2022年高中数学必修三角函数常考题型正切函数的性质与图像 .docx

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1、精品_精品资料_【学问梳理】1. 正切函数的性质函正切函数的性质与图像y tan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数定x x k, k Z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义域2函y tan x数值域 , 周期T 奇偶性奇函数单调性在每个开区间kk2,2 k Z上都是增函数2. 正切函数的图像(1) 正切函数的图像：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 正切函数的图像叫做正切曲线(3) 正切函数的图像特点：正切曲线是被相互平行的直线x k, k Z 所隔开的无穷多支曲线组成的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【常考题型】2题型一、

2、正切函数的定义域、值域问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】求以下函数的定义域和值域：4(1) y tan x . 2 y3tan x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解1 由 x 4k2kZ 得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x k4, kZ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以函数 y tan x xx k kZ ,其值域为 , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 的定义域为4,(2) 由3 tan x 0 得, tan x3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 结合 y tan

3、x 的图像可知,在 ,2 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意 tan x 3的角 x 应满意 2x3,所以函数 y3 tan x的定义域为x k 2a 的不等式的步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【对点训练】求函数 y1 1 tan x的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 要使函数有意义,就有1 tan x 0,tan x 1,x k4且 x k2, kZ.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,函数 y1的定义域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan xx x k 4且x k 2, kZ.题型

4、二、正切函数的单调性及应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x【例 2】1求函数 y tan 12 4 的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42 比较 tan 13与 tan 125的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解1 由 k 1 Z 得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xk2 242 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k2x2k32 ,kZ ,可编辑资料

5、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12所以函数 y tanx4 的单调递增区间是2k, 2k 232kZ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 13 4 33 122 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 由于 tan4 tan4 tan 4 tan,tan5 tan5 tan 5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4又 2 0 ,452而 y tan x 在 0, 2 上单调递增,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以22可编辑资料

6、- - - 欢迎下载精品_精品资料_tan4 tan 5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 tan134tan12 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【类题通法】1. 求函数 yAtanx A, , 都是常数 的单调区间的方法(1) 假设 0,由于 y tan x 在每一个单调区间上都是增函数,故可用 “ 整体代换 ” 的思想,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 k x k x 的范畴即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22,求得(2) 假设 0,可利用诱导公式先把yAtanx

7、转化为 yAtan x Atan x ,即把 x 的系数化为正值,再利用“ 整体代换 ” 的思想,求得x 的范畴即可2. 运用正切函数单调性比较大小的方法(1) 运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2) 运用单调性比较大小关系【对点训练】1. 比较 tan 1, tan 2, tan 3 的大小解： 由于 tan 2 tan2 , tan 3 tan3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于22由于 ,所以 22 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3,所以 223 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

8、载精品_精品资料_明显22 3 12,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 又 y tan x 在 2, 2 内是增函数,所以 tan2 tan3 tan 1,即 tan 2tan 3tan 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 求函数 y 3tan4 2x 的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： y 3tan 42x 3tan 2x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 由 2 k2x 42 k得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k32 x88k2kZ ,

9、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 y 3tan4 2x 的单调递减区间为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k3 k 8 2, 8 2k Z 题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题3【例 3】1求 fx tan 2x 的周期.2 判定 y sin x tan x 的奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解1 tan 2x3 tan 2x 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 tan 2 x tan 2x,233fx tan 2x的周期是 .32可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载精品_精品资料_2 定义域为x x k, kZ,关于原点对称,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x sin x tan x sin x tan x fx,它是奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【类题通法】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1) 一般的,函数 y Atanx 的最小正周期为 T|,经常利用此公式来求周期(2) 判定函数的奇偶性要先求函数的定义域,判定其是否关于原点对称假设不对称,就该函数无奇偶性,假设对称,再判定f x与 fx的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【对点训练】关于 x 的函数 fx ta

11、nx有以下几种说法： ,对任意的 ,fx都是非奇非偶函数. f x的图像关于 20 对称. fx的图像关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ , 0对称. fx是以 为最小正周期的周期函数其中不正确的说法的序号是 解析： 假设取 kkZ ,就 fx tan x,此时, fx为奇函数,所以错.观看正切函kkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 y tan x 的图像,可知 y tan x 关于2 , 0 kZ 对称,令 x 2 得 x 2 ,分别令 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1,2 知、正确,明显正确答案： 【练习反馈】1. 函数 y ta

12、n x x k2, k Z 的单调性为 A 在整个定义域上为增函数B 在整个定义域上为减函数C在每一个开区间 2 k,2 kk Z上为增函数D在每一个开区间 2 2k, 22k k Z 上为增函数解析： 选 C由正切函数的图像可知选项C 正确2. 函数 y tancos x 的值域是 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 4, 4B. 2 , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C tan 1 ,tan 1D 以上均不对解析： 选 C1 cos x 1,且函数 ytan x 在 1,1 上为增函数, tan 1 tan x tan1.可编辑资料 - - - 欢

13、迎下载精品_精品资料_即 tan 1tan x tan 1.x3. 函数 y 5tan 2 的最小正周期是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： T 12 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 244. 函数 y 3tan x, x的值域为6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2, 2 上是增函数,解析： 函数 y 3tan x 3tan x,由于正切函数在 所以3 y 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以值域为 3, 3 答案：

14、 3, 3 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 求函数 y tan2x 6 的定义域、周期及单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解： 由124 k, kZ , 62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 x 3 2k, kZ ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以函数 y tan2x6 的定义域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x43 2k,kZ.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1T1 2,所以函数 y tan2x 6 的周期为 2.21 由 2 k2x 62 k, kZ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23 2kx43 2k, kZ.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以函数 y tan1x26 的单调递增区间为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 3 2k,43 2kkZ 可编辑资料 - - - 欢迎下载