2022年高中数学必修常考题型简单的线性规划问题.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -简洁的线性规划问题【学问梳理】线性规划的有关概念名称意义约束条件变量 x,y 满意的一组条件线性约束条件由 x, y 的二元一次不等式或方程 组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y 的解析式线性目标函数目标函数是关于x, y 的二元一次解析式可行解满意线性约束条件的解x, y可行域全部可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题【常考题型】题型一、求线性目标函数的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

2、资料_【例 1】设变量 x, y 满意约束条件x 2y 2, 2x y 4,4x y 1,就目标函数z 3x y 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33A. 2, 6B. 2, 12C 1,6D 6, 3x 2y2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 约束条件2x y4,4x y 1所表示的平面区域如图阴影部分,直线y 3x z 斜率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - -

3、 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图象知当直线y 3x z 经过 A2,0时, z 取最大值6,当直线y 3x z 经过 B1, 3 时,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,z 取最小值 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z 3xy 的取值范畴为3, 6 ,应选 A. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 A【类题通法】解线性规划问题的关键是精确的作出可行域,正确懂得z 的几何意义,对一个封闭图形而言

4、,最优解一般在可行域的边界上取得在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点【对点训练】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1设 z 2x y,变量 x、y 满意条件x4y 3, 3x 5y 25, x 1,求 z 的最大值和最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解作出不等式组表示的平面区域,即可行域,如下列图把z 2x y 变形为y 2x z,就得到斜率为2,在 y 轴上的截距为z,且随 z 变化的一组平行直线由图可以看出,当直线 z 2xy 经过可行域上的点A 时,截距z 最大,经过点B 时,截距 z 最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组

5、x 4y 3 0, 3x 5y 25 0,得 A 点坐标为 5,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组x 1, x4y 3 0,得 B 点坐标为 1,1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z 最大值 2 5 2 12, z 最

6、小值 2 1 1 3.题型二、求非线性目标函数的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】设 x, y 满意条件x y5 0, x y0, x 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 求 u x2 y2 的最大值与最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2 求 v 的最大值与最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 5 解画出满意条件的可行域如下列图,(1) x2 y2 u 表示一组同心圆圆心为原点O ,且对同一圆上的点x2 y2 的值都相等,由图可知：当 x, y在可行域内取值时,当且仅当圆O 过 C 点时, u 最大,过

7、 0,0时, u 最小又 C3,8,所以 u 最大值 73, u 最小值 0.(2) vy表示可行域内的点Px,y到定点 D 5,0的斜率,由图可知,kBD 最大, kCD 最小,x 5又 C3,8 , B3, 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 v 最大值 33 53, v 最小值 2835 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法1 非线性目标函数最值问题,要充分懂得非线性目标函数的几何意义,诸如两点间的距离 或平方 ,点到直线的距离,过已知两点的直线斜率等,充分利用数形结合学问解题,能起到事半功倍的成效可编辑资

8、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2 常见代数式的几何意义主要有：x2 y2表示点 x, y与原点 0,0的距离. x a 2 y b 2表示点 x, y与点 a, b的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 表示点 x, y与原点 0,0 连线的斜率. xy b表示点 x, y与点 a,b连线的斜率这些代x a可编辑资料 - - -

9、 欢迎下载精品_精品资料_数式的几何意义能使所求问题得以转化,往往是解决问题的关键【对点训练】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 已知变量x, y满意约束条件x y2 0, x 1, x y7 0.就y的最大值是 ,最小值是 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 由约束条件作出可行域如下列图 ,目标函数zy x表示坐标x,y与原点 0,0连线的斜率由图可知,点C 与 O 连线斜率最大.59B 与 O 连线斜率最小, 又 B 点坐标为 , ,C 点坐标为 1,6,所以 kOB22 9, kOC 6.5y9故 的最大值为6,最小值为. x5可编辑资料 - - -

10、 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 695题型三、已知目标函数的最值求参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】如实数 x, y 满意不等式组x 2 0, y 1 0, x 2y a 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_目标函数t x 2y 的最大值为2,就实数a 的值是 解析 如右图,x2,由x2y a 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

11、精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2,得a 2代入 x2y 2 中,解得a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2, 答案 2【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范畴问题解答此类问题必需明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得,运用数形结合的思想、方法求解同时要搞清目标函数的几何意义【对点训练】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3已知 x, y 满意x y 5 0, x 3, x y k0.且 z 2x 4y 的最小值为6,就常数k 可编辑资

