2022年高中数学椭圆的知识总结.docx

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1、精品_精品资料_一、挑选题109 浙江 已知椭圆高中数学椭圆学问总结22xya2b2 1 ab0 的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 BF x 轴,直线 AB交 y 轴于点 P,如 AP2PB,就椭圆的离心率是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 3 2 答案 DB. 2C. 13D. 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 由题意知： F c, 0 , A a, 0 APa BFx 轴,又 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cPB .APPB可编辑资料 - - - 欢迎下载精

2、品_精品资料_ac1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 c 2, ea . 应选 D.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知 P是以 F1、F2 为焦点的椭圆 a2 b2 1 ab0 上一点, 如PF1 PF2 0,tan PF1F21 2,就椭圆的离心率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A. 2 B.23 C.153 D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 D 解析 由PF1PF2 0 知 F1PF2 为直角,1设| PF1| x,由 tan PF1F2 2知, | PF2| 2x,3 a2x,可编辑资料 - -

3、 - 欢迎下载精品_精品资料_由| PF1|c| PF2| 52 | F1F2|2得 c52 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ea 3 .223 文 北京西城区 已知圆 x 2 y 36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点, N2,0,线段 AN的垂直平分线交 MA于点 P,就动点 P 的轨迹是A圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 答案 B 解析 点 P 在线段 AN的垂直平分线上,故 | PA| | PN| ,又 AM是圆的半径,|PM| | PN| | PM| | PA| | AM| 6| MN| ,由椭圆定义知, P的轨迹是椭圆x2可编辑资料 - - - 欢迎下

4、载精品_精品资料_y 理 浙江台州 已知点 M3 ,0 ,椭圆就 ABM的周长为24 1 与直线 y k x3 交于点 A、B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A 4B 8C 12D 16 答案 By4 解析 直线 y k x3 过定点 N 3, 0 ,而 M、N 恰为椭圆 x 点,由椭圆定义知 ABM的周长为 4a42 8.2 1 的两个焦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知椭圆a2 b2 1 ab0 与双曲线 m2 n2 1 m0, n0 有相同的焦点 c, 0 和可编辑资料 - - -

5、 欢迎下载精品_精品资料_ c, 0 c0 如 c 是 a、m的等比中项, n2 是 2m2 与 c2 的等差中项, 就椭圆的离心率是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3211A. 3B. 2C. 4D. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 Dc2 am1222 解析 由题意得 2n 2m c2c,由 23可得 m 2,代入 1 得椭圆的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cmn222c13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率 e . 应选 D.2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 文 椭圆x2y2 1 的焦

6、点为 F1、F2,椭圆上的点 P满意 F1PF260,就 F1PF2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10064的面积是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_643A. 3B.9133C.163643D. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 答案 A 解析 由余弦定理： | PF1| | PF2| 2| PF1| |PF2| cos60 | F1F2| .256又| PF1| | PF2| 20,代入化简得 | PF1| |PF2| 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 S F1PF2 2| PF1| |PF2| sin60 6

7、433.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 理 已知 F 是椭圆25 9 1 的一个焦点, AB为过其中心的一条弦,就ABF的面积最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大值为A 6B 15C 20D12 答案 D11 解析 S 2| OF| |y1 y2| 2| OF| 2b 12.xy22226. 2 010山东济南 设 F1、F2 分别为椭圆 a2 b2 1 的左、右焦点, ca b ,如直a2线 x c 上存在点 P,使线段 PF1 的中垂线过点F2,就椭圆离心率的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载

8、精品_精品资料_2A. 0, 2B. 31 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,C.2 ,1D. 0,323 答案 Ba2 解析 直线 x c 上存在点 P,使线段 PF1 的中垂线过 F2,|F1F2| | PF2| ,设直线a2a2x c 与 x 轴交于 Q点,就易知 | PF2| |QF2| ,即 | F1F2| |QF2| ,2c c c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ca2b2c2a2e21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,3 ,即33 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ e 3 , 3 eb0 的两个焦点, A

9、和 B 是以 O为圆心,以 | OF1|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且F2AB是等边三角形,就椭圆的离心率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3A. 2 答案 解析 1B. 22C. 2D.3 1D连结 AF1,由圆的性质知,F1AF290,又 F2AB是等边三角形, AF2F130, AF1 c,AF23c, e a 2a cc2c2c3c3 1. 应选 D.于另一个点 B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点8 文 辽宁沈阳 过椭圆 C： a2 b2 1 ab0 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆11x2y2CF

10、,如 k ,就椭圆离心率的取值范畴32是A.144, 9B.23, 112C. 2, 3 答案 1D. 0, 2C 解析 点 B 的横坐标是 c,故 B的坐标b2c, ab22,已知 k13,12, B c,.ba斜率 k c a ac a2 aca2 e 1 .ab2a2 c21 e2由 k ,解得 ec0 静放在点 A 的小球 小球的半径不计射后第一次回到点A 2 a cC 4aA时,小球经过的路程是 ,从点 A沿直线动身,经椭圆壁反B 2 a cD以上答案均有可能 答案 D 解析 如下列图,此题应分三种情形争论：当光线沿着 x 轴负方向从点A 动身, 经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小

