2022年高中数学立体几何方法题型总结 .docx

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1、精品_精品资料_立体几何重要定理：1直线与平面垂直的判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面 .2直线和平面平行性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行 .3平面平行判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.4两个平面垂直性质判定：假如一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.两个平面垂直性质定理：假如两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面P.5推论：假如两个相交平面都垂直于第三平面,就它们交线垂直于第三平面.可

2、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：如图,找 O 作 OA 、OB 分别垂直于l 1,l 2 ,BM A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 PM, OA, PM,OB就 PMOA, PMOB .O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一：夹角问题 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范畴依次. 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范畴依次是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_异面直线所成角：范畴：0 ,90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1平移法：在异面直线中的一条直线中挑选一特别点,作另一条的平行线构成三

3、角形.解三角形求出角.常用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到余弦定理cosabcac2222abb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2补形法：把空间图形补成熟识的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于简单发觉两条异面直线间的关系.AB AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 向量法.转化为向量的夹角cos运算结果可能是其补角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABAC直线与平面所成的角0o 时,b 或b斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影.通常通过斜线上某

4、个特别点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键.向量法：设直线 l 的方向向量为 l ,平面 的法向量为 n , l 与 所成的角为 , l 与 n 的夹角为 ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sincosln的求法ln可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二面角l的平面角,1定义法：在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作l 的垂线射线 m、n,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_射线 m 和 n 的夹角为二面角 l的平面角.2三垂线法：三垂线定理法：A 作或证AB 于 B,作 BO棱于 O,连 AO ,就 AO 棱 l, AOB

5、为所求.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量法：设n1 , n2 是二面角l的两个面,的法向量,就向量n1 , n2 的夹角或其补角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就是二面角的平面角的大小假设二面角l的平面角为,就二、空间距离问题两异面直线间的距离cosn1n2n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一：转化为线面距离.如图,m 和 n 为两条异面直线, n且 m /,就异面直 mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和 n 之间的距离可转化为直线m 与平面之间的距离.n方法二：高考

6、要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行运算,直接运算公垂线段的长度.点到直线的距离 ：一般用三垂线定理作出垂线再求解.向量法：点到直线距离：在直线l 上找一点,过定点且垂直于直线 l 的向量为 n ,就定点到直线 l 的距n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离为 dcos, nnP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点到平面的距离方法一：几何法.步骤1：过点 P 作 PO于 O,线段 PO 即为所求.AO步骤 2：运算线段 PO 的长度. 直接解三角形.等体积法和等面积法.换点法等体积法步骤： 在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥. 求出此三棱

7、锥的体积V 和所取三点构成三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的面积 S.由 V=1S h,求出 h 即为所求 .这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：坐标法.Pnn AP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dAPcosn APAOn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线面距、面面距均可转化为点面距三、平行与垂直问题证明直线与平面的平行：1转化为线线平行. 2转化为面面平行.证明平面与平面平行 ：1转化为线面平行. 2转化为线面垂直.证明线线

8、垂直 ：1转化为相交垂直. 2转化为线面垂直. 3转化为线与另一线的射影垂直. 方法 2：用线面垂直实现.方法 3：三垂线定理及其逆定理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lPlPO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mmAOlm lOAlPAl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l证明线面垂直： 1转化为该直线与平面内相交二直线垂直.2转化为该直线与平面的一条垂线平行. 3转化为该直线垂直于另一个平行平面.4转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.方法 1：用线线垂直实现.方法二：用面面垂直实现.llAC lABmACABAlml可编辑资料 - - - 欢

9、迎下载精品_精品资料_AC , ABlm,l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面面垂直：ll方 法 一 ： 用 线 面 垂 直 实 现 .l方法二：运算所成二面角为直角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间几何体的三视图和直观图高中数学之立体几何可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原就： 长对正、高平齐、宽相等3 直观图：斜二测画法角度等于45 度或者 135 度4 斜二测画法的步骤： 1.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴.2.平行于 y 轴的线长度变半, 平行于 x 轴的线长度

