2022年高中数学第四章定积分微积分基本定理北师大版-.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -微积分基本定理一：教学目标学问与技能目标：通过实例,直观明白微积分基本定理的含义,会用牛顿- 莱布尼兹公式求简洁的定积分过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培育同学辩证唯物主义观点,提高理性思维才能.二、教学重难点重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使同学直观明白微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理运算简洁的定积分.难点明白微积分基本定理的含义 三、教学方法：探析归纳,讲练结合四、教

2、学过程（一）、复习： 定积分的概念及用定义运算（二）、探究新课我们讲过用定积分定义运算定积分, 但其运算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法.我们必需寻求运算定积分的新方法,也是比较一般的方法.变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为St,速度为 vt（ vto ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就物体在时间间隔T1 ,T2 内经过的路程可用速度函数表示为T2vt dt .T1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另一方面, 这段路程仍可以通过位置函数S（ t

3、）在T1 ,T2 上的增量ST1 ST2 来表达,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T2即vt dt = ST1 T1ST2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -而 S tvt .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于一般

4、函数f x ,设 Fxf x ,是否也有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxF baF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如上式成立,我们就找到了用f x 的原函数 （即满意F xf x ）的数值差F bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_来运算f x 在 a,b 上的定积分的方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 1：定理假如

5、函数F x 是 a, b 上的连续函数f x 的任意一个原函数,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf x dxF baF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：由于x =xf tdt 与aF x 都是f x 的原函数,故F x - x =C（ axb ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 C 为某一常数.令 xa 得F a - a =C,且a =af tdt =0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精

6、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即有 C= F a ,故F x =x + F a x = F x -F a =xf t dta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 xb ,有bf xdxF baF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此处并不要求同学懂得证明的过程bbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为了便利起见,仍常用F x |a 表示F bF a ,即f xdxF x |aaF bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_该式称之为微积分基本公式或牛顿莱布尼

7、兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁.它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也供应运算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础.因此它在教材中处于极其重要的位置,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的进展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1运算以下定积分：dx2 x2 13（1）.（2）1 dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 -

8、- - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）由于lnx 1 ,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1所以dxln x |2ln 2ln1ln 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）由于x2 2x,1 1 ,xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3所以2

9、x1 dx33 122 xdxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21x11 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 |31 |3122911.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11x3312练习：运算x dx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于1 x3 是3x2 的一个原函数,所以依据牛顿莱布尼兹公式有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1213x dx =x|1 = 113103 = 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00333322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2运算以下

10、定积分：sin xdx,sin xdx,sinxdx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00由运算结果你能发觉什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发觉的结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于cos xsin x ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin xdx0cos x |0coscos02 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sin2sin0xdxxdxcos x |20cos x |2cos 2cos2 ,cos 2c

11、os00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以发觉,定积分的值可能取正值也可能取负值,仍可能是0: l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时（图1.6 一 3 ,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积.图 1 . 6一 3 2）（ 2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时（图1 . 6一 4 ,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -

12、 - - - - - - - - - - 3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时,定积分 的值为 0（图 1 . 6一 5 ,且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积例 3 A、B 两站相距 7.2km,一辆电车从A 站 B 开往站,电车开出ts后到达途中C 点,这一段的速度为1.2tm/s,到 C点的速度为24m/s,从 C 点到 B 点前的 D 点以等速行驶,从D 点开头刹车,经ts 后,速度为（24-1.2t） m/s,在 B 点恰好停车,试求（ 1） A、C 间的距离.（ 2）B、D 间的距离.（3）电车从A 站到 B 站所需的时间.分析

13、： 作变速直线运动的物体所经过的路程s, 等于其速度函数v=vtvt 0 在时间区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a,b上的定积分 , 即 Sbvt dta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20略解：（ 1）设 A 到 C 的时间为t 1 就 1.2t=24, t1=20s,就 AC1.2tdt00.6t 220240m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|0（ 2）设 D 到 B 的时间为t 21 就 24-1.2t2=0, t21=20s,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20就 DB

14、241.2t）dt0.6t 2|20240m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（00（ 3）CD=7200-2240=6720m, 就从 C 到 D 的时间为280s,就所求时间为20+280+20=320（s ）微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时它也供应了运算定积分的一种有效方法微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃进展起来,成为一 门影响深远的学科,可以毫不夸张的说,微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果四：课堂小结：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特别情形下的牛顿- 莱布尼兹公式 . 成立,进而推广到了一般的函数,得出了微积分基本定理,得到了一种求定积分的简便方法,运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数,这就要求大家前面的求导数的学问比较娴熟,期望,不明白的同学,回头来多复习；五：教学后记：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载