2022年高中数学解题方法之构造法 .docx

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1、精品_精品资料_十、构造法解数学问题时, 常规的摸索方法是由条件到结论的定向摸索, 但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难,甚至无从着手.在这种情形下 ,常常要求我们转变思维方向,换一个角度去摸索从而找到一条绕过障碍的新途径.历史上有不少闻名的数学家,如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人,都曾经用“构造法”胜利的解决过数学上的难题.数学是一门制造性的艺术,包蕴着丰富的美,而敏捷、奇妙的构造令人拍手叫绝, 能为数学问题的解决增加颜色,更具讨论和观赏价值.近几年来, 构造法极其应用又逐步为数学训练界所重视,在数学竞赛中有着肯定的位置.构造需要以足够的学问体会为基础,较强的观看才能、 综

2、合运用才能和制造才能为前提,依据题目的特点,对问题进行深化分析,找出“已知”与“所求所证”之间的联系纽带, 使解题另辟蹊径、水到渠成.用构造法解题时, 被构造的对象是多种多样的,按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等,从下面的例子可以看出这些想法的实现是特别敏捷的, 没有固定的程序和模式, 不行生搬硬套. 但可以尝试从中总结规律： 在运用构造法时, 一要明确构造的目的,即为什么目的而构造. 二要弄清晰问题的特点,以便依据特点确定方案,实现构造.再现性题组x 21010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、求证：y构造函数可编辑

3、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 293可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、假设 x 0,y 0,x +y = 1 ,就 x1y1xy25构造函数4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、已知 0a1, 0b1,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2a1 2b2a 2b1 2a12b1 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_构造图形、复数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、求证：7x29x 2 9 ,并

4、指出等号成立的条件. 构造向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、已知： a0、b0 、c0 , 求证：a 2abb 2b2bcc2a2acc2 当且仅可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 11ba1时取等号.构造图形c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、求函数 yx1x 的最大值构造三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再现性题组简解：t 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、解：设 tx29t3就 f ty,用定义

5、法可证： f t 在 3,t 上单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_调递增,令： 3 t1t2就f t1 f t2 t112t1t 212t 2t1t 2t1t 210t1t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 210 yx 29f 33311033可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、解：左边x yxy1y xxy2xy1 xy令 t =xy,就 0t2xy1,24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f tt1 在 0, t1 上单调递减4f tf 1 1744可编辑资料 - - - 欢迎

6、下载精品_精品资料_3、解：构造单位正方形,O是正方形内一点, O到 AD,AB的距离为 a,b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就| AO| + |BO| + |CO| + |DO| | AC| + |BD| , 其中| AO |a 2b2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| BO | a1 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| CO | a1 2b1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| DO |a 2b1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又： |AC | BD |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

7、_精品资料_ a 2b 2a1 2b2a 2b1 2a12b1 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另解：从不等式左边的结构特点简洁联想到复数的模,将左边看成复数Z1=x+y i, Z 2 = x + 1 y i , Z3 = 1 x +y i, Z 4 = 1 x + 1 yi 模的和,又留意到Z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Z2 Z 3 Z4 2 2i, 于 是 由z1 z2 z3 z4 z1z2z3z4 可 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2x21y 21x 2y21x21y222222 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

8、品_精品资料_4、解：不等式左边可看成7 与 x 和 2 与9x2两两乘积的和,从而联想到数量积的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_坐标表示,将左边看成向量a =7 ,2 与 b = x,9x2的数量积,又a b| a | b | ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以7x29x2 7 22 2 x29x2 9 当且仅当 b = a 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2时等号成立,故由x9x0 得： x=7 , =1 ,即 x =7 时,等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_725、解：从三个根式的结构特点简洁联想到余弦定理,于

9、是可构造如以下图形：作 OA a, OB b, OCc, AOB= BOC=60如图 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 AOC 120, AB=a 2abb2,BC=b2bcc2,AC=a2acc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由几何学问可知： AB BCAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2abb2 +b2bcc 2 a 2acc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 A 、B、C 三点共线时等号成立,此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 absin 6021 bcsin 6021 ac sin

10、1202,即 ab+bc=ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当且仅当 1b11时取等号.ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、解：由根号下的式子看出x+ 1x= 1 且 0x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故可联想到三角函数关系式并构造xsin202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ysin xcos x2 sin , 当41即 x时,42ymax2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_示范性题组一、构造函数懂得和

11、把握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个熟悉上的飞跃.很多数学命题繁冗复杂,难寻入口,假设奇妙运用函数思想,能使解答独树一帜,耐人寻味.【例 1】、已知 x,y,z0,1,求证： x1-y+y1-z+z1-x 1 第 15 届俄罗斯数学竞赛题分析：此题条件、结论均具有肯定的对称性,然而难以直接证明,不妨用构造法一试.证 ： 构 造 函 数 fx=y+z-1x+yz-y-z+1 y,z 0,1, f0=yz-y-z+1=y-1z-1 0 ,f1=y+z-1+yz-y-z+1=yz 0,而 fx 是一次函数,其图象是直线,由x 0,1恒有fx 0,即 y+z-1x+yz-y-z+1 0,

12、整理可得 x1-y+y1-z+z1-x 1二、构造方程：方程是解数学题的一个重要工具,很多数学问题, 依据其数量关系, 在已知和未知之间搭上桥梁,构造出方程,使解答简洁、合理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】、已知 a,b,c 为互不相等的实数,试证：bca-ba-c+acb-ab-c+abc-ac-b=11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证：构造方程 x-bx-ca-ba-cx-ax-cx+b-ab-c+ ca xa cb=12b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显 a,b,c 为方程的

