2022年高中数学立体几何知识点归纳总结.docx

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1、精品_精品资料_高中数学立体几何学问点归纳总结一、立体几何学问点归纳第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特点（ 1）多面体由如干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体.其中,这条定直线称为旋转体的轴.（ 2）柱,锥,台,球的结构特点1. 棱柱1.1 棱柱 有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相互平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.1.2 相关棱柱几何体系列 （

2、棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：EDFCl侧面AB底面侧棱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 棱柱斜棱柱棱垂直于底面直棱柱底面是正多形其他棱柱EDFCAB正棱柱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体1.3 棱柱的性质：侧棱都相等,侧面是平行四边形.两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形.过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形.1.4 长方体的性质：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的D1C122

3、22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平方和.【如图】AC1ABADAA1A1B1D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（明白）长方体的一条对角线AC1 与过顶点A 的三条CAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_棱 所 成 的 角 分 别 是, , 那 么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222coscoscos1, sinsinsin2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（明白）长方体的一条对角线AC1 与过顶点 A 的相邻三个面所成的角分别是, , ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

4、- - 欢迎下载精品_精品资料_就 cos2cos2cos22 , sin 2sin 2sin21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.5 侧面绽开图 ：正 n 棱柱的侧面绽开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.6 面积、体积公式： 为棱柱的高）S直棱柱侧S直棱柱全c hc h2S底, V棱柱S底h（其中c 为底面周长, h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 圆柱O2.1 圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其A余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.B母线2.2 圆柱的性质：

5、上、下底及平行于底面的截面都是等圆.过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.C轴轴截面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.3 侧面绽开图： 圆柱的侧面绽开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形 .22.4 面积、体积公式 ：AOC侧面B底面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S 圆柱侧 = 2 rh . S 圆柱全 = 2rh3. 棱锥2 r,V 圆柱=S 底 h=r 2h （其中 r 为底面半径, h 为圆柱高）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.1 棱锥有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这

6、些S高顶点侧面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面所围成的几何体叫做棱锥.侧棱正棱锥假如有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥.3.2 棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相像的正底面ADOBHC斜高多边形,相像比等于顶点到截面的距离与顶点究竟面的距离之比.正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形.正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_边长一半,构成四个直角三角形.）（如上图：SOB,SOH ,SBH,OBH 为直角三角形）可编辑资料 - - -

7、欢迎下载精品_精品资料_3.3 侧面绽开图： 正 n 棱锥的侧面绽开图是有n 个全等的等腰三角形组成的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.4 面积、体积公式： S 正棱锥侧 =1ch , S 正棱锥全 =211chS底, V 棱锥 =S底23h .（其中 c 为底面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_周长, h 侧面斜高, h 棱锥的高）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 圆锥4.1 圆锥 以直角三角形的始终角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.4.2 圆锥的性质：平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于

8、顶点到截面的距离与顶点究竟面的距离之比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴截面是等腰三角形.如右图：SABS顶点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如右图： l22hr.母线轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.3 圆锥的侧面绽开图： 圆锥的侧面绽开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形.4.4 面积、体积公式：12h侧面l轴截面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S 圆锥侧=rl , S 圆锥全 =r rl , V 圆锥 =3r h （其中rAOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 为底面半径, h 为圆锥的高, l

9、为母线长）5. 棱台5.1 棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台.5.2 正棱台的性质：底面SD上底面C侧棱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形.正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形.高下底面AOM B侧面斜高DCON可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如右图：四边形形OMNO , OBBO 都是直角梯顶点AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_棱台常常补成棱锥讨论.如右图：SOM 与 SON , SO B与 SOB相像 ,留意考虑相像比.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精

10、品_精品资料_5.3 棱台的表面积、 体积公式：S全S上底 S下底S侧,V棱台 （S3SSS h ,（其中S, S是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上,下底面面积,h 为棱台的高）6. 圆台6.1 圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面之间的部分叫做圆台.6.2 圆台的性质：圆台的上下底面,与底面平行的截面都是圆.圆台的轴截面是等腰梯形.圆台常常补成圆锥来讨论.如右图：SAr O轴h母线l轴截面上底面D侧面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SOA与SOB相像 ,留意相像比的应用 .BRCO下底面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26.3 圆

11、台的侧面绽开图是一个扇环.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.4 圆台的表面积、体积公式：S全 rR2 Rr l ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V 圆台 （S SSSh （ rrRRh ,（其中 r, R 为上下底面半径,h 为高）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_337. 球7.1 球以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.或空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球.7.2 球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面.

