2022年高中数学圆的方程典型题型归纳总结.docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程.常用的圆系方程有如下几种：以为圆心的同心圆系方程过直线与圆的交点的圆系方程过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程, 必需检验圆是否满意题意, 谨防漏解.当时,得到两圆公共弦所在直线方程例 1：已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,如,求实数的值.分析：此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最终验证得解.如果充分

2、挖掘此题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上. 而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大的简化运算过程.解：过直线与圆的交点的圆系方程为：,即 . 依题意,在以为直径的圆上,就圆心（）明显在直线上,就,解之可得又满意方程,就故例 2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程.解：圆和的公共弦方程为,即过直线与圆的交点的圆系方程为,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,就两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心必在公共弦所在直线上.即,就类型二：直线与圆的位置关系可编辑资料 - -

3、- 欢迎下载精品_精品资料_例 5、如直线 yxm与曲线 y4x2有且只有一个公共点,求实数m 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代回圆系方程得所求圆方程解：曲线 y4x2表示半圆 x 2y 24 y0 ,利用数形结合法,可得实数m 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3:求证： m 为任意实数时,直线 m1x 2m 1y m 5 恒过肯定点 P,并求 P 点坐标.围是2m2 或 m22 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：不

4、论 m 为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就肯定是直线系中任意两直线的交点.解：由原方程得mx 2y1 x y 5 0,变式练习： 1.如直线 y=x+k 与曲线 x=解析：利用数形结合 .答案： 1 k 1 或 k= 21y恰有一个公共点,就k 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y10x9解得例 6 圆 x32 y329 上到直线 3x4 y110 的距离为 1 的点有几个？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 xy50y4 ,分析： 借助图形直观求解或先求出直线l1 、 l 2 的方程,从代数运算中查找解答可编辑资料 - - - 欢迎下载

5、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线过定点 P（ 9, 4）解法一： 圆 x3 2 y329 的圆心为O13 , 3 ,半径 r3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：方程可看作经过两直线交点的直线系.例 4 已知圆 C：（x1）2（ y 2）225,直线 l：（2m+1）x+（m+1） y 7m 4=0（mR） .设圆心O1到直线 3 x4 y110 的距离为 d ,就 d334311324223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）证明：不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒

6、交于两点.（2） ）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程 .剖析：直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.（ 1）证明： l 的方程（ x+y 4）+m（ 2x+y 7） =0.如图,在圆心两个交点符合题意O1 同侧,与直线 3x4 y110 平行且距离为 1 的直线l1 与圆有两个交点,这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m R,2x+y 7=0,得x=3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x+y4=0,y=1,即 l 恒过定点 A（3, 1） .圆心 C（ 1, 2）, AC 5 5（半径）,点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点

7、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）解：弦长最小时, l AC,由 kAC 1 ,又 rd321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 l 的方程为 2x y 5=0.与直线 3 x4 y110 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评述：如定点 A 在圆外,要使直线与圆相交就需要什么条件了？摸索争论符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线3x4 y110 ,且与之距离为 1 的直线和圆的交点 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

8、料_所求直线为 3x4 ym0 ,就 dm111,3242的最大、最小值分析： 1、2 两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m115 ,即 m6 ,或 m16 ,也即解： 1法 1由圆的标准方程 x32 y421 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1：3 x4 y60 ,或l 2：3 x4 y160 可设圆的参数方程为x 3cosy 4sin,（是参数）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆 O ：x32 y329 的圆心到直线l 、 l

9、的距离为d 、 d ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13 3436d13 , d233412123161就 dx2y 296 coscos2168 sinsin 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32423242266 cos8 sin2610 cos （其中tan）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l1与 O1 相切, 与圆点共 3 个O1 有一个公共点.l2 与圆 O1 相交, 与圆O1 有两个公共点 即符合题意的所以 dmax261036 , d min261016 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 对于此题,

10、如不留心,就易发生以下误会：设圆心 O1 到直线 3x4 y110 的距离为 d ,就 d334311324223法 2圆上点到原点距离的最大值的最小值 d2 等于圆心到原点的距离d 1 等于圆心到原点的距离d 1 减去半径 1d 1 加上半径 1,圆上点到原点距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆 O1 到 3 x4 y110 距离为 1 的点有两个所以 d12d 23324242116 4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显, 上述误会中的 d 是圆心到直线 3 x4 y110 的距离, dr ,只能说明此直线与圆有所以 dmax36 d min16 可编

11、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1类型三：圆中的最值问题2 法 1由 x222y1 得圆的参数方程：x2ysincos ,是参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7：圆 x 2y 24 x4 y100 上的点到直线 xy140 的最大距离与最小距离的差是就 y2sin2 令sin2t ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 圆 x2 2 y2 218 的圆心为 （ 2 , 2 ）,半 径 r32 ,圆心到直线的距离x1cos3cos3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d1052r, 直线

12、与 圆 相 离, 圆 上的 点 到 直 线 的最 大距 离 与 最 小 距 离的差 是得 sint cos23t ,1 t 2sin23t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2dr dr 2r62 .2 3t1t 23sin3133t33 4433可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 81 已知圆O1：x3 2 y421 , Px ,y 为圆 O上的动点,求 d22xy 的最大、最所以 tmax, tmin44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小值2已知圆O2： x2 2y21 , P x ,y 为圆上任一

13、点求y2 的最大、最小值,求x1x2 y即 y2 的最大值为x13 3 ,最小值为433 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 x2 y2cos2 sin25 cos 即 m1cossin 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x2 y 的最大值为25 ,最小值为25 只须 m 不小于1cossin 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2法 2设x1图所示,k ,就 kxyk20 由于P x

14、 ,y 是圆上点,当直线与圆有交点时,如设 usincos 12 sin14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ umax21即 m21 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 在这种解法中,运用了圆上的点的参数设法一般的,把圆 xa 2 yb2r上的点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设为 ar cos, br sin 0 , 2 采纳这种设法一方面可削减参数的个数,另一方面可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以敏捷的运用三角公式从代数观点

15、来看,这种做法的实质就是三角代换两条切线的斜率分别是最大、最小值2kk233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 d1k 21,得 k4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 y x2 的最大值为13 3 ,最小值为433 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 x2 yt ,同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值2m由 d1 ,得 m25 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x2 y的最大值为25 ,最小值为25 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9、已知对于圆 x2 y1 21上任一点Px ,y ,不等式 xym0 恒成立,求实数 m 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆 x2 y121上任一点Pcos,1sin 0 , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xcos, y1sin xym0 恒成立 cos1sinm0可编辑资料 - - - 欢迎下载