2022年高中数学平面向量专题复习 .docx

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1、精品_精品资料_专题八平面对量一、复习要求一向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分.向量常用有向线段来表示,留意不能说向量就是有向线段,为什么？向量可以平移 .如：2. 零向量：长度为 0 的向量叫零向量,记作： 0 ,留意零向量的方向是任意的.3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB 共线的单位向量是AB .| AB |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量, 相等向量有传递性.5. 平行向量也叫共线向量 ：方向相同或相反的非

2、零向量a 、b 叫做平行向量, 记作： a b ,规定零向量和任何向量平行.提示：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等.两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合.平行向量无传递性； 由于有 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三点 A、B、C共线AB、AC共线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量是 a .如以下命题：1假设 ab ,就 ab .2两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同. 3假设 ABDC ,就AB

3、CD 是平行四边形.4假设 ABCD 是平行四边形, 就 ABDC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5假设ab,bc ,就 ac .6假设a / b, b/ c ,就a / c .其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中正确的选项是 二、向量的表示1. 几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后.2. 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等.3. 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、 y 轴方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相同的两个单位向量 i , j 为基底,就平面内的任一向量a

4、 可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示为axiy jx, y ,称x, y 为向量 a 的坐标, a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x, y 叫做向量 a 的坐标表示.假如向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三平面对量的基本定理： 假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1 、 2 ,使 a= 1 e1 2 e2.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1假设 a1,1,b1, 1,c 1,2 ,就 c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2以下向量组中,能作为平

5、面内全部向量基底的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. e1C.e0,0, e23,5, e1, 2B.6,10D.e1 1,2, e2e2,3,e5,713,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_241212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 已知AD, BE 分别是ABC 的边BC, AC 上的中线 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADa, BEb , 就 BC 可用向量 a,b 表示为 4 已知ABC 中, 点 D 在 BC 边上, 且 CD2 DB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CDr ABs AC,

6、就 rs的值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四实数与向量的积： 实数 与向量 a 的积是一个向量, 记作a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它的长度和方向规定如下： 1aa , 2当 0 时,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的方向与 a 的方向相同,当0 时,a 的方向与 a 的方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相反,当 0 时, a五平面对量的数量积：0 ,留意：a 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 两个向量的夹角： 对于非零向量 a ,b ,作 OAa,OBb ,AOB0称为向量 a ,b 的

7、夹角,当 0 时, a ,b 同向,当 时, a , b 反向,当 时, a , b 垂直.22. 平面对量的数量积：假如两个非零向量a , b ,它们的夹角为 ,我们把数量 | a |b | cos叫做 a 与b 的数量积或内积或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点积,记作： a . b ,即 a . b a b cos.规定：零向量与任可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一向量的数量积是 0,留意数量积是一个实数, 不再是一个向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 1 ABC 中 ,| AB |3 , | AC |4 , | BC |5 , 就可

8、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB BC 2已知 a1,1 ,b0,1 , cakb , dab ,c 与d 的夹角22为 ,就 k 等于 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3已知 a2, b5, a b3 ,就 ab 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4已知 a, b是两个非零向量, 且 abab ,就 a与ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的夹角为 3. b 在 a 上的投影为 | b | cos于 0.如,它是一个实数,但不肯定大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

9、资料_已知 | a |3 , | b |5 ,且 a b12 ,就向量 a 在向量 b 上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_投影为 4a . b 的几何意义： 数量积 a . b 等于 a 的模 | a| 与b 在 a 上的投影的积.5向量数量积的性质： 设两个非零向量 a ,b ,其夹角为 ,就： aba . b0 . 当 a , b同 向 时 , a.b a b, 特 别 的 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222aa. aa, aa.当 a 与b 反向时, a . b a b .当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为锐角时, a . b 0

10、,且 a、b 不同向, a b0 是 为锐角的必要非充分条件. 当 为钝角时, a . b 0,且a、b 不反向, a b0 是为钝角的必要非充分条件. 非 零 向量 a , b 夹 角的 计 算 公式 ： cosa .b .a b | a . b | | a | b |.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1已知 a,2 , b3,2,假如 a 与 b 的夹角为锐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角,就 的取值范畴是 2 已 知 OFQ 的 面 积 为 S , 且 OFFQ1 , 假 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

11、载精品_精品资料_1S322,就 OF , FQ夹角 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六向量的运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 几何运算：向量加法：利用“平行四边形法就”进行,但“平行四边形法就”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法仍可利用“三角形法就”：设 ABa, BCb ,那么向量 AC 叫做 a 与b 的和,即 abABBCAC . 向 量 的 减 法 ： 用 “ 三 角 形 法 就 ”： 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABa,ACb, 那么abABACCA,由减向量的终点指向可编辑资料 - - - 欢迎下

12、载精品_精品资料_被减向量的终点.留意：此处减向量与被减向量的起点相同.如 化 简 ： ABBCCD . ABADDC . ABCD ACBD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 坐标运算：设 ax1, y1, b x2, y2,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的加减法运算： abx1x2 , y1y2 .如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1已知点A2,3,B5,4, C 7,10 ,假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_APABAC角平分线上R ,就当 时,点 P 在第一、三象限的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

13、品资料_2已知就 xyA2,3, B1,4, 且 1 AB2sin x,cos y ,x, y, , 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实数与向量的积：ax1, y1x1,y1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设A x1, y1, Bx2,y2 ,就ABx2x1, y2y1 ,即一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 A2,3, B 1,5 ,且 AC1 AB , AD33AB ,就 C、D 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精