13、三个互不相等的实根.从而对任意实数x 均满意 2式.特殊的,令 x=0,即得 1式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】、设 x,y 为实数,且满意关系式：x13 y131997x1997 y1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x+y=.1997 年全国高中数学联赛试题分析：此题用常规方法,分别求出x 和 y 的值后再求 x+y 就既繁又难,三次方程究竟不熟可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_悉.假设将两方程联立构造出方程 x131997 x11y319971y1,利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

14、 欢迎下载精品_精品资料_用函数 ft=t 3 +1997t 的单调性,易得x11y ,自然、简洁.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、构造复数复数是实数的延长, 一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题,虽然数的结构会变复杂,但常使问题简明化,正所谓“退一步海阔一空”.【例 4】、a,b,x,y 正实数 , 且 x2+y 2=1, 求证： a2x2+b2y2 +a2y 2+b 2x2 = a+b证：设 z1=ax+byi , z2=bx+ayi ,就a2x 2+b2y2 +a2 y2 +b2x 2 = Z1 + Z2 Z1+Z2 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

15、品资料_a+bx+a+byi=a+bx 2y 2=a+b,不等式得证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、构造代数式代数式是数学的重要组成要素之一,有很多性质值得我们去发觉和应用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 5】、当 x3 1 时,求 y1 x32x2x1 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由条件得x31所以 x13,构造 x1的因式 y=1 x3x2x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_132121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= x 22 x2 x2 = xx213x2 =3x23x2 =1

16、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、构造数列相当多的数学问题,特殊是证明不等式,尝试一下“构造数列”能产生意想不到的成效.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n【例 6】证明 :11nn 111n=1,2,3 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n分析此命题假设直接证明,颇具难度,倘假设构造数列x 1=x 2= =xn=1+ 1,xn+1=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用平均值不等式 x1+x 2+x n+1n+1xx x,顿使命题明

17、朗化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、构造向量n+11 2n+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_新教材的一个重要特点是引入向量,代数、几何、三角中的很多问题都可以利用向量这一工具来解决 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 7】已知 a,b,c 为正数 ,求函数 y=x 2a2cx2b2 的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222解: 构造向量 a =x,a, b =c-x,b, 就原函数就可化为:y= a + b a + b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xcx七、构造几何图形abcab,

18、ymin=cab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般来讲, 代数问题较为抽象,假设能通过构造将之合理转化为几何问题,利用“数形结合”这一重要思想方法,往往可增强问题的直观性,使解答事半功倍或独具匠心.【例 8】、见【例 1】证：构造边长为 1 的正 ABC , D, E, F 为边上三点, 并设 BD=x ,CE=y , AF=z ,如图 1明显有 SBDE +S CEF+S ADF 0 ,求证：x11xx1x5构造函数2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、假设 0a1 k k2, kN * ,且 a 2ab ,就

19、 b1构造函数k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、记f x1x 2, ab0 ,就 |f af b |ab 构造图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、求证：（1 y 2xy322xy6 21构造向量6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35、正数a, b 满意 ab32 ,求证： ab2 巧用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、求证：假如 xx21 yy211,那么 xy0 构

20、造函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、已知数列 an ,an2an 1n1,a11 , 求 an 构造数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、求证：111.1其中 nN+构造数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n23n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、求函数f xx24x13x210x26 的值域构造图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、 求函数 ysin

21、x cos x的最值构造图形3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_构造法稳固性题组答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、解：构造函数f xx1 x x0 就 x1 x2 , 设 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f f 11 111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 0,1 0, 0上式 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 在 2, 上单调递增,左边f 252可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、解：令f aaa 2 ,又 0a11 , fk

22、2a 在0,1 上单调递增2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ baa21f k11kk2k1k11k 2k 21k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、解：构造矩形 ABCD,F 在 CD上,使| AB| =a, |DF| =b, |AD| = 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 | AC| AF| | CF| 注：此题也可用分析法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、解：不等式左边的特点,使我们简洁联想到空间向量模的坐标表示,将左边看成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a =1 y , x+y3 , 2 x+y

23、6模的平方,又 a b| a | b |,为使 a b 为常数,依据待定系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法又可构造 b1,2,1 于是 | a | | b |=1y2xy3 2 2xy62 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b （1 y 1 xy3 22 xy6（1） =1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以1y2 xy3 2 2xy6 2 61可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即（1 y xy32 2 xy6 216可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、分析：条件式中次数是3 次,而结论式中是1 次,所以需

24、要降幂.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又结论式是不等式,当且仅当ab1时成立.于是考虑构造均值不等式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由均值不等式 a3b 3c33abc 得：a 313133a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理 b313133b 2由 1+2变形整理得： ab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、证明：构造函数f xlg xx21) xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易证 fx在 R 上是奇函数且单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx21 yy211可编辑资料

25、- - - 欢迎下载精品_精品资料_2f xf ylg xx21 + lg yy 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= lg xx1) yy21 =lg1 = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf y即：f xf y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又f x 是增函数xy 即 xy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、分析：我们期望 an2an 1n1,a11 化为 anAnb2an 1An1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即anAnB2an 12 An2 A2 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

26、资料_an2 an 1An2 ABA12A +B=1B3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由已知ann32an 1 n13设 bnann3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 bn2bn 1即 bn 是公比为 2 的等比数列且 b1a1131135可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nb52 n 1就 an52n 1n3nN* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于某些关于自然数的不等式问题,与数列有着亲密的联系, 这时也可构造有关的数列模型

27、,利用其单调性解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、分析：构造数列模型an11.11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n23n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 an 1an1111112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n43n33n2n123n43n23n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n23n33n40 ,所以数列 an为递增数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又因 a1111110 ,故 an234120 其中 nN+,即原不等式得证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评 注欲 证 含 有 与 自 然 数 n有 关 的 和 的 不 等 式 fngn , 可 以 构 造 数 列 模 型可编辑资料 -