2022年高中数学排列组合经典题型全面总结版.docx
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1、精品_精品资料_高中数学排列与组合(一)典型分类讲解一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由于末位和首位有特殊要求, 应当优先支配 , 以免不合要求的元素占了这两个位置.1先排末位共有 C3C4然后排首位共有1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4最终排其它位置共有A3131C 4A 4C 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由分步计数原理得113C C A434288可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 如两种葵花不种在中间,也不种在两端
2、的花盆里,问有多少不同的种法?二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法 .解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_素内部进行自排.由分步计数原理可得共有522A A A522480 种不同的排法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_甲 乙丙 丁要求某几个元素必需排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列 ,同时要留意合并元素内部也必需排列.练习题 : 某人射击
3、 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20三. 不相邻问题插空策略5例 3. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场 , 就节目的出场次序有多少种?可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 分两步进行第一步排2 个相声和 3 个独唱共有A5 种,其次步将 4 舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4A A54种 A6 不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目的不同次序共有56种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入
4、中间和两端练习题: 某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目. 假如将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为30四. 定序问题倍缩空位插入策略例 4.7人排队 , 其中甲乙丙 3 人次序肯定共有多少不同的排法解: 倍缩法 对于某几个元素次序肯定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素73可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_之间的全排列数 , 就共有不同排法种数是:A7 / A 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_77 空位法 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐
5、共有方法.摸索: 可以先让甲乙丙就坐吗 .A4 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1 种坐法,就共有A4 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(插入法 先排甲乙丙三个人 , 共有 1 种排法 , 再把其余 4 四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩法,仍可转化为占位插空模型处理C5练习题 :10 人身高各不相等 , 排成前后排,每排 5 人, 要求从左至右身高逐步增加,共有多少排法?10五. 重排问题求幂策略例 5. 把 6 名实习生安排到 7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法解: 完成此事共分六步 : 把第一名实习生安排到车间有7种分法 . 把其次名实习生安排到车间也有7 种
6、分依此类推 , 由分步计数原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_理共有76 种不同的排法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答应重复的排列问题的特点是以元素为争论对象,元素不受位置的约束,可以逐一支配各个元素的位置,一般的n 不n同的元素没有限制的支配在m 个位置上的排列数为m 种练习题:1. 某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目. 假如将这两个节目插入原节目单中,那么不同插可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法的种数为 422. 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯 , 下电梯的方法78可编辑
7、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六. 环排问题线排策略例 6. 8人围桌而坐 , 共有多少种坐法 .解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人( 8-1 );种排法即 7 ;CA4 并从今位置把圆形展成直线其余7 人共有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4DBEAA B C D E FFHGG H A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_An一般的,n 个不同元素作圆形排列 ,共有 n-1. 种排法 .假如从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有1mn练习题: 6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈120可编辑资料 - -
8、 - 欢迎下载精品_精品资料_七. 多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法解:8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成一排 . 个特殊元素有5215A 2 种, 再排后 4 个位置上的特殊元素丙有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41A 4 种, 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有A 5 种, 就共有A 4 A4 A 5 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 排后 排一般的 , 元素分成多排的排列问题 , 可归
9、结为一排考虑 ,再分段争论 .练习题:有两排座位,前排11 个座位,后排 12 个座位,现支配 2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐,并且这2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是346八. 排列组合混合问题先选后排策略例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 , 每盒至少装一个球 , 共有多少不同的装法.24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有C5 种方法 . 再把 4 个元素 包含一个复合元素 装入 4 个不同的盒内有A4 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C A54方法,依据分步计数原理装
