2022年高中数学选修-主要内容 .docx

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1、精品_精品资料_第一章导数及其应用1.1 变化率与导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题中的变化率可用式子f x2 f x1 表示 ,称为函数 fx从 x1 到 x2 的平均变化率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设设x x2x1 ,ff x2 f x1 这里x 看作是对于x1 的一个 “增量 ”可用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1+x代 替x2,同样fy f x2 f x1就平均 变化率 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

2、_yff x2 f x1 f x1xf x1xxx2x1x在前面我们解决的问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、求函数f xx2 在点 2,4处的切线斜率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf 2 xxf x4 xx ,故斜率为 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、直线运动的汽车速度V 与时间 t 的关系是 Vt 21 ,求 tt o 时的瞬时速度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Vvt ottvto t2t ot ,故斜率为 4

3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、学问点讲解上述两个函数一个常数.f x 和 V t 中,当x t 无限趋近于 0 时,VV都无限趋近于tx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_归纳：一般的,定义在区间a , b 上的函数f x , xo a, b ,当 x 无限趋近于 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时, y xf xoxfxxo 无限趋近于一个固定的常数A ,就称f x 在 xxo 处可导,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并称 A 为

4、f x 在 xxo 处的导数,记作f xo 或f x | xxo ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y=fx在 x=x0 处的瞬时变化率是:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf x0xf x0 limf可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们称它为函数yf x 在xx0 出的导数,记作f x 或 y |x x0 ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xlimf x0xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载

5、精品_精品资料_说明：1导数即为函数 y=fx在 x=x0 处的瞬时变化率2 xxx0 ,当 x0 时, xx0 ,所以f x0limx0f xf x0 xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当点 Pn 沿着曲线无限接近点P 即 x0 时,割线 PPn 趋近于确定的位置, 这个确定位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的直线 PT 称为曲线在点P 处的切线 .函数 y=fx在 x=x0 处的导数等于在该点 x0 ,f x0 处的切线的斜率,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f xlimf x0xfx

6、0k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 P 点的坐标 ;f x0xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求出函数在点x0 处的变化率f x0 limk,得到曲线在点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x0 ,f x0 的切线的斜率.x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用点斜式求切线方程.由函数 fx在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时 , f x0是一个确定的数,那么,当

7、x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变化时 ,便是 x 的一个函数 ,我们叫它为 fx的导函数 .记作：f x 或 y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即:fxylimx0f xx xf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 f x 在点x0 处的导数f x0、导函数f x 、导数 之间的区分与联系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1函数在一点处的导数f x0 ,就是在该点的函数的转

8、变量与自变量的转变量之比的极限,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它是一个常数,不是变数.02函数的导数,是指某一区间内任意点x 而言的, 就是函数 fx 的导函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3函数f x 在点x0 处的导数f x 就是导函数f x 在 xx0 处的函数值,这也是求函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数在点x0 处的导数的方法之一.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 函数 yf xc 的导数yf xxf xcc可编辑资

9、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据导数定义,由于所以 y0xxxlimylim 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0函数导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ycy0y0 表示函数 yc图像图 3.2-1上每一点处的切线的斜率都为0假设 yc 表示路程关于时间的函数,就y0 可以说明为某物体的瞬时速度始终为0,即物体始终处于静止可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_状态2. 函数yf xx 的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于yf xxf xxxx1xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 yy

10、limlim11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0函数导数yxy1y1表示函数 yx 图像图 3.2-2 上每一点处的切线的斜率都为1假设 yx 表示路可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程关于时间的函数,就y1 可以说明为某物体做瞬时速度为1 的匀速运动可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 函数yf xx2 的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22由于yf xxf x xxxxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22xx xx 2x22 xx可编辑资料 -

11、- - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ylimylim2 xx2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0函数导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2y2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2 x 表示函数yx2 图像图 3.2-3上点 x , y 处的切线的斜率都为2x ,说明随着 x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2变化,切线的斜率也在变化另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,说明：可编辑资料 - - - 欢迎下

12、载精品_精品资料_当 x0 时,随着 x 的增加,函数yx 削减得越来越慢.当x 0 时,随着 x 的增加,函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 yx2 增加得越来越快 假设y x2 表示路程关于时间的函数,就 y2 x 可以说明为某可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_物体做变速运动,它在时刻x 的瞬时速度为 2x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 函数yf x1的导数x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于yf xxf xxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx

13、xx xx12xxxxxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ylimylim11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0x2x xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2推广：假设yf xxn nQ* ,就 f xnx n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.2 导数的运算函数导数ycy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf xxn nQ* ynx n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ysin xycos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精

14、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ycosxysin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf xa xyaxln a a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf xexyex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xloga x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xln xf x1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导数的运算法就导数运算法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. fx

15、g xf xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. f xg xf x gxf xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x g xf x g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3gx2g x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复合函数的概念一般的,对于两个函数yf u和 ug x ,假如通过变量u , y 可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以表示成x 的

16、函数,那么称这个函数为函数yf u 和ug x的复合函数,记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yfgx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复合函数的导数复合函数yfg x的导数和函数yf u和 ug x 的导数间的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关系为 yxyuux,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 yfg x,就 yfg xfg xg x可编辑资料 - -

17、- 欢迎下载精品_精品资料_1.3 导数在讨论函数中的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在某个区间 a ,b 内,假如f x0 ,那么函数yf x 在这个区间内单调递增.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_果 f x0 ,那么函数yf x 在这个区间内单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,假如f x0 ,那么函数yf x 在这个区间内是常函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求解函

