2022年高中数学解题小技巧.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、代入法高中数学解题小技巧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如动点P x,y) 依靠于另一动点Qx0 , y0 而运动,而 Q 点的轨可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_迹方程已知（也可能易于求得） 且可建立关系式x0f x ,y0g x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是将这个 Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）

2、曲线的方程,化简后即得 P 点的轨迹方程,这种方法称为代入法,又称转移法或相关点法.【例 1】（ 2022 年高考广东卷）已知曲线C ： yx 2 与直线 l ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy20 交于两点A x A , y A 和B x B , y B ,且xAxB ,记曲线C 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域 （含边界）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 D. 设点P s, t是 L 上的任一点,且点P 与点A 和点 B 均不重合 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

3、精品资料_如点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段PQ 的中点 M 的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巧解 】联立 yx 2 与 yx2 得 xA1, x B2 ,就 AB 中点15Q, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设线段 PQ的中点 M 坐标为 x, y ,就 x221 s5t2, y2,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 s2 x1 , t22 y5 ,又点 P 在曲线 C 上,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 y52点, 2 x1 2 化简可得y 2x2x11 ,又点 P 是 L 上的任一8可编辑

4、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且不与点 A 和点 B 重合,就12x122 ,即1x5 ,44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中点 M 的轨迹方程为yx2x11 （1x845 ）.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】（ 2022年,江西卷） 设P x0 , y0 在直线 xm ym,0m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上,过点 P 作双曲线x2y 21 的两条切线 PA 、PB ,切

5、点为 A 、B ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m定点 M 1,0.过点 A 作直线 xy0 的垂线,垂足为 N,试求AMN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的重心 G所在的曲线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

6、料_【 巧解 】设A x , y , B x , y ,由已知得到y y0 ,且 x2y21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x2y211221,（ 1）垂线 AN 的方程为：121111yyxx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 yy1xx1 得垂足N x1y1 , x1y1 ,设重心G x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy0229x3 y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 x1x1y1 xm411所以3m2解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

7、1y y0x1y1 9 y3x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 x23y2112可得 3x3 y1 3x3yy1m41 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 x1 2y23m2 为重心 G 所在曲线方程9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_巧练一：（ 2022年,江西卷） 如图,设抛物线C : yx2 的焦点为 F,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_动点 P 在直线l : xy20

8、上运动,过P 作抛物线 C 的两条切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PA、PB,且与抛物线C 分别相切于 A、B 两点 .,求 APB 的重心 G 的轨迹方程 .巧练二：（ 2022年,全国 I卷）在平面直角坐标系xOy 中,有一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 F1 0,3 和F2 0,3 为焦点、 离心率为3 的椭圆, 设椭圆在第一2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_象限的部分为曲线C,动点 P 在 C 上, C 在点 P 处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量 OMOAOB ,求点 M 的轨迹方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精

9、品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、直接法直接从题设的条件动身,利用已知条件、相关公式、公理、 定理、法就通过精确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确 的结论, 从而确定挑选支的方法叫直接法.从近几年全国各的的高考数学试题来看, 绝大大部分挑选题的解答用的是此法.但解题时也要“盯住选项特点”敏捷做题,一边运算,一边对选项进行分析、验证,或在选项中取值带入题设运算,验证、

10、挑选而快速确定答案.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2【例 1】（ 2022年高考全国II卷）已知双曲线x2C :2ay1a b0, b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2的右焦点为F,过 F 且斜率为3 的直线交C 于A、B 两点.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AF4FB,就C 的离心率为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） 6（ B）57（ C）58（ D） 955可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【 巧解 】 设A x1 , y1 , Bx2 , y2

11、 ,F c,0, 由AF4FB, 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cx1 ,y1 4x2c, y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y14 y2,设过 F 点斜率为3 的直线方程为 xyc , 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyc由3消去 x 得： ba 2 y 22b 2 c2yb40 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 2 x 2y1y2a 2 y 2a 2 b2026b c22333y26b c222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3b3b 42y y

12、3a,将y14 y2 代入得4y 23b3a 3b 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简得12b2b 2c3a 22b 23a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y23 b 23a 2 ,4b4 c22223b 422,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y423b24b 23a 2 3b3a 4b3a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下

