2022年高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数 .docx

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1、精品_精品资料_幂函数【学问梳理】1. 幂函数的概念一般的,函数 y x 叫做幂函数其中x 是自变量, 是常数2. 常见幂函数的图象与性质yx2解析式y xy x2yx311xy图象定义域RRRx|x00 , 值域R0 , Ry|y00 , 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数在 , 0 上在 , 0上在 , 单调递减,在在 , 单调递减,在在0 , 上上单调递增0 , 上单调递增上单调递增0, 上单调递减单调递增定点1,13幂函数的性质1 全部的幂函数在区间0, 上都有定义,并且图象都过点1,1 单调性(2) 时0 ,幂函数的图象通过原点,并且在区间0, 上是增函数特殊的,当 1时,幂

2、函数的图象下凸.当 01时,幂函数的图象上凸(3) 1 其中幂函数的个数为. y 4x 2. y x5 1. y x 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B 2C3D 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 已知幂函数 y m2m1 xm22 m 3,求此幂函数的解析式,并指出定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 解析为指数函数,中系数不是1,中解析式为多项式,中底数不是自变量本身,所以只有是幂函数,应选B. 答案 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 解 y m2m1 xm22 m 3为幂函数,可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品_精品资料_ m2 m 1 1,解得 m 2 或 m 1.当 m 2 时, m2 2m 3 3,就 yx 3,且有 x0.当 m 1 时, m2 2m 3 0,就 yx0 ,且有 x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求幂函数的解析式为yx 3, x|x 0或【类题通法】y x0 , x|x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定一个函数是否为幂函数的方法判定一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y x 为常数 的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满意：1指数为常数. 2 底数为自变量. 3 系数为 1.反之,假设一个函数为幂函数,就该函

4、数应具备这一形式,这是我们解决某些问题的隐含条件【对点训练】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx 2m2 m 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mm1 x是幂函数,且当x 0, 时, fx 是增函数,求 fx 的解析式解：依据幂函数的定义得m2 m 1 1.解得 m 2 或 m 1.当 m 2 时, fx x3 在0, 上是增函数.当 m 1 时, fx x3 在0, 上是减函数,不符合要求故 fx x3.题型二、幂函数的图象【例 2】 1 如图, 图中曲线是幂函数y x 在第一象限的大致图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, ,22象,已知

5、 取 2,112 四个值,就相应于曲线C1, C2 ,C3, C4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 的值依次为 1111A 2, 2, 2, 2B 2, 2, 2, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 1, 2,2, 1D 2, 1, 2, 12222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 如图是幂函数 y A 1n0m1B n 1,0m1 C 1n1 D n1xm 与 yxn 在第一象限内的图象,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 1令 x2,就22212212 2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

6、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故相应于曲线 C1, 234C ,C , C 的 值依 次为 2,11, ,222.应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 此类题有一简捷的解决方法,在0,1 内取 x0,作直线 x x 0,与各图象有交点,就 “点低指数大 ”如图, 0m1 ,n 1. 答案 1B2B【类题通法】解决幂函数图象问题应把握的两个原就(1) 依据图象高低判定幂指数大小,相关结论为：在0,1上,指数越大,幂函数图象越靠近x 轴简记为指大图低.在 1, 上,指数越大,幂函数图象越远离x 轴 简记为指大图高 (2) 依据图象确定幂指数与 0,1 的大小关系

7、,即依据幂函数在第一象限内的图象类似于 y1 x1 或 y x 2 或 y x 3来判定【对点训练】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知函数 y xa , yxb , yxc 的图象如下图,就a, b,c 的大小关系为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A cbaB abcCbcaD cab解析：选 A由幂函数的图象特点知,c0, b0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由幂函数的性质知, 当 x1 ,幂指数大的幂函数的函数值就大,就 ab.综上所述, 可知 cb ,5 30.5250.51.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

8、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 幂函数 y x1 在 , 0上是单调递减的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 2113,23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2(3) 函数 y1x为 R 上的减函数,又 32,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34 3232324.332x3 在0, 上是增函数,且 ,2又函数 y3 24 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223323,43233324.43可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品_精品资料_【类题通法】比较幂值大小的方法(1) 假设指数相同,底数不同,就考虑幂函数.(2) 假设指数不同,底数相同,就考虑指数函数.(3) 假设指数与底数都不同,就考虑插入中间数,使这个数的底数与所比较数的一个底数相同,指数与另一个数的指数相同,那么这个数就介于所比较的两数之间,进而比较大小【对点训练】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比较以下各题中两个幂的值的大小：331 2.34 , 2.44 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2322 ,332 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

10、料_30.315 , 0.355 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 y3x 4 为0 , 上的增函数,且 2.32.4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33 2.34 2.4 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 y x32 为0, 上的减函数,且2 332 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_666可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 yx 5 为 R 上的偶函数,0.315 0.315 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6又函数 y x

11、 5 为0 , 上的增函数,且 0.310.35 ,6666可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0.315 0.355 ,即0.315 0 时,是增函数.幂函数 y xn 当 n0 时,在第一象限内函数值随x 值的增大而减小 正确的命题为 A B CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：选 Dy x1 不过 0,0点,错误,排除A .当 n0 时, y 线,错误,排除C. y x 2 不是增函数,错误,排除B .因此答案选D.xn 的图象为两条射可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 已知幂函数fx 的图象过点 4,2,就 f 8.可编辑资料 -

12、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：设 fx x,就 421, 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 fx 18x2 , f 1 1122.84可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：2442m2 2 m 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx mm1 x是幂函数,且在 x 0, 时是减函数,就实数m .解析：由 m2 m 1 1,得 m 0 或 m 1,再把 m0 和 m 1 分别代入 m2

13、2m 30.9 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1.121 0.9 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 y x12 为0, 上的减函数,又 1.10.9,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1.1112 0.9 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33 3 4 314,函数 y33x4 为0 , 上的增函数,且113 2,331 414,即32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31343 4 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载