ED 2y 2E 24F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当D 2E 2 4F 0时,方程表示以 D ,E 为圆心,以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1D 2222E 24F为半径的圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当D 2 E 2 4F = 0时,方程表示点DE

27、 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22当 D2 E2 4F 0 时,方程无实数解,无轨迹(3) 参数方程以a, b为圆心,以r 为半径的圆的参数方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xar cos ybr sin 为参数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,以 0, 0为圆心,以 r 为半径的圆的参数方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x r cosy r sin 为参数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d,圆的半径为 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

28、_(1) 点在圆外(2) 点在圆上(3) 点在圆内dr. d = r. dr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 直线与圆的位置关系设直线 l：Ax By C=0 和圆 C： x a2 y b2=r2,就|AaBbC|dA 2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解,(2) 相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解,(3) 相离直线与圆的方程组成的方程组无解,0或dr.= 0或d = r. 0或d r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 求圆的切线方法(1) 已知圆 x2 y2 Dx Ey F=0如已知切点

29、 x 0, y0 在圆上,就切线只有一条,其方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D xx 0 xy 0y2x0 E y2y 0 F0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 0 , y 0 在圆外时,x xy y D x 0002xy 0 E2y F = 0表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过两个切点的切点弦方程如已知切线过圆外一点x 0,y0,就设切线方程为y y0=kx x 0,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,留意不要漏掉平行于y 轴的切线如已知切线斜率为k,就设切线方程为 y=kx b,再利用相切条件求b,这时必有两条切线(2)

30、已知圆 x2 y2=r 2如已知切点P0x 0, y0在圆上,就该圆过P0 点的切线方程为 x 0x y0 y=r2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知圆的切线的斜率为k,圆的切线方程为y = kxrk 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为 r1、r 2,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 两圆外切(2) 两圆内切(3) 两圆相交|O1O 2|= r1 r2 .|O1O 2|=|r 1 r2 |.|r1 r2 |O 1O 2 |r1r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

31、资料_圆锥曲线学问总结一、圆锥曲线1. 椭圆(1) 定义定义 1：平面内一个动点到两个定点F1、F2 的距离之和等于常数 大于 |F1F2|,这个动点的轨迹叫椭圆这两个定点叫焦点 定义 2：点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数e0 e 1 时,这个点的轨迹是椭圆a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 图形和标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图8 1的标准方程为： 图8 2 的标准方程为：x 2y 2a 2 b 2x 2y 2b 2 a 21a b 01a b 0可编辑资料 - - -

32、欢迎下载精品_精品资料_(3) 几何性质条件M|MF 1 |+|MF 2|=2a , 2a |F1 F2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|MF 1 |MF 2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M|点M到l 1 的距离= 点M 到l 的距离2= e, 0 e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准方程x 2a2y 2b 21ab 0x 2y 2b2a21ab 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点A1 a , 0 , A2 a , 0 B10 , b , B20 , bA10 , a, A20 , a B1 b , 0 , B2

33、b , 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴对称轴： x 轴, y 轴长轴长 |A1A2|=2a ,短轴长 |B1 B2|=2b 焦点F1 c , 0 , F2 c , 0F10 , c, F2 0 , c 焦距|F1F2|=2cc 0, c2 =a2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率ec 0e1 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a2准线方程l 1：x. l 2 ：xcc|MF 1 | a ex0 ,a2a 2l1 ： y.l 2 ： y cc|MF 1| a ey0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点半径|MF 2| a ex0|MF 2| a ey0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_外点和椭圆x 2y 2001x , y 在椭圆上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的关系a 2b 200内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 为切线斜率22, 2k