12、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2B 9C310D 0 解析 选 D由题意知,当直线z 2x 4y 经过直线x 3 与 x yk 0 的交点 3, 3 k时, z 最小,所以6 2 3 4 3 k,解得 k 0.题型四、简洁的线性规划问题的实际应用【例 4】某公司方案在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告,广告总费用 不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元/ 分钟和 200 元 / 分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3 万元和 0.2 万元 问该公司如何安排在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益

13、最大,最大收益是多少万元？ 解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和 y 分钟,总收益为z 元,由题意得x y300, 500x200y 90 000, x 0,y 0.目标函数为z 3 000x 2 000y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x y 300,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二元一次不等式组等

14、价于5x 2y 900, x 0,y 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图作直线 l ：3 000 x 2 000y0, 即 3x 2y 0.平移直线l ,从图中可知,当直线l 过 M 点时,目标函数取得最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x y 300,联立5x 2y 900,解得 x 100, y 200.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点M 的坐标为 100,200 z 最大值 3 000 x2 000 y700 000 元因此, 该公司在甲电视台做100 分钟广告, 在乙电视台做200

15、 分钟广告, 公司的收益最大,最大收益是70 万元【类题通法】利用线性规划解决实际问题的步骤是：设出未知数当数据较多时, 可以列表格来分析数据.列出约束条件,确立目标函数. 作出可行域. 利用图解法求出最优解.得出结论【对点训练】4铁矿石A 和 B 的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2 的排放量b 及每万吨铁矿石的价可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

16、 - -格 c 如下表：ab万吨 c百万元 A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨 铁,如要求CO2 的排放量不超过2万吨 ,就购买铁矿石的最少费用为 百万元 解析： 可设需购买A 矿石 x 万吨, B 矿石 y 万吨,x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就依据题意得到约束条件为：y0, 0.5x0.7y 1.9, x 0.5y 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_目标函数为z 3x 6y,当目标函数经过1,2点时目标函数取最小值,最小值为：z 最小值 3 1 6 2 15.答案： 15【练习反馈】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

17、料_1 z x y 在2xy 1 0, x 2y 1 0, x y 1的线性约束条件下,取得最大值的可行解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 0,1B 1, 111C1,0D ,22解析： 选 C可以验证这四个点均是可行解,当x 0, y 1 时, z 1.当 x 1, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, 1 时, z0.当 x1, y 0 时, z 1.当 x12y 1时, 2z 0.排除选项A , B, D ,应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知变量x,y 满意约束条件x y1,

18、 x y1, x 1 0,就 z x 2y 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 3B 1C 5D 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解析： 选 C由约束条件作出可行域如图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 z x2y 得 y1zz2x , 的几何意义为直线在y 轴上的截距,22可编辑资料 - -

19、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x当直线 y 12z 过直线2x 1 和 x y 1 的交点 A 1, 2时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z 最小,最小值为5,应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.已知实数x、y 满意y 2x, y 2x, x 3,就目标函数z x 2y 的最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值是 解析： 不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示目标函数可化为y 1 1 ,作直线 y1x 及其平行线, 知当此直线经过点A2x2z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

20、品资料_z时, 12的值最大,即z 的值最小又A 点坐标为 3,6,所以 z 的最小值为3 2 6 9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4已知点Px, y的坐标满意条件x y4, y x, x 1,点 O 为坐标原点,那么|PO|的最小值等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ,最大值等于 解析： 点 Px, y满意的可行域为ABC 区域, A1,1,C1,3由图可得, |PO|最小值 |AO |2.|PO|最大值 |CO |10.答案：210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5已知 x, y

21、 满意约束条件x y 32x 3y 3,求 z x 2y 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 作出不等式组x y 32x 3y 3的可行域,如下列图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_画出直线l 0：x 2y0,平移直线l

22、0 到直线 l 的位置, 使 l 过可行域内某点,且可行域内其他点都在l 的不包含直线l0 的另外一侧,该点到直线l0 的距离最小,就这一点使z x 2y 取最小值明显,点A 满意上述条件,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy 3123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解2x3y 3得点 A5 , 5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z 最小值 12 23 18.555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载