13、载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简得：16c293a 2b 2 93a 2c2a 2 ,25c 236a 2 , e236 ,25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 e6 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故此题选（ A）【 例2】（ 2022 年,四川卷）设定义在R 上的函数f x 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x213 ,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

14、_f 12 ,就f 99（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A） 13（B） 2（C） 13（D） 2213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巧解 】f x213,f x41313f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x213f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数f x为周期函数,且T4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 99f 4243f 31313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 12应选（ C）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_巧练一：（ 2022 年,湖北卷

15、）如f x1 x 22b ln x2在1, 上是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_减函数,就b的取值范畴是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1,B 1,C ,1D ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_巧练二：（ 2022年,湖南卷）长方体ABCDA1B1C1D1的 8 个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=3,AA1=1,就顶点 A、B 间的球面距离是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 22B2C2D224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、定义法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料

16、名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -所谓定义法,就是直接用数学定义解题.挑选题的命题侧 重于对圆锥曲线径、准线、离心定义的考查,凡题目中涉及焦半 径、通率及离心率的取值范畴等问题,用圆锥曲线的第一和其次定义解题,是一种重要的解题策略.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】（ 2022年高考福建卷,理13）过抛物线 y22 px p0 的焦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

17、资料_点 F 作倾斜角为450 的直线交抛物线于A、B 两点,线段AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的长为 8,就 p【巧解 】依题意直线 AB 的方程为 yx p ,由2y xp 2y22 px消去 y 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x23 pxp40 ,设Ax1,y1 ,B x2, y2 , x1x23 p ,依据抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的定义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| BF |x2p , | AF |x 2p , 2| AB |x1x2p4 p

18、8 , p2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1故此题应填2.【例 2】（ 2022 年,山东卷,理10）设椭圆 C1的离心率为5 ,焦13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点在 x轴上且长轴长为26.如曲线 C2 上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的确定值等于8,就曲线 C2 的标准方程为（）x 2y 2x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A）22143（ B）1325 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2x 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

19、品资料_（ C）22134（ D）2211312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巧解 】由题意椭圆的半焦距为c5 ,双曲线C2 上的点 P 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PF1 | PF2 |8| F1 F2 |,点 P 的轨迹是双曲线, 其中 c5 ,a4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x

20、 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b3 ,故双曲线方程为2421 ,选（ A）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2巧练一：（ 2022年,陕西卷）双曲线xa 2y1a2b 20, b0 的左、右可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点分别是F1,F2,过 F1作倾斜角为 30的直线交双曲线右支于M 点,如 MF 2 垂直于 x 轴,就双曲线的离心率为（）A6B3C2D33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_巧练二：（ 2022年,辽宁卷）已知点P 是抛物线 y 22x 上的一个可编

21、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_动点,就点P 到点（ 0, 2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）（ A）17（ B） 3（ C）5（ D） 922四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法,通过坐标化,把长度之间的关系转化成坐标之间的关系,使问题易于解决, 并从肯定程度上揭示了问题的数学本质.在解题实践中如能做到多用、巧用和活用,就可源源不断的开发出自己的解题聪明,必能收到事半功倍的成效.【例 1】（ 2022 年,广东卷）在平行四边形ABCD 中, AC 与 BD交于点 O,E 是线段 OD的中点, AE 的延长线与 CD 交于点F.如 AC = a, B

22、D = b,就 AF = （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1 a +41 bB22 a +31 bC31 a +21 bD4y1 a + 2 b33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巧解 】如下列图,选取边长为2 的正方形 ABCDDC可编辑资料 - - - 欢迎下载

23、精品_精品资料_就 B 2,0, C 2,2 ,D 0,2 , O 1,1 , E 1 , 3 ,E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 AE 的方程为y3 x ,联立y3x 得y2F 23,2ABx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AF 2 ,2,设3AFx ACy BD,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AFx2,2y2,22x2y,2x2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

24、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 x2 y2 x2 y23 解之得221x, y, AF 3321ACBD 332 a1 b ,故33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此题选 B【例 2】已知点 O 为 ABC 内一点,且 OAAOC 、 BOC 的面积之比等于（）2OB3OC0, 就AOB 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 9： 4：1B 1： 4：9C 3： 2： 1D 1：2： 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【巧解 】不妨设ABC 为等腰三角形,B900yA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

