2022年高中数学椭圆,知识题型总结 .docx

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1、精品_精品资料_陈氏优学教学课题椭圆学问点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.留意： 如,就动点的轨迹为线段. 如,就动点的轨迹无图形 .讲练结合一 . 椭圆的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 如 ABC 的两个顶点 A4,0 , B4,0, ABC 的周长为 18 ,就顶点 C 的轨迹方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点二：椭圆的标准方程1. 当焦点在轴上时,椭圆的标准方程： , 其中.2. 当焦点在轴上时,椭圆的标准方程： , 其中.留意：

2、1. 只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程.2. 在椭圆的两种标准方程中,都有和.3. 椭圆的焦点总在长轴上 . 当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为, .当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,.讲练结合二利用标准方程确定参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 椭圆 x4y21 的焦距为 2 ,就 m=.m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 椭圆5x2ky 25 的一个焦点是0,2 ,那么 k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点三：椭圆的简洁几何性质椭

3、圆的的简洁几何性质（1） ）对称性对于椭圆标准方程,把x 换成 x,或把 y 换成 y,或把 x、y 同时换成 x、 y,方程都不变,所以椭圆是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心.（2） ）范畴椭圆上全部的点都位于直线 x=a和y=b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满意 |x| a,|y| b.（3） ）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.椭圆（ ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1 （ a,0）, A2（a,0）,B1（0, b）,B2（0,b）.线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长

4、轴和短轴, |A 1A2|=2a ,|B 1 B2|=2b .a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.（4） ）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作.由于 ac0,所以 e 的取值范畴是 0e1.e 越接近 1,就 c 就越接近 a,从而越小,因此椭圆越扁.反之, e 越接近于 0,c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a,这时椭圆就越接近于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆.当且仅当222a=b 时, c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x +y =a .椭圆的图像中线段的几何特点（如下图） ：（1）, .（2）, .（3）, ,.学

5、问点四：椭圆与（ ab 0）的区分和联系标准方程图形焦点,焦距范畴,对称性关于x 轴、y 轴和原点对称性质顶点,轴长轴长=,短轴长 =离心率准线方程焦半径,222留意：椭圆,（ab0）的相同点为外形、大小都相同,参数间的关系都有 a b 0 和,a =b +c .不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型一椭圆焦点三角形面积公式的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2定理在椭圆2ay1（ a b 0）中,焦点分别为2b 2F1、 F2 ,点 P 是椭圆上任意一点,F1PF2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

6、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 S F1PF2b 2 tan.y2PP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：记| PF1 |r1, | PF2 |r2 ,由椭圆的第肯定义得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1r22 a,r1r 24a 2 .F1OF2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 F1PF222中,由余弦定理得：r12r22 r1r 2cos2c 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品_精品资料_配方得：r1r 22r1r22r1r2cos4c 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即 4a 22r1r2 1cos4c2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1r22a 2c 2 2b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1cos1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由任意三角形的面积公式得：1sin2 sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF 2r1r22sinb

8、21cosb 22222 cos2b 2tan.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1 PF2b 2 tan. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典题妙解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2例 1如 P 是椭圆1 上的一点,F1、F2 是其焦点,且F1PF260 ,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ F1PF2的面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解

9、法一：在椭圆x2y1中, a10, b8, c6, 而60 . 记| PF1 |r1,| PF2 |r2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064点 P 在椭圆上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由椭圆的第肯定义得：r1r22a20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在 F1PF22中,由余弦定理得：r12r22 r1r 2cos2c 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方,得：r1r 23r1r2144.可编辑资料 - - -

10、 欢迎下载精品_精品资料_4003r1r2144. 从而r1r2256 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1 PF21r1r2 sin21256233643.23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解法二：在椭圆x2y1中, b 264 ,而60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF 22btan264 tan 30643 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

11、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一复杂繁冗,运算量大,解法二简捷明白,两个解法的优劣立现；x2y2PFPF1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知 P 是椭圆1 上的点,F 、 F 分别是椭圆的左、右焦点,如12,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12259| PF1 | PF 2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1PF2的面积为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 33B.23C.3D.33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设F1PF2, 就 cosPF1PF21,60 .可编辑资