18、数yf x 单调区间的步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1确定函数yf x 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求导数 yf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3解不等式f x0 ,解集在定义域内的部分为增区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4解不等式f x0 ,解集在定义域内的部分为减区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精

19、品_精品资料_一般的, 假如一个函数在某一范畴内导数的确定值较大,那么函数在这个范畴内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”.反之,函数的图像就“平缓”一些可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,在闭区间a, b上函数yf x的图像是一条连续不断的曲线,那么函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 在a,b上必有最大值与最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“最值”与“极值”的区分和联系最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有确定性.而“极值”是个局部概念,是比较极值点邻近函数

20、值得出的,具有相对性从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯独的.而极值不唯独. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值, 有最值的未必有极值.极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值利用导数求函数的最值步骤:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由上面函数f x的图象可以看出,只要把连续函数全部的极值与定义区间端点的函数值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_进行比较,就可以得出函数的最值了可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般

21、的,求函数f x 在a, b上的最大值与最小值的步骤如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 f x 在 a,b 内的极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 f x 的各极值与端点处的函数值f a 、f b 比较,其中最大的一个是最大值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最小的一个是最小值,得出函数f x 在a,b上的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.4 生活中的优化问题举例解决优化问题的方法： 第一是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,

22、通过制造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系. 再通过讨论相应函数的性质,提出优化方案, 使问题得以解决, 在这个过程中, 导数是一个有力的工具1.5 定积分的概念回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤： 分割近似代替以直代曲 求和取极限靠近定积分的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,设函数f x 在区间 a,b上连续,用分点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax 0x1x 2x i 1x ixnbba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将区间 a,

23、b 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为x x,在每个小区间n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xi 1 , xi上任取一点ii1,2, n ,作和式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnbaSnf i xf i i 1i1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如x 无限接近于 0 亦即 n时,上述和式Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 S 为函数f x在区间 a,b 上的 定积分 .记为：bSf x dx ,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

24、_精品资料_其中积分号 ,b 积分上限 , a 积分下限,f x被积函数 , x 积分变量 , a,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积分区间,f x dx 被积式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：1定积分bbf x dx 是一个常数,即aSn 无限趋近的常数 S n时记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x dx ,而不是aSn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2用定义求定积分的一般方法是：分割：n 等分区间 a,b .近似

25、代替：取点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ixi1 , x i.求和：n ba fi 1n i .取极限：bf x dxanbainlimfni1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3曲边图形面积：bWF r drabSfx dx .变速运动路程at2Sv t dt .变力做功t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定积分的几何意义从几何上看,假如在区间a,b 上函数f x 连续且恒有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品_精品资料_f x 0, 那 么 定 积 分bfx dx 表 示 由 直 线a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x a, xb ab, y0 和曲线y f x 所围成的曲边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_梯形 如图中的阴影部分 的面积,这就是定积分bbfx dx 的几何意义.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 一般情形下, 定积分f x dx 的几何意义是介于 x 轴、函数af x的图形以及直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

27、_x a , xb 之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_负号.分析：一般的,设被积函数y f x ,假设yf x 在a,b 上可取负值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考察和式fx1xfx 2xf xi xfx nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不妨设 fx i ,fx i1, fx n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是和式即为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

28、_精品资料_fx1xfx 2xf x i 1 xfxi x fx nx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf x dx阴影 A 的面积阴影 B 的面积 即 x 轴上方面积减x 轴下方的面积a摸索： 依据定积分的几何意义,你能用定积分表示图中阴影部分的面积S 吗？3. 定积分的性质依据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质：b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 1kdxk ba .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 2kf x dxkf x dx k 为常数定积分的线性性质 .可编辑资料 -

29、 - - 欢迎下载精品_精品资料_aabbb性质 3f 1 xf 2 x dxf 1 x dxf 2 x dx 定积分的线性性质 .aaabcb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 4f x dxf x dxfx dx其中acb定积分对积分区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aac的可加性baa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f x dxf x dx . 2f x dx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aba说明：推广：bbbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f 1 x f 2 x f m x dxf 1

30、x dxf 2 x dxf m x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaabc1c2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推广 :f xdxf x dxf x dxfx dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aac1性质说明：y性质 1y= 1ck性质 4yBAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OabxMNOaPbx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S曲边梯形 AM N BS曲边梯形 A MPCS曲边梯形 CPNB可编辑资料

31、- - - 欢迎下载精品_精品资料_其次章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理 简称归纳 .注:归纳推理的特点;简言之 ,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理.归纳推理的一般步骤： 部分整体,个别一般通过观看个别情形发觉某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题猜想类比推理的一般步骤： 特殊特殊 找出两类对象之间可以准确表述的相像特点. 用一类对象的已知特点去估计另一类对象的特点,从而得出一个猜想. 检验猜想.即观看、比较联想、类推猜想新结论归纳推理和类比推理是常用的合情推理.演绎推理的定义一般特殊 ：从一般性的原理动身,推出某个特殊情形下的结论,这种推理称为演绎推理 演绎推理是由一般到特殊的推理. “三段论”是演绎推理的一般模式.包括可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大前提 -已知的一般原理.小前提 -所讨论的特殊情形.结论据一般原理,对特殊情形做出的判定