10、不变. 3.画法要写好.空间几何体的外表积与体积一 空间几何体的外表积： 1 棱柱、棱锥的外表积：各个面面积之和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 圆柱的外表积S2rl2 r 23 圆锥的外表积：Srlr 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 圆台的外表积Srlr 2RlR25 球的外表积 S4R2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 扇形的面积公式S扇形n R21lr3602其中 l 表示弧长, r 表示半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

11、料_注：圆锥的侧面绽开图的弧长等于的面圆的周长底二空间几何体的体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 柱体的体积VS底h2 锥体的体积 V1 Sh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V1SSSSh334 球体的体积 V4R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 台体的体积平面的基本性质（ 上上下下33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公理 1假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上全部的点都在这个平面内.公理 2假如两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理 3经过不在同始终线上的三个点,有且只有一个平面.

12、依据上面的公理,可得以下推论 .推论 1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 . 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 . 空间线面的位置关系共面 平行没有公共点(1) 直线与直线相交有且只有一个公共点异面 既不平行,又不相交 直线在平面内有很多个公共点(2) 直线和平面直线不在平面内平行没有公共点直线在平面外 相交有且只有一公共点(3) 平面与平面相交有一条公共直线 很多个公共点 平行没有公共点异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采纳反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”.

13、线面平行与垂直的判定(1) 两直线平行的判定定义：在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行.假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行, 即假设 a ,a, =b, 就 ab.平行于同始终线的两直线平行,即假设ab,b c, 就 a c.垂直于同一平面的两直线平行,即假设a, b,就 ab两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即假设, , =b, 就 ab假如一条直线和两个相交平面都平行, 那么这条直线与这两个平面的交线平行, 即假设 =b,a ,a ,就 ab.(2) 两直线垂直的判定1. 定义：假设两直线成 90角,就这两直线相互垂直 .

14、2. 一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直. 即假设 b c,a b, 就 ac3. 一条直线垂直于一个平面,就垂直于这个平面内的任意一条直线. 即假设 a ,b, a b.4. 假如一条直线与一个平面平行, 那么这条直线与这个平面的垂线垂直 . 即假设 a ,b ,就 a b.5. 三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即假设 , , , 且 =a, =b, =c,就 ab,b c,c a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 直线与平面平行的判定定义：假设一条直线和平面没有公共点,就这直线与这个平面平行.假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,就这条直线

15、与这个平面平行. 即假设a,b, a b, 就 a .两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即假设,l,就 l .假如一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,那么这条直线和这个平面平行. 即假设 ,l , l,就 l .在一个平面同侧的两个点, 假如它们与这个平面的距离相等, 那么过这两个点的直线与这个平面平行,即假设 A, B , A、B 在同侧,且 A、B 到等距,就 AB .两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行, 即假设 ,a,a , a,就 .假如一条直线与一个平面垂直,就平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行,即假设a ,b , ba,就

16、b .假如两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面 或在这个平面内 ,即假设 ab,a ,b 或 b(4) 直线与平面垂直的判定定义：假设一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就这条直线和这个平面垂直.假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 . 即假设 m,n, mn=B,l m,l n, 就 l .假如两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面 . 即假设 l a,a ,就 l .一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面, 即假设 ,l, 就 l .假如两个平面相互垂直, 那么在一个平面内垂直于它

17、们交线的直线垂直于另一个平面,即假设 ,a =, l, l a, 就 l .假如两个相交平面都垂直于第三个平面,就它们的交线也垂直于第三个平面,即假设, , 且 a=, 就 a .(5) 两平面平行的判定定义：假如两个平面没有公共点,那么这两个平面平行,即无公共点 .假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即假设a,b, a b=P,a ,b , 就 .垂直于同始终线的两平面平行 . 即假设 a, a, 就 .平行于同一平面的两平面平行 . 即假设 , , 就 .一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线,就这两个平面平行,即假设a,b,c,d,a b=

