2022年高中数学椭圆超经典知识点+典型例题讲解.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -同学姓名性别男年级高二学科数学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_授课老师上课时间2022 年 12 月 13 日第（ ）次课共（ ）次课课时：课时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修 2-1椭圆学问点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆 .这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.留意： 如,就动点的轨迹为线段.如,就动点的轨迹无图形 .讲练结合一 .椭圆的定义可编辑资料 - - - 欢

2、迎下载精品_精品资料_方程x2 2y 2x2 2y 210 化简的结果是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如ABC 的两个顶点 A4,0 , B4,0,ABC 的周长为 18 ,就顶点 C 的轨迹方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知椭圆x2y 2=1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为3, 就 P 到另一焦点距离为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_169学问点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：, 其中.2当焦点在轴上时,椭

3、圆的标准方程：,其中.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -留意：1只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程.2在椭圆的两种标准方程中,都有和.3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,.讲练结合二利用标准方程确定参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

4、_精品资料_1. 如方程22x+y5 kk3=1（ 1）表示圆,就实数k 的取值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）表示焦点在 x 轴上的椭圆,就实数k 的取值范畴是.（3）表示焦点在 y 型上的椭圆,就实数（4）表示椭圆,就实数k 的取值范畴是k 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 椭 圆4 x225 y2100的 长 轴 长 等 于, 短 轴 长 等 于,顶 点 坐 标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是,焦点的坐标是,焦距是,离心率等于,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23椭圆 x4y1 的焦距为 2 ,

5、就 m =.2m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4椭圆5x2ky 25 的一个焦点是0,2,那么 k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_讲练结合三待定系数法求椭圆标准方程1如椭圆经过点 4,0 , 0,3 ,就该椭圆的标准方程为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2焦点在坐标轴上,且a 213 , c212 的椭圆的标准方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3焦点在 x 轴上,a : b2 :1, c6 椭圆的标准方程为可编辑资料 - -

6、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.已知三点 P（ 5, 2）、 F1 （ 6,0）、 F 2 （ 6, 0）,求以F1 、F2 为焦点且过点P 的椭圆的标准方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学问点三：椭圆的简洁几何性质椭圆的的简洁几何性质（ 1

7、）对称性对于椭圆标准方程,把 x 换成 x,或把 y 换成 y,或把 x、y 同时换成 x、 y,方程都不变,所以椭圆是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心.（ 2）范畴椭圆上全部的点都位于直线x=a 和 y= b 所围成的矩形内, 所以椭圆上点的坐标满意|x| a,|y| b.（ 3）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0）,椭圆（ab 0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 A 1（ a,A 2（ a, 0）,B1（0, b）, B2（0,b）.线段 A

8、 1A 2 ,B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A 2|=2a, |B1B2 |=2b.a 和 b 分别叫做椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的长半轴长和短半轴长.（ 4）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作.由于 ac 0,所以 e 的取值范畴是 0e1.e 越接近 1,就 c 就越接近 a,从而越小,因此椭圆越扁.反之, e 越接近于 0,c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b 时, c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2.留意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

9、料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -椭圆的图像中线段的几何特点（如下图） ：（1）,.（2）,.（3）,.讲练结合四焦点三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221椭圆 xy1 的焦点为F1 、 F2 , AB 是椭圆过焦点 F1 的弦,就ABF2 的周长是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9252设 F1 , F 2 为椭圆16 x225 y 2400

10、的焦点, P 为椭圆上的任一点,就PF1 F2 的周长是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1F 2 的面积的最大值是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223 设点P 是椭圆xy1 上的一点,F1, F2是焦点,如F1 PF2是直角,就F1PF2的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2516为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：已知椭圆9x 216y 2144,焦点为F1 、 F2 , P 是椭圆上一点如F1 PF260,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求PF1F 2 的面积五离心率的有关问题可编辑资

11、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x2y211. 椭圆1的离心率为,就 m4m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为1200 ,就此椭圆的离心率e 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,就椭圆的离心率为4. 设椭圆的两个焦点分别为F1、

12、F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,如 F1PF2 为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 在 ABC 中,A300 ,| AB |2, S ABC3 如以 A, B 为焦点的椭圆经过点C ,就该椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的离心率 e讲练结合六 . 最值问题x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 椭圆4y21 两焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,就|PF1| |PF2| 的最大值为 ,最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222、椭圆 xy1 两焦点为 F1、F2,

13、 A3,1 点 P 在椭圆上,就 |PF1|+|PA| 的最大值为 ,最2516小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23、已知椭圆 x4y21 ,A1,0 ,P 为椭圆上任意一点, 求|PA| 的最大值最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设 F 是椭圆22x y3224=1 的右焦点 , 定点 A2,3 在椭圆内 , 在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF|最小,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 P 点坐标最小值.学问点四：椭圆与（ab 0）的区分和联系可编辑资料 - - - 欢迎下

14、载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -标准方程图形焦点,焦距范畴对称性,关于 x 轴、y 轴和原点对称,顶点,性质轴长轴长=,短轴长 =离心率准线方程焦半径,留意： 椭圆,（ab0）的相同点为外形、大小都相同,参数间的关系都有 ab0 和,a2=b2 +c2.不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同.1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴.