11、球经过的路程是 2 ac .当光线沿着x 轴正方向从点A 动身,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是2 a c .在其它情形下,从点A 沿直线动身,经椭圆壁反射后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是4a. 应选 D.229. 杭州五校 椭圆 x my 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,就m的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 14 答案 A 解析 由题意1 m4. 应选 A.B. 122y21 x 1,且mC 2D 41m 2,x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 宁波余姚 假如 AB是椭圆 a2 b2 1 的任意一条

12、与x 轴不垂直的弦, O为椭圆的中心, e 为椭圆的离心率, M为 AB的中点,就 kAB kOM的值为22A e1 B 1 e C e 1 D 1 e 答案 C 解析 设 A x1,y1 , B x2, y2 ,中点 M x0, y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxy22221122 x1 x2 x1x2 y2 y1 y2 y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由点差法, a2 b2 1, 2 b2 1,作差得a2b2, kAB kOM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ay2222 y1y1 y2 bc a2可编辑资料 - - - 欢迎下

13、载精品_精品资料_ x2x1x1 x2a2 a2e1. 应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题11 文 已知 F1、F2 为椭圆x2y2a2b2 1 ab0 的焦点, M为椭圆上一点, MF1 垂直于 x 轴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 F1MF260,就椭圆的离心率为 答案 33c2y2 解析 令 x c, a2b2 1.b2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ya. |F1M| a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 F1MF260,2b|MF2| 2| MF1| a .3b2可编辑资料 - - -

14、欢迎下载精品_精品资料_又| MF1| | MF2| 2a,a 2a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 3c . e 3, 0eb0 的焦距为 2c. 以点 Oa2为圆心, a 为半径作圆M. 如过点 P c ,0 作圆 M的两条切线相互垂直,就该椭圆的离心率为 答案 22 解析 设切点为 Q、B,如下列图切线QP、PB相互垂直,又半径 OQ垂直于 QP,所以 OPQ为等腰直角三角形,可得2 a a2c ,c2 ea 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x212. 在平面直角坐标系xOy中,已知 A

15、BC的顶点 A 4,0 和 C4,0,顶点 B 在椭圆 252ysin A sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 9 1 上,就 答案 5 4sin B.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 25 9 1 的焦点是 A 4,0 、C4,0,点 B在椭圆上, BABC 2a10,sin Asin CBC AB5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AC8,由正弦定理得sin B AC 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 设椭圆25 16 1 上一点 P 到右

16、准线的距离为10,F 是该椭圆的左焦点,如点M满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_足 1 ,就 | | .OM OP OFOM2 答案 3 解析 设右焦点 F,由定义 | PF| | PF| 10,| PF|310 e 5,|PF| 6, OM1 OP OF ,2 M为 PF的中点,| | 1 PF| 3.OM| 2x2y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 如右顶点为 A 的椭圆离心率的范畴是2a2 b2 1 ab0 上存在点 P x,y ,使得 OPPA 0,就椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 2 e122 解析 在椭圆 xy1

17、 上存在点 P,使OP PA 0,即以 OA为直径的圆与椭圆有异于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A的公共点a2a2222 22 22 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 OA为直径的圆的方程为x ax y 0 与椭圆方程 b x a y a b a2 b2 x2a3x a2b2 0,联立消去 y 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222222将 a b c 代入化为 x a c x ab 0,ababa c x a, x c2 ,由题设 c2 a, c222 , 0e1,22 e0,只能 x 2,于是 y 23.可编辑资料 - - -

18、欢迎下载精品_精品资料_点 P的坐标是35,3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 直线 AP的方程是 x3y 6 0,设点 M的坐标为 m,0 ,就 M到直线 AP的距离是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| m 6|2,于是| m 6|2| m 6| ,又 6 m6,解得 m 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设椭圆上的点 x, y 到点 M的距离为 d22249 2 d x 2 y 9 x 2 15,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 6 x6,当 x时, d 取最小值15. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

19、品资料_ 理 已知椭圆 C的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上,椭圆 C上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1.(1) 求椭圆 C的标准方程.(2) 如直线 l ：y kx m与椭圆 C相交于 A、B两点 A、B 不是左右顶点 ,且以 AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 1 设椭圆的方程为a2 b2 1 ab0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知得： a c 3, ac 1,222 a 2, c 1, b a c 3.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

20、料_椭圆的标准方程为4 3 1.y kx m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设 A x1, y1 , B x2, y2 ,由 x2y2得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2224 3 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 4k x 8mkx 4 m 3 0,2 222 64mk 163 4k m 3022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 34k m08mkx1 x2 3 4k2, x1x2又 y1y2 kx1 m kx2m4 m 323 4k2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22223 m 4k 可编辑资

21、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k x1x2 mk x1 x2 m3 4k2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于以 AB为直径的圆过椭圆的右顶点D2,0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ kADkBD 1,即xy1 1 2y2 x2 2 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 m4k 4 m316mk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3 4k2234k2 3 4k2 4 0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

