序列Z变换与反变换.ppt

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1、z变换的定义与收敛域 z反变换 z变换的性质与定理 z变换与 Laplace, Fourier变换,序列 z 变换,z变换的定义及符号表示,z变换,z反变换,物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合,C为X(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线,正变换：X(z)=Zx(n),反变换： x(n) =Z-1X(z),或,符号表示,z变换定义及收敛域,充要条件:,序列z变换的定义为,能够使上式收敛的z值集合称为z变换的收敛域 (ROC),收敛域(ROC): R- |z|R+,绝对可和,解：,例：求下列信号的Z变换及收敛域。,不同的序列可能对应着相同的z变换表达式，但收敛域却不

2、同。只有当两者均相同时，才能说两序列相等。,(1) 有限长序列,几种不同序列z变换的ROC,ROC也可能包含0或点,(2) 右边序列,几种不同序列z变换的ROC,因果序列的ROC包含点,(3) 左边序列,几种不同序列z变换的ROC,(4) 双边序列,几种不同序列z变换的ROC,z反变换,C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线,留数法 部分分式法 长除法,c为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合围线.,1.留数法,罗朗级数公式：,z反变换,为计算围线积分，由留数定理可知：,为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点， Res 表示极点处的留数。使用第二式的条件是分母多项式中的z次数比分子多项式高二次

3、以上。,Z反变换,(2)当Zr为l阶(多重)极点时的留数,留数的求法：,Z反变换,(1)当Zr为一阶极点时的留数,例： 已知,1）当n-1时, 在z=0处不会构成极点，此时C内只有一个一阶极点 。,，求z反变换。,2）当n-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:,因此，,Z反变换,部分分式展开法基本思想,将X(z)分解成一些简单而常见的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的反变换，最后将各反变换相加即得x(n)。,部分分式展

4、开法计算过程,Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点；zi是X(z)的r阶重极点。,部分分式展开法计算过程,根据上述系数，表达式收敛域，确定x(n)。,例：已知,X(z)的极点为z1=-1, z2=2 ，展成部分分式为,的收敛域分别为(1) |z|2 (2)|z|1 (3)1|z|2, 分别求其所对应的原序列。,例：已知,的收敛域分别为(1) |z|2 (2)|z|1 (3)1|z|2, 分别求其所对应的原序列。,(1)收敛域为|z|2时,x(n)为因果序列，,(2)收敛域为|z|1时,x(n)为反因果序列，,(3)当收敛域为1|z|2时,幂级数展开法基本原理,在给定的收敛域内，

5、把X(z)展成幂级数，其系数即为x(n)。,具体过程自学！,双边Z变换的主要性质,1.线性特性,注：若线性组合过程中出现某些零点和极点相互抵消时，收敛域会扩大！,例：已知,求其z变换。,双边Z变换的主要性质,2位移特性,x n - m z -mX(z) ROC = Rx,对双边序列而言，序列位移不改变其收敛域！,例 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。,组合后，z=1既是零点，又是极点，出现零极点相抵消，收敛域扩大。,双边Z变换的主要性质,3.指数加权特性,4. 线性加权(Z域微分特性),双边Z变换的主要性质,5.共轭序列,6.时间翻转(time reversal),双边Z变换的主

6、要性质,7.初值定理,8. 终值定理,因果序列x(n)=0,n0,有,X(n)为因果序列，且X(z)的极点处于单位圆以内(单位圆上最多在z=1处有一阶极点)，则,双边Z变换的主要性质,9.有限项累加特性,因果序列x(n)=0,n0，其z变换为,双边Z变换的主要性质,时域的卷积和对应于Z域是乘积关系,10. 序列卷积和,ROC 包含Rx1Rx2,11. 序列相乘(Z域复卷积定理),时域的乘积对应于Z域是复卷积关系,双边Z变换的主要性质,12.Parseval定理,理想抽样信号,Z变换与Laplace 变换的关系,的Laplace变换,抽样序列,Z变换与Laplace 变换的关系,的 z 变换,，

7、抽样序列的z变换等于理想抽样信号的Laplace变换。,理想抽样信号拉氏变换与抽样序列Z变换关系的实质,建立起 s (域) 平面与 z (域)平面之间的的一一对应关系！,Z变换与Laplace 变换的关系,=0,即S平面的虚轴映射到Z平面单位圆(r=1)；,0,即S左半平面映射到Z平面单位圆内(r1)；,0, 即S右半平面映射到Z平面单位圆外(r1) 。,r与的对应关系,与的关系（=T）,= 0对应于= 0；,=0对应于=0T；,对应于,的整个z平面,，Laplace变换退化为Fourier变换。,Z变换与Foureir 变换的关系,是,1.,2.,，映射到z 平面上为单位圆，即,抽样序列在单位圆上的z变换等于理想抽样信号的Fourier变换。,的周期函数，即它在单位圆上循环出现。,