15、当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式.此时,椭圆焦点在坐标轴上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b,一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.2椭圆标准方程中的三个量a、b、c 的几何意义椭圆标准方程中, a、b、c 三个量的大小与坐

16、标系无关,是由椭圆本身的外形大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为：ab0,ac0, 且 a2=b2+c2 .可借助下图帮忙记忆：a、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边, b、c 为两条直角边.3如何由椭圆标准方程判定焦点位置椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判定焦点位置的方法是：看x2、y2 的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上.224方程 Ax +By =C（ A、B、C 均不为零）表示椭圆的条件方程 Ax 2+By2=C 可化为,即,所以只有 A 、B、C 同号,且 A B 时,方程表示椭圆.当时,椭圆的

17、焦点在x 轴上.当时,椭圆的焦点在y 轴上.5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置,从而确定方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数、的值.其主要步骤是“先定型,再定量”.定义法：由题目条件判定出动点的轨迹是什么图形,然后再依据定义确定方程.6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点,就 c 相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -

18、 - - - - - -与椭圆（ab0）共焦点的椭圆方程可设为（ k b2）.此类问题常用待定系数法求解.7判定曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：如把曲线方程中的x 换成 x,方程不变,就曲线关于y 轴对称.如把曲线方程中的y 换成 y,方程不变,就曲线关于x 轴对称.如把曲线方程中的x、y 同时换成 x、 y,方程不变,就曲线关于原点对称. 8如何解决与焦点三角形 PF1F2（ P为椭圆上的点）有关的运算问题？与焦点三角形有关的运算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行运算与解题,将有关线段、,有关角结合起来,建立、之间的关系.9如何讨论椭

19、圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系打算椭圆外形的变化.离心率,由于 c2=a2b2,a c 0,用 a、b 表示为,当越小时,椭圆越扁, e 越大.当越大,椭圆趋近圆, e 越小,并且 0e1.课后作业1 已知 F1- 8, 0, F28, 0,动点 P 满意 |PF1|+|PF2|=16,就点 P 的轨迹为 A 圆B 椭圆C 线段D 直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 22、椭圆y21 左右焦点为F1、 F2, CD 为过 F1 的弦,就CDF 1 的周长为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_169可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

20、_x 23 已知方程1ky 21 表示椭圆,就k 的取值范畴是1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A - 1k0C k 0D k1或 k-14、求满意以下条件的椭圆的标准方程 1长轴长为10,短轴长为6 2长轴是短轴的2 倍,且过点 2, 1 3 经过点 5, 1, 3, 25、如 ABC 顶点 B、C 坐标分别为 - 4,0 ,4, 0, AC 、AB 边上的中线长之和为30,就 ABC的重心 G 的轨迹方程为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - -

21、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.椭圆221ab ab0 的左右焦点分别是F1、F2,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于P 点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 F1PF2=60,就椭圆的离心率为 7、已知正方形ABCD ,就以 A 、B 为焦点,且过C、D 两点的椭圆的的离心率为 椭圆方程为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x28 已知椭圆的方程为y1 , P 点是椭圆上的点且F1 PF260,求PF1

22、F2 的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2439. 如椭圆的短轴为AB,它的一个焦点为F1,就满意 ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率为x2y 210. 椭圆1 上的点 P 到它的左焦点的距离是12,那么点P 到它的右焦点的距离是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221003611已知椭圆xya 2251 a5 的两个焦点为F1 、F2 ,且F1F28 ,弦 AB 过点F1 ,就ABF 2 的周长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 在椭圆x2y2+259=1 上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍可编辑资料 - - - 欢

23、迎下载精品_精品资料_13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为x4 ,那么这个椭圆的方程为.14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离, 就椭圆的离心率e = .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15、椭圆的中心在原点, 焦点在x 轴上 , 准线方程为y方程为 .18 , 椭圆上一点到两焦点的距离分别为10 和 14, 就椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2216.已知 P 是椭圆 9x25 yx 2y2900 上的点 ,如 P 到椭圆右准线的距离为8.5,就 P 到左焦点的距离为 .5可编辑资料 -

24、- - 欢迎下载精品_精品资料_17椭圆1内有两点A 2,2 , B 3,0 , P为椭圆上一点,如使PAPB 最小,就最小值为25163可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2218、椭圆22x y=1 与椭圆32x y= 0有 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(A) 相等的焦距B 相同的离心率C相同的准线D 以上都不对x 2y 2x 2y 219、椭圆1与1 （ 0k9）的关系为259925A 相等的焦距B 相同的的焦点C 相同的准线D 有相等的长轴、短轴2220、椭圆 xy1上一点 P 到左准线的距离为2,就点 P 到右准线的距离为62x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21、点 P 为椭圆1 上的动点 , F1 , F 2 为椭圆的左、右焦点,就 PF1PF2的最小值为 , 此时点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2516P 的坐标为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载