数值分析-课后知识题目解析.ppt

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1、1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.,x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.,一.习题1（第10页）,解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4,3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 .,相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%.,有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位.,1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试

2、问它们有几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032,解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.,1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字?,解 因为101/2=3.162=0.316210,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有,r=0.5101-n/3.1620.5101-n/30.01%,因此只需n=5.即取101/2=3.1623,解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.017863,1-4.求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有四位有效数字,2-2(1).用列主元G

3、auss消元法解方程组,解,二.习题2 (第50页),回代得解: x3=1, x2=-1, x1=0,2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中,解,，所以,2-4.对矩阵A进行LDM分解和Crout分解，其中,解,2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组Ax=b，其中,解,2-6(1).给定方程组,a.用Cramer法则求其精确解. b.用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算).,解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899,b.用Gauss消元法,2-8.用追赶法求解

4、方程组:,回代得解: y=1, x=0.,再用列主元Gauss消元法,回代得解: y=1, x=1.,解,2-10.证明下列不等式: (1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;,证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y,(2) 因为 x=(x-y)+yx-y+y,所以 x-yx-y ,同理可证 y-xx-y,于是有 |x-y|x-y .,2-11.设为一向量范数,P为非奇异矩阵,定义xp= Px, 证明xp 也是一种向量范数.,证明 (1)xp=Px0,而且Px=0Px=0 x=0,(3)x+yp=P(x+y)=Px+PyPx+Py=xp+yp,(2)xp=P(x)

5、=Px=|Px=|xp,所以xp是一种向量范数.,2-12.设A为对称正定矩阵,定义xA=,证明A是一种向量范数.,证明 由Cholesky分解有A=GGT,所以xA,=GTx2,由上题结果知xA是一向量范数.,2-16.对任意矩阵范数,求证:,证明 (1)因为A=AEAE ,所以E1.,(2)1E=AA-1AA-1 ,故,2-17.证明: (1)如果A为正交矩阵,则Cond2(A)=1;,(2)如果A为对称正定矩阵,则Cond2(A)=1/n,1和n分别为A的最大和最小特征值.,证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A2A-12=1.,(2)A对称正定,ATA=A2,

6、A2=1. A-12=1/n.,(3)A-1-B-1=A-1(B-A)B-1A-1B-1A-B,三.习题3 (第75页),3-2.讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中,解 (1) J迭代法的迭代矩阵为,得(2+5/4)=0,即1=0,2= ,3= ,故(B)=,所以J迭代法不收敛.,(2)类似可得(B)=0,(G)=2, 故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.,所以,(G)=1/2, 故G-S迭代法收敛.,G-S迭代法的迭代矩阵为:, 得(2+1)2=0,故(G)=1/2.,3-3.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组,J迭代法有x(1)=(1.2,1.5,2)T, x(1

7、)-x(0)=2,取初始近似x(0)=(0,0,0)T,问各需迭代多少次才能使误差x(k)-x*10-6.,解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为,G-S迭代法有x(1)=(1.2,1.35,2.11)T, x(1)-x(0)=2.11,B=1/3=0.33333 , G=1/4=0.25,易得:(B)=|,(G)=2.故当|1时两种方法都收敛.,3-4.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组Ax=b,其中,J迭代法:,取k=14.,G-S迭代法:,取k=11.,问取何值时这两种迭代法是收敛的?,解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为,3-7.给定方程组,计算结果如下:,取x(0)=(1.

8、01,1.01)T,分别用J迭代法和G-S迭代法求解,问是否收敛?若收敛哪一种方法收敛得快?,解 (1)J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分别为,计算结果如下:,可见,J迭代法和G-S迭代法均不收敛.,(2)J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分别为,可见,J迭代法和G-S迭代法均收敛,且G-S迭代法收敛的快.,实际上, (B)=31/21 ,(G)=31.,3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.,解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称正定矩阵,故当02时,SOR方法收敛.,3-9.给定方程组,试建立一个收敛的迭代格式,并说明收敛的理由.,解 可建立如下形式的迭代格式,因为迭代

9、矩阵为,所以此迭代法收敛.,四.习题4 (第102页),4-1.证明方程1-x-sinx=0在0，1内有一个根，使用二分法求误差不大于0.510-4的根需要计算多少步?,解 记(x)=1-x-sinx,则(x)在0,1连续,(0)=10, (1)=-sin10,故方程在0,1内有根,又(x)=-1-cosx0, x0,1,所以方程在0,1内仅有一个根.,可见,需要计算14步.,由于,所以k4/log2=13.29,4-3.比较使用下述方法求方程ex+10 x-2=0的正根，准确到三位小数所需要的计算量:,(1) 在区间0,1内用二分法;,(2) 用迭代法,取x0=0.,解 (1)由,(2) 迭

10、代法的迭代函数为(x)=(2-ex)/10, |(x)|= ex/10e/101,取L=e/10,且x1=0.1,由,k3/log2=9.97 ,所以需要计算10步.,可得,所以,只需迭代5步.,可得,若取L=e0.1/10,可得k2.46,所以只需迭代3次.,4-4.设(x)=cosx,证明:任取x0,迭代式xk+1=(xk),k= 0,1,2,均收敛于方程x=(x)的根 .,证明 因为对任意x0,都有x1=cosx0-1,1,所以只需证明迭代式在区间-1,1收敛.,因为(x)=cosx连续可导,|(x)|=|sinx|sin11,所以(x)是区间-1,1上的压缩映射,因此结论成立.,这里迭