12、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PF1 | PF2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF 2b 2 tan29 tan303 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应选答案 A.练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6已知椭圆的中心在原点,F 、 F 为左右焦点, P 为椭圆上一点,且PF1PF21 , F PF的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是 3 ,准线方程为 x12433,求椭圆的标准方程 .| PF1 |12| PF 2 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考答案6 解：设F1P

13、F2,cosPF1PF21 ,120 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S F1PF 2b 2 tan2b 2 tan 60| PF13b2| | PF 2 |23 ,b1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 243又,即c3c2b 2cc 21143ccc333 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c3 或 c3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 c3 时, ab2c 22 ,这时椭圆的标准方程为xy21 . 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 c3 时, a3b 2c 223,这时椭圆的标准方程为3x

14、y21 . 423可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但是,此时点 P 为椭圆短轴的端点时,为最大,60 ,不合题意 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求的椭圆的标准方程为xy 21 .24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二中点弦问题点差法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理 ”或“ 点差法 ”求解.在椭圆ay221b中,以Px0, y0 为中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点的弦所在直线方程？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 3.过椭圆 xy1内

15、一点M 2, 1 引一条弦,使弦被M点平分,求这条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_164弦所在的直线方程.分析： 本例的实质是求出直线的斜率,在所给已知条件下求直线的斜率方法较多,故本例解法较多,可作进一步的讨论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：法一设所求直线方程为 y1k x2,代入椭圆方程并整理,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4 k 21 x2 2 k 2k x4 2 k1 2160 ,又设直线与椭圆的交点为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

16、载精品_精品资料_A x1 , y1 、Bx2 , y2 ,就x1、 x2 是方程的两个根,于是x1x282 k 24 k 2k ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又M为AB的中点,x1x2 242 k 2k 4k 212 ,解之得 k1 ,故所求直线方2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程为x2 y40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二设直线与椭圆的交点为 Ax1,y1、B x2 ,y2 ,M 2,1为AB的中点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx4, yy2 ,又A、B两点在

17、椭圆上,就 x24 y 216, x 24 y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212121122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1216,两式相减得 x2x2 4 y 2y2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2x1x21x1 4 y1x21y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即k AB点差法,故所求直线为 x22 y40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 过点 1 , 0 的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为2 的椭圆 C相交于2可

18、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、B 两点,直线 y= 1 x 过线段 AB的中点,同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线2l 对称,试求直线 l 与椭圆 C的方程.命题意图：此题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新奇,基础性强,属级题目 .学问依靠：待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题.错解分析：不能恰当的利用离心率设出方程是同学简洁犯的错误. 恰当的利用好对称问题是解决好此题的关键.技巧与方法：此题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB斜率的等式 . 解法二,用韦达定理 .可编

19、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：由 e= ca2 , 得2a2b2a21 , 从而 a2=2b2 , c=b.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22设椭圆方程为 x +2y =2b2, A x , y , B x , y 在椭圆上 .1122222222222就x1 +2y1 =2b , x2 +2y2 =2b ,两 式 相 减 得 , x1 x2 +2 y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y1y2x1x2y2 =0,.x1x22 y1y 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 AB中点为 x0, y0, 就 kAB=x0

20、2 y0, 又 x0, y0 在直线 y= 12x 上,y0= 12x0, 于是x0=2 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1, kAB= 1, 设 l 的方程为 y=x+1.右焦点 b,0 关于 l 的对称点设为 x, y,y1就 xb解得 x1yxb1y1b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222由点1,1 b 在椭圆上,得 1+21b =2b , b = 916,a 29 .8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求椭圆 C的方程为8x 2916 y 29=1, l的方程为y=x+1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

21、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：由 e= ca2 , 得2a2b2a 21 , 从而 a =2b , c=b.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设椭圆 C的方程为 x +2y2=2b2, l 的方程为 y=k x1,22222将 l的 方 程 代 入 C的 方 程 , 得 1+2 k x 4k x+2k 2b =0, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4k2x1+x2= 2, y1 +y2=k x1 1+ k x2 1= k x1+x2 2k=2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k12k12k可编辑资料 - - - 欢