18、P,ac,b d, 就 .(6) 两平面垂直的判定定义：两个平面相交,假如所成的二面角是直二面角,那么这两个平面相互垂直,即二面角a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ =90 .假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直,即假设l ,l,就 .一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个. 即假设,就 .直线在平面内的判定(1) 利用公理 1：始终线上不重合的两点在平面内,就这条直线在平面内.(2) 假设两个平面相互垂直,就经过第一个平面内的一点垂直于其次个平面的直线在第一个平面内, 即假设 ,A , AB,就 AB.(3) 过一点和一条已知直线垂直的全部

19、直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即假设A a,a b, A ,b ,就 a.(4) 过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面内, 即假设 P,P, , P a,a ,就 a.(5) 假如一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内, 即假设 a ,A, Ab,b a, 就 b.一、平面 .1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.2. 两个平面可将平面分成3 或 4 部分 .两个平面平行,两个平面相交3. 过三条相互平行的直线可以确定1 或 3 个平面 .三条直线在一个平面内平行,三条直线不在一个平面内平行4. 三个平面最多可

20、把空间分成8 部分 .X 、Y 、Z 三个方向二、空间直线 .1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线 共面有且有一个公共点.平行直线 共面没有公共点.异面直线 不同在任一平面内2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.不在任何一个平面内的两条直线3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线相互平行.4. 等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等如以下图.112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2方向相同方向不相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论：假如两条相交直

21、线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角或直角相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情形：相交共面垂直和异面垂直.三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理： 假如平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行线平行,线面平行” . “线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 直线和平面平行性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行 .“线面平行,线线平行”4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条

22、直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有P一个平面和一条直线垂直.Oa6A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 PA , a AO ,得 a PO 三垂线定理 , 得不出 PO . 由于 a PO ,但 PO 不垂直 OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面.“线线垂直,线面垂直”直线与平面垂直的判定定理二：假如平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.推论：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.5. 垂线段和斜线段长定理：从平面外一

23、点 向这个平面所引的垂线段和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等, 射影较长的斜线段较长.相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长.垂线段比任何一条斜线段短. 四、 平面平行与平面垂直 .1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个平面平行.“线面平行, 面面平行” 推论：垂直于同一条直线的两个平面相互平行.平行于同一平面的两个平面平行.3. 两个平面平行的性质定理：假如两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.“面面平行,线线平行” 4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角,就两个

24、平面垂直.两个平面垂直性质判定二：假如一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.“线面垂直, 面面垂直” 5. 两个平面垂直性质定理：假如两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论：假如两个相交平面都垂直于第三平面,就它们交线垂直于第三平面五、 棱锥、棱柱 .1. 棱柱 .BM A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直棱柱侧面积：OSCh C 为底面周长, h 是高该公式是利用直棱柱的侧面绽开图为矩形得出的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜棱住侧面积： 行四边形得

25、出的 .SC1l C1 是斜棱柱直截面周长,l 是斜棱柱的侧棱长该公式是利用斜棱柱的侧面绽开图为平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体 . 直四棱柱 平行六面体 = 直平行六面体 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四棱柱底面是侧棱垂直底面是底面是侧面与正方体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩形平行六面体平行四边形底面直平行六面体长方体 正方形正四棱柱底面边长相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形,全部的侧棱都相等.直棱柱的各个侧面都是

26、矩形 .正棱柱的各个侧面都是全等 的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形 .过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处相互平分.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,就cos 2cos2cos21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,就cos2cos2co

27、s22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正棱锥定义：底面是正多边形.顶点在底面的射影为底面的中心.S底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_棱锥的侧面积与底面积的射影公式：棱锥具有的性质：S侧cos侧面与底面成的二面角为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等它叫做正棱锥的斜高.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形 .3. 球：球的截面是一个圆面.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_球的外表积公式：球的体积公式： V附：圆柱体积： VS4 R2 .4 R33r 2 h r 为半径, h 为高可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆锥体积： V1r 2 h r 为半径, h 为高3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_锥形体积： V1 Sh S 为底面积, h 为高3可编辑资料 - - - 欢迎下载