14、品_精品资料_分别是 平面对量数量积：a .bx1x2y1 y2 .如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知向量 a sinx ,cosx ,b sinx ,sinx ,c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,0.1假设 x,求向量 a 、c 的夹角.2假设 x33, ,84可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 f xa b 的最大值为1 ,求 的值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的模：| a |x2y2 , a2| a |2x2y2 .如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角

15、为 60 ,那么 | a3b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点间的距离：假设A x1, y1, B x2, y2,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB |2x2x12y2y1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七向量的运算律：1. 交换律： abba ,aa , a .bb . a .2 结 合 律 ： abcabc, abcabc,a . ba . ba .b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 分 配 律 ：aaa,aba

16、b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab . ca . cb . c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如以下命题中： a bc a bac .a b c a bc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ab2| a |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 | a | | b | b |2 . 假设 a b0 ,就 a0 或 b0 .假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a bc b, 就 ac . a2a .a bb2. a b222ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品_精品资料_ ab222a2a bb .其中正确的选项是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示：1向量运算和实数运算有类似的的方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数, 两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量, 切记两向量不能相除 相约 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的“乘法”不满意结合律,即ab . ca . b c ,为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_八向量平 行 共 线 的充要条件 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a /

18、baba b 2| a |b | 2x1 y2y1 x2 0.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 假设向量 a方向相同 x,1, b4, x ,当 x 时 a 与b 共线且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知 a1,1,b4, x , ua2b , v2ab ,且u / v ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3设 PAA,B,C 共线k,12, PB4,5, PC10, k ,就 k时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_九 向 量 垂 直 的充 要条 件：aba b0|

19、 ab | | ab |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2y1 y20 . 特殊的 ABAC ABAC .如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABACABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 已知 OA 1,2, OB3, m ,假设 OAOB ,就 m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2以原点 O和 A4,2 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B90,就点 B的坐标是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3已知

20、n a, b, 向量 nm ,且 nm ,就 m 的坐标是十向量中一些常用的结论：1一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用.2| a | b | | ab | | a | b | ,特殊的,当 a、b 同向或有0| ab | | a | b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | b | | ab |.当a、b反向或有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0|ab | | a | b | a | b | | ab |. 当 a、b不 共 线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | b | | ab | | a | b | 这些和实

21、数比较类似 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3在 ABC 中,假设A x1, y1, B x2, y2,C x3, y3 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其重心的坐标为 Gx1x2x3 , y1y2y3.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33假设 ABC的三边的中点分别为 2,1、-3 ,4、-1 ,-1 , 就 ABC的重心的坐标为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PG1 PAPBPC 3G 为 ABC 的重心, 特殊的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAP

22、BPC0P 为 ABC 的重心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PA PBPB PCPCPAP 为 ABC的垂心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量 AB| ABAC| AC0 所在直线过ABC 的内心 是|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BAC 的角平分线所在直线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4向量 PA、PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、 使得 PAPBPC且1 . 如平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点A3,1 , B1,3 ,可编辑资料 - - -

23、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设点 C 满意 OC1 OA2 OB, 其中1 ,2R 且 121 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就点 C 的轨迹是 四：同步练习2022 年高考文科数学解析分类汇编：平面对量一、挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 2022 年高考重庆文 设 xR , 向量 ax,1,b1,2, 且 ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就| ab |A 5B 10C 25D 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 2022年高考天津文 在 ABC 中,A90,

24、 AB1, 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P, Q 满 足APAB, AQ1 AC ,R .假 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BQ CP2 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B 233C 43D2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 2022年高考四川文 设 a 、 b 都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab| a |b |成立的充分条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A | a | |b |

25、 且 a / bB abCa / bD a2b5 2022年高考辽宁文 已知向量 a = 1, 1,b= 2,x.假设 a b= 1, 就 x =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B 12C 12D1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 2022年高考广东文对任意两个非零的平面对量和, 定义, 假设平面对量a 、 b 满意 ab0 , a 与 b 的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0, 且 ab 和 ba 都在集合4n nZ中, 就 ab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

26、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 12B 1C 32D 52可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 2022年高考广东文 向量 假设向量 AB1, 2, BC3,4, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACA 4,6B4,6C2, 2D 2, 29 2022年 高 考 大 纲 文 ABC 中 ,AB 边 的 高 为 CD , 假 设CBa , CAb , a b0 , | a | 1 , | b |2 , 就 AD11223344A abB abC abD ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

27、_33二、填空题335555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_102022年高考浙江文 在 ABC中,M 是 BC 的中点 ,AM=3,BC=10, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB AC =.12 2022年 高 考 课 标 文 已 知 向 量 a ,b 夹 角 为450 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a |=1,|2ab |=10 , 就| b |=.14. 2022年高考湖南文 如图 4, 在平行四边形ABCD中 ,AP BD,垂足可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 P, AP3 且 AP AC =.AD可编

28、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. 2022年高考湖北文 已知向量 a1,0, b1,1, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 与 2ab 同向的单位向量的坐标表示为 ; 向量 b3a 与向量 a 夹角的余弦值为.16. 2022年高考北京文 已知正方形 ABCD的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点 , 就 DE CB 的值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. 2022年高考安徽文 设向量 a1,2m, bm1,1,c2, m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 ac b , 就 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载