12、2 rRd 2 （其中,球心到截面的距离为d、球面球心轴球的半径为 R、截面的半径为 r）半径7.3 球与多面体的组合体： 球与正四周体,球与长方体,球与正方体等的内接与外切.O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DCAC ABOORdArO1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DCABAc注：球的有关问题转化为圆的问题解决.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.4 球面积、体积公式：S球24R ,V球4R （其中 R 为球的半径）33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：（ 06 年福建卷）

13、已知正方体的八个顶点都在球面上,且球的体积为323,就正方体的棱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_长为 （二）空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影.平行投影分为正投影和斜投影.2. 三视图是观看者从三个不同位置观看同一个空间几何体而画出的图形. 正视图 光线从几何体的前面对后面正投影,得到的投影图.侧视图 光线从几何体的左面对右面正投影,得到的投影图. 正视图 光线从几何体的上面对下面正投影,得到的投影图.注：（ 1）俯视图画在正视图的下方, “长度”与正视图相等.侧视图画在正视图的右边,“高度”与正视图相等, “宽度”与俯视图. （简记为“正、侧一样高,

14、正、俯一样长,俯、侧一样宽” .（ 2）正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图.3. 直观图：3.1 直观图 是观看着站在某一点观看一个空间几何体而画出的图形.直观图通常是在平行投影下画出的空间图形.3.2 斜二测法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_step1：在已知图形中取相互垂直的轴Ox、Oy ,（即取xoy90）.step2：画直观图时,把它画成对应的轴o x ,o y ,取x o y 45 or 135 ,它们确定的平面表示水平平面.step3：在坐标系 x o y 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于 x 轴（或在 x 轴上）的线段

15、保持长度不变,平行于y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半.结论：一般的,采纳斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的2 倍.4解决两种常见的题型时应留意：（ 1）由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”.（ 2）由几何体的直观图画三视图时,能观察的轮廓线和棱画成实线,不能观察的轮廓线和棱画成虚线.其次章 点、直线、平面之间的位置关系（一） 平面的基本性质1. 平面无限延展,无边界1.1 三个定理与三个推论公理 1： 假如一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内.用途：常用于证明直线在平面内.图形语言：符号语言：公理 2：不共线的三点确定一个平面 .图形语言：推论 1：直线与直

16、线外的一点确定一个平面.图形语言： 推论 2： 两条相交直线确定一个平面.图形语言：推论 3： 两条平行直线确定一个平面.图形语言：用途：用于确定平面.公理 3：假如两个平面有一个公共点,那么它们仍有公共点, 这些公共点的集合是一条直线 （两个平面的交线） .用途：常用于证明线在面内,证明点在线上.图形语言：符号语言：形语言,文字语言,符号语言的转化：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）空间图形的位置关系1. 空间直线的位置关系：共面:ab=A,a/b异面:a 与b异面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.1 平

17、行 线 的 传 递 公 理 ： 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 . 符 号 表 述 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a / / b , b/ /ca/ /c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.2 等角定理：假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补 .1.3 异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线.（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A

18、a图形语言：PA符号语言：P A与 异a 面aAa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.4 异面直线所成的角： （1）范畴：0 ,90.（ 2）作异面直线所成的角：平移法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如右图,在空间任取一点 O,过 O 作a / a, b / b ,就a, bab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所成的角为异面直线a, b 所成的角. 特殊的, 找异面直线所aO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成的角时,常常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特b殊点（如线段中点,端点等）上,形成异面直线所成的角.l2. 直线与平面

19、的位置关系：lAl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图形语言：3. 平面与平面的位置关系：l /平行： /斜交：=a相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_垂直：（三）平行关系（包括线面平行,面面平行）1. 线面平行：定义：直线与平面无公共点.a / b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定定理：aa /b（线线平行线面平行）【如图】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质定理：a /aa / b （线面平行线线平行）【如图】b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定或证明线面平行的

20、依据：（ i） 定义法（反证） ： ll /a / b（用于判定） .（ ii）/可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定定理：aa /b“线线平行面面平行”（用于证明） .（ iii）aa /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba“面面平行线面平行” （用于证明） .（ 4） ba /a（用于判定） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 线面斜交： lA直线与平面所成的角（简称线面角）：如直线与平面斜交,就平P面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角.【如图】 PO于 O,就 AO 是 PA 在平面内的射影

21、, 就PAO 就是直线 PA 与平面所成的角.A范畴：0 ,90,注：如 l或l /,就直线 l 与平面O所成的角为 0 .如 l,就直线 l 与平面所成的角为 90 .3. 面面平行：定义：/.判定定理：假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面相互平行.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符号表述：a,b, abO, a /,b /【如下图】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O aO abbO ab图图推论： 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么这两个平面相互平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符号表述：a,b, abO, a ,b , a / a , b / b /【如上图 】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定 2：垂直于同一条直线的两个平面相互平行.符号表述：a, a/.【如右图】 判定与证明面面平行的依据：（ 1）定义法.（ 2）判定定理a及推论（常用） （ 3）判定 2可编辑资料 - - - 欢迎下载