22、料_7m 16mk 4k 0.2k22解得 m1 2k, m2 7 ,且均满意 34k m0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m1 2k 时, l 的方程为 y k x2 ,直线过定点 2,0,与已知冲突.72k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m227 时, l 的方程为 y k x 7 ,直线过定点, 0 . 所以,直线l 过定点,定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点坐标为, 0 .7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16 文 已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到椭圆上的点的

23、最短距离为3,求该椭圆的方程x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 如椭圆的焦点在x 轴上,就设方程为a2b2 1 ab0 ,两焦点F1 c, 0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22F2 c, 0 ,短轴的一个端点为B0 , b ,长轴的一个端点为A a, 0 ca b 由 BF1F2 为正三角形知, | BF1| | BF2| | F1F2| ,所以 a2c.又焦点到椭圆上的点的最短距离为a c3.a2c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由ac3.x2解得 a23, c3, b 3.y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

24、_椭圆方程为 1.912y2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理,如椭圆的焦点在y 轴上,椭圆方程为 点评 1 上述求解中,利用了结论：12 9 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222焦点到椭圆上的点的最短距离为ac. 这是由于设 P x,y 是椭圆上任一点,就x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222b2ca2ca22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, a ,所以 | PF2| xc y x c b a2x a2 c x a2 c a a c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即| PF2| a

25、 c,于是 | PF2| min a c.2 此结论仍可以用焦半径证明如下：椭圆焦点 F,椭圆上任一点 P x0, y0 ,离心率 e,就 | PF| a ex0 左焦点取“”号, 右焦点取“”号 a x0 a, a c|PF| a c.仍可以用椭圆的参数方程证明从略 理 已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,一个顶点为 B0 , 1 ,且其右焦点到直线 x y 22 0 的距离为 3.(1) 求椭圆方程.3(2) 是否存在斜率为 k k0 ,且过定点Q0 ,2 的直线 l ,使 l 与椭圆交于两个不同的点 M、N,且 | BM| | BN| ？如存在,求出直线l 的方程.如不存在,请说明理由

26、.x2y2 解析 1 设椭圆方程为 a2 b2 1 ab0 ,就 b 1.| c 0 22|令右焦点 F c, 0 c0 ,就由条件得3,2222得 c2. 那么 a b c 3,2x2椭圆方程为 3 y 1.23x22 假设存在直线l ： ykx 2 k0 ,与椭圆 3 y 1 联立,消去 y 得22151 3k x 9kx 4 0,221525可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 9 k 41 3k 0,得 k 412.设 M x1,y1 , N x2, y2 , MN的中点 P x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y12225可编辑资料 - - - 欢迎下

27、载精品_精品资料_0 ,由| BM| | BN| ,就有 BP MN,由韦达定理代入 kBPk,可求得 k . 满意条件 k ,312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以所求直线存在,其方程为y633x . 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17 文 已知椭圆 C：a2 b2 1 ab0 的离心率为离为 3.(1) 求椭圆 C的方程.3 ,短轴的一个端点到右焦点的距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,求(2) 设直线 l 与椭圆 C交于 A、B两点, 坐标原点 O到直线 l 的距离为32AO

28、B面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的最大值 解析 1 设椭圆的半焦距为c,c63依题意a,a32x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ c2, b1,所求椭圆方程为2 设 A x1, y1 , B x2, y2 ,当 AB x 轴时, | AB| 3,3 y 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 AB与 x 轴不垂直时,设直线AB的方程为 y kx m.| m|3232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知1 k22 ,得 m k 1 , 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把 ykx m代入椭圆方程,整理得22

29、23 k 1 x 6kmx 3m 3 0.2 6km3 m 1 x1 x23k2, x1x2 k2. 13 1222 k0,|AB| 1 k x2 x12 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1 k 36k m3 k2 1 212 m 123k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 k 13 k 1 m3 k2 1 212k23 k1219 k 1 3 k 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 39k4 6k2 1 39k213 23 6 4.k2 6可编辑资料 - - - 欢

30、迎下载精品_精品资料_213当且仅当 9k k2即 k 3 时等号成立当 k0 时, | AB| 3 ,综上所述 | AB| max 2.当 | AB| 最大时, AOB面积取最大值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1S 2|AB| max332 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 理 如图,在椭圆C中,点 F1 是左焦点, A a, 0 , B0 ,b 分别为右顶点和上顶点,点O为椭圆的中心又点P 在椭圆上,且 OP AB,点 H是点 P 在 x 轴上的射影(1) 求证：当 a 取定值时,点 H必为定点.(2) 假如点 H落在左顶点与左焦点之间, 试求椭圆的离心率的取值范围.(3) 假如以 OP为直径的圆与直线AB相切, 且凸四边形 ABPH的面积等于 32,求椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的方程bbx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 解析 1 证明：由 kAB a,OP AB得, l OP：y ax,代入椭圆方程a22 ,a2 b2 1 得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ P 22 a,22 b 或 P222a,22 b .2可编辑资料 - - - 欢迎下载