25、- - 欢迎下载精品_精品资料_ABBC3 ,建立如下列图的直角坐标系,就点B 0,0O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A0,3 ,C 3,0,设 O x, y ,BCx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ OA2OB3OC0, 即 x,3y2x,y33x,y0,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6x9 解之得 x3 , y1 ,即 O 3 , 1,又直线AC 的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 y32222| 313 |可编辑资料

26、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy30, 就 点 O 到 直 线 AC 的 距 离 h2212122, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AC |32, 因 此13S AOB1 | AB |2| x |9,4S BOC1 | BC |2| y |3,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S AOC| AC | h2,应选 C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 39 页 -

27、- - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -巧练一：（2022年,湖南卷） 设 D、E、F 分别是 ABC 的三边 BC、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CA、AB 上的点,且 DC2BD, CE2EA, AF2FB,就ADBECF与BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）A反向平行B同向平行C相互垂直D既不平行也不垂直巧练二：设 O 是ABC 内部一点,且 OAOC2OB , 就 AOB 与AOC面积之比是.五、查字典法查字典是大家比较熟识的,我们用

28、类似“查字典”的方法来 解决数字排列问题中数字比较大小的问题,防止了用分类争论法时简洁犯的重复和遗漏的错误,给人以“神来之法”的味道.利 用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐 步争论法”（从最高位到个位） ,查首位时只考虑首位应满意题目条件的情形.查前“2”位时只考虑前“”位中第“2”个数应满意条件的情形. 依次逐步争论,但解题中既要留意数字不能重 复,又要有充分的理论预备,如奇、偶问题,3 的倍数和 5 的倍数的特点, 0 的特性等等.以免考虑不全而出错.【例 1】（ 2022年,四川卷）用数字0,1,2, 3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比20220大的五位偶数共

29、有（）（ A） 288 个（ B） 240个（ C）144个（ D） 126个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【巧解 】此题只需查首位, 可分 3 种情形, 个位为 0,即0型,首位是 2,3,4,5 中的任一个, 此时个数为 A1 A 3 .44个位为 2,即2 , 此种情形考虑到万位上不为0,就万34位上只能排3,4,5,所以个数为

30、A1 A3 .个位为 4,4型,此种特点考虑到万位上不为0,就万位上只能排2,3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5,所以个数为A1 A3 .故共有A1 A 32 A1 A3240 个.应选（ B）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_344434【例 2】（ 2022年全国 II 卷）在由数字 1,2,3,4,5 组成的全部没有重复数字的 5 位数中,大于 23145且小于 43521的数共 有 （ ）A 56个B 57 个C 58 个D 60个【巧解 】（ 1） 查首位 ：只考虑首位大于2 小于 4 的数,仅有1种情形：即3型,此特点只需其它数进行全排列4即可.有

31、 A 4 种,（ 2）查前位 ：只考虑前“”位中比既大又小的数,有4种情形：324, 25, 41, 42型,而每种情形均有A3 种满意3条件,故共有 4 A3 种.（ 3）查前位 ：只考虑前“ 3”位中既比大又小于5 的数,有4 种情形：2234, 235, 431, 432型,而每种情形均有A2 种满意条2件,故共有 4 A2 种.（ 3）查前 4 位：只考虑前“ 4”位中既比4 大又小于 2 的数,此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

32、- 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -种情形只有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A423154和 43512两种情形满意条件. 故共有44 A34 A 2258 个,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32应选 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_巧练一：用数字0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字, 并且不大于4310可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的四位偶数共有（）A110种B 109种C 108种D 107种巧练二：（ 2022年,四川卷）用数字1,2,3,4,

33、5 可以组成没有重复数字 , 并且比 20220大的五位偶数共有（）（ A） 48 个（ B） 36 个（ C）24 个（ D） 18个六、挡板模型法挡板模型法是在解决排列组合应用问题中,对一些不易懂得且复杂的排列组合问题,当元素相同时,可以通过设计一个挡板模型奇妙解决,否就,假如分类争论,往往费时费劲,同时也难 以解决问题.【例 1】体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1, 2, 3 的三个箱中,要求每个箱子放球的个数不少于其编号, 就不同的放球方法有（ ）A 8 种B 10种C 12种D 16种【巧解 】先在 2 号盒子里放1个小球, 在 3 号盒子里放2 个小球,余下的 6 个小球排成一排为：OOOOOO ,只需在 6 个小球的 5 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空位