10、球的方法共有24解决排列组合混合问题 ,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相像吗.练习题:一个班有 6 名战士 , 其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务 , 每人完成一种任务 , 且正副班长有且只有1人参与 , 就不同的选法有 192 种九. 小集团问题先整体后局部策略222例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 在两个奇数之间 , 这样的五位数有多少个?可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:把 , , , 当作一个小集团与排队共有A2 种排法,再排小集团内部共有A2 A2 种排法,由分步计数原理共有可编
11、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222练习题:A 2 A 2A 2 种排法.15243可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. 方案展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , 幅油画 , 幅国画 ,排成一行陈设 , 要求同一品种的必需连在一起, 并且水可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_彩画不在两端,那么共有陈设方式的种数为254A A A254255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 5男生和女生站成一排照像, 男生相邻 , 女生也相邻的排法有A 2A 5 A 5种可编辑资料 - -
12、- 欢迎下载精品_精品资料_十. 元素相同问题隔板策略例 10. 有 10 个运动员名额,分给7 个班,每班至少一个 , 有多少种安排方案?解:由于 10 个名额没有差别,把它们排成一排.相邻名额之间形成个间隙.在个空档中选个位置插个隔板,可把名额可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6分成份,对应的分给个班级,每一种插板方法对应一种分法共有C9 种分法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一二三四五六七班班班班班班班将 n 个相同的元素分成 m 份( n, m 为正整数) ,每份至少一个元素 ,可以用 m-1 块隔板,插入n 个元素排成一排的 n-1 个Cn 1间隙中,
13、全部分法数为m 1练习题:C91 10 个相同的球装5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法?4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 . xyzw100 求这个方程组的自然数解的组数3C103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十一. 正难就反总体剔除策略例 11. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10 的偶数 , 不同的取法有多少种?解:这问题中假如直接求不小于10 的偶数很困难 , 可用总体剔除法. 这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数 , 所取的三个数含有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 个偶数的取
14、法有C , 只含有 1 个偶数的取法有C C , 和为偶数的取法共有C1C 2C 3 .再剔除和小于 10 的偶数共 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_312555123555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_种,符合条件的取法共有C5C5C59可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷 ,可以先求出它的反面,再从整体中剔除 .练习题:我们班里有 43 位同学 , 从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 .十二. 平均分组问题除法策略例 12. 6本不同的书平均
15、分成 3 堆, 每堆 2 本共有多少分法?222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:分三步取书得C6 C4 C2种方法 , 但这里显现重复计数的现象, 不妨记 6 本书为 ABCDE,F 如第一步取 AB,其次步取 CD,第三222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_步取 EF 该分法记为 AB,CD,EF, 就 C6 C4 C23中仍有 AB,EF,CD,CD,AB,EF,CD,EF,ABEF,CD,AB,EF,AB,CD共有2223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A3 种取法 , 而这些分法仅是 AB,CD,EF 一种分法 , 故共有C6C4 C
16、 2/ A 3 种分法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平均分成的组 ,不管它们的次序如何,都是一种情形 ,所以分组后要肯定要除以An n 为均分的组数 防止重复计数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n练习题:5442可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1将 13 个球队分成 3 组, 一组 5 个队 , 其它两组 4 个队,有多少分法?(C13C8 C4/ A 2 )可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.10 名同学分成 3 组, 其中一组
17、 4 人,另两组 3 人但正副班长不能分在同一组, 有多少种不同的分组方法( 1540)3. 某校高二年级共有六个班级,现从外的转入 4 名同学,要支配到该年级的两个班级且每班支配2 名,就不同的支配方案种数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为( C 2C 2 A 2/ A 290 )可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4262十三.合理分类与分步策略例 13. 在一次演唱会上共 10 名演员 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法解: 10 演员中有 5 人只会唱歌, 2 人只会跳舞 3 人为全能
18、演员.选上唱歌人员为标准进行争论只会唱的5 人中没有人选上唱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_歌人员共有22C3 C3 种, 只会唱的 5 人中只有1 人选上唱歌人员225342211222C 1C1C 2 种, 只会唱的5 人中只有 2 人选上唱歌人员有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C5 C5种,由分类计数原理共有C3 C3C5C3C4C5 C5 种.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按大事发生的连续过程分步,做到标准明确.分步层次清晰,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终.练习题
19、:1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参与某个座谈会,如这 4 人中必需既有男生又有女生,就不同的选法共有342. 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人, 他们任选 2 只船或 3 只船, 但小孩不能单独乘一只船 ,这 3 人共有多少乘船方法.(27)此题仍有如下分类标准:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_* 以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准* 以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准* 以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四. 构造模型策略例 14.公路上有编号为1,
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