22、迎下载精品_精品资料_直线 l ：y= 1 x 过 AB的中点2x1x2 , 2y1y22, 就1k 2k 212k22 12k 2, 解得 k=0,或 k=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1.如 k=0, 就 l 的方程为 y=0, 焦点 F c,0 关于直线 l 的对称点就是 F点本身,不能在椭圆 C上,所以 k=0 舍去,从而 k=1,直线 l 的方程为 y= x 1, 即 y= x+1,以下同解法一 .题型三 弦长公式与焦半径公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、一般弦长公式弦长公式：如直线ykxb 与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1, x2 分别为

23、 A、B 的横坐标,就 AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 k 2 xxAB112 y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 ,（如y1, y2 分别为 A、B 的纵坐标,就k）,如弦 AB 所在直线方程设为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xkyb ,就AB 1k 2y1y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的运算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解.1. 其次定义：平面内与一个定点的距离和它

24、到一条定直线的距离之比是常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ec 0 ae1 的动点M的轨迹叫做椭圆,定点为椭圆的一个焦点,定直线为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2留意： 对 xa 22y1ab b 20 对应于右焦点F2 c, 0 的准线称为右准线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程是 xa,对应于左焦点2cF1c, 0 的准线为左准线 xa2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ e 的几何意义：

25、椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比.2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2对于椭圆ay 221 abb0 ,设 P x, y为椭圆上一点,由其次定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r左c左焦半径2aax0r左ex0ca 2acaex0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r右c2右焦半径xaa0r右aex0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c可编辑资料 -

26、 - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知点 P 在椭圆 ya 2x 2b 21 ab0 上, F1、F2 为椭圆的两个焦点,求| PF1| PF2 |的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.解：设 P x0,y0 ,椭圆的准线方程为y a,不妨设 F1、F2 分别为下焦点、上焦点2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PF1|就2ya0c|PF2 |c, 2yaaa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cc|PF1|y0acca, | PF2 |ay

27、0accc22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|PF1| | PF2|ay0 aay0 aa2 y02a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ay0a ,2当 y00 时, | PF1| |PF2 |最大,最大值为 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 y a时, | PF| | PF|最小,最小值为 a 2c2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此, |PF |PF|的取值范畴是 b 2 , a 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12可编辑资料 - - -

28、欢迎下载精品_精品资料_22例 2.椭圆 xy1的焦点为F1、F2 ,点P为其上的动点,当F1 PF2 为钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_94时,点 P 横坐标的取值范畴是.（ 2022 年全国高考题） 分析： 可先求 F1PF2 90时, P 点的横坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：法一在椭圆中, a3,b2 , c5,依焦半径公式知|PF1|35 x, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PF |35 x,由余弦定理知F PF 为钝角| PF |2| PF |2|F F |2可编辑

29、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21213212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35 x 23353x 22 5229x,应填53x355可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二设P x, y ,就当F1 PF290时,点P的轨迹方程为 x 2y25,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可得点P的横坐标 x 3 ,点P在x轴上时, 5F1 PF20.点P在y轴上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

30、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,F1 PF2为钝角,由此可得点P横坐标的取值范畴是3x355可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型四参数方程3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心,分别以a、b（ ab0）为半径作两个圆,点B 是大圆半径OA与小圆的交点,过点 A 作 AN Ox,垂足为 N,过点 B 作 BN AN,垂足为 M,求当半径 OA绕 O旋转时点 M的轨迹的参数方程.解： 设点 M 的坐标是 x, y , 是以Ox为始边,为终边的正角,取为参数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么xONyNM|OA|cos|OB|sinx

31、 a cosy b sin1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这就是椭圆参数方程：为参数时,称为“离心角”说明： 对上述方程（ 1）消参即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xcosaysinbx 2y 2221一般方程ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由以上消参过程可知将椭圆的一般方程进行三角变形即得参数方程.直线与椭圆位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y2221abykxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求椭圆上动点P（ x, y）到直线距离的最大值和最

32、小值,（法一,参数方程法.法二,数形结合,求平行线间距离,作 l l 且 l 与椭圆相切）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.已知椭圆 x28 y28,在椭圆上求一点P,使P到直线l： xy40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一设P22 cos , sin 由参数方程得 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|22 cossin就d24|3sin4|2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 tan22,当时, d 2122min2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 cossin22 , sincos133可编辑资料 -