11、代函数(x)=,解 记(x)=x3+2x-5C0,2,且(0)=-50,所以方程在区间0,2内有根,建立迭代格式,4-5.验证区间0,2是方程x3+2x-5=0的有根区间,并建立一个收敛的迭代格式,使对任何初值x00,2都收敛,并说明理由.,由于,01(x),所以(x)是区间0,2上的压缩映射,故迭代式收敛.,证明 这里(x)=x-(x),由于对任意(0,2/M),均收敛于(x)=0的根 .,4-7.给定函数(x),设对一切x,(x)存在且0m(x) M,证明对任意(0,2/M),迭代式,2 , x0,2,且 |(x)|=,2/31 , x0,2,-1=1-2(x)=1-(x)1,所以|()|

12、1,故迭代法收敛.,解 将x=(x)化为x=-1(x),建立迭代格式xk+1=-1(xk),取x0=4.5,实际计算时用格式xk+1=+arctanxk ,k=0,1,2,计算结果如下,4-8.已知x=(x)在a,b内仅有一个根,而当xa,b时,|(x)|k1,试问如何将x=(x)化为适于迭代的形式?将x=tanx化为适于迭代的形式,并求在x=4.5附近的根.,由于|-1(x)|=1/|(x)|1/k1,故迭代法收敛.,将x=tanx化为x=arctanx,建立格式xk+1=arctanxk ,已得到精确到小数点后6位的近似值x5=4.493409.,的一个近似值,用Newton迭代法求,取x

13、0=1.3,计算结果如下,4-10.已知1.3是,解 对方程(x)=x4-3=0建立Newton迭代格式,则有,所以取x3=1.3160740,已精确到小数点后6位.,的更好近似值, 要求准确到小数点后五位.,4-12.用Newton迭代法于方程xn-a=0,和1-a/xn=0,(a 0),分别导出求,的迭代公式,并求,由于,解 迭代格式分别为,所以对(1)有,4-13.证明迭代公式：xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0, 1,2,是求,对(2)有,证明 设,的三阶方法.,则有: =(2+3a)/(32+a),故 2=a , 即,又由于,所以有,因此是三阶方法.,五.习题5

14、 (第131页),5-1.用Gerschgorin圆盘定理估计下列矩阵的特征值.,解 (1)三个圆盘为|-1|0.2,|-2|0.4,|-3|0.3.是相互独立的,因此,三个特征值分别为;,(2)三个圆盘为|-4|2,|-2|1,|-9|2.前两个圆盘连通,后一个独立,因此, 1,2,落在前两个圆盘的连通区域内, 7311.,0.811.2 , 1.622.4 , 2.733.3,5-5.求矩阵A按模最大和最小特征值.其中,解 用幂法求A的按模最大特征值,计算公式为:,v(k)=Au(k-1),k=max(v(k),u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.,取初值u(0)=(1,1,1)T,计

15、算结果如下:,取17=19.301,解 用反幂法求A的按模最小特征值,计算公式为:,Av(k)=u(k-1),k=max(v(k),u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.,取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:,取n1/15=4.8686,5-7.利用带位移的反幂法计算矩阵的特征值.,解 作位移矩阵B=A-7E ,建立计算公式:,Bv(k)=u(k-1),k=max(v(k),u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.,取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:,取7+1/7=6,5-9(2)利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值，其中,解 记,取p=1，q=2，则有,cos

16、=(1+t2)-1/2=0.7071, sin=tcos0.7071,类似地有,所以取 17.37228 ,22.99991 ,31.62781,5-10.设矩阵H=E-2xxT,向量x满足xTx=1,证明:,(1)H为对称矩阵,即HT=H; (2)H为正交矩阵,即HTH=E;,(3)H为对合矩阵,即H2=E.,证明 (1)因为HT=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H对称.,6-1.当x=1,-1,2时,(x)分别为0,-3,4,求(x)的二次插值多项式p2(x).,(2)因为HTH=(E-2xxT)T(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT=E,故H正定.,(3)由(1)和(2

17、)即得,H是对合矩阵.,六.习题6 (第180页),解法一. 基函数法:,p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x),6-2.设l2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3为插值节点的3次插值基函数,求,解法二. 待定系数法,设p2(x)=(x-1)(ax+b), 则有,p2(x)=-3l1(x)+4l2(x),2(a-b)=-3, 2a+b=4,解得,a=5/6, b=7/3, 所以,p2(x)=1/6(x-1)(5x+14),6-3.设l0(x),l1(x),ln(x)是以x0,x1,xn为节点的n次Lagrange插值基函数,求证:,解

18、,证明 (1)记(x)=xk,则yj=(xj)=xjk,j=0,1,n.于是,6-4.设(x)C2a,b,且(a)=(b)=0,证明,证明 以a,b为节点作(x)的线性插值有L1(x)=0,故,(2)记(t)=(t-x)k,则yj=(xj)=(xj-x)k,j=0,1,n.于是,取t=x,则有,其中,|(x)|=|(x)-L1(x)|,6-5.利用y=,的近似值,并由误差公式给出误差界,同时与实际误差作比较.,解 由二次Lagrange插值得:,在x=100,121,144点的函数值 ,用插值方法求,实际误差：,6-8.(x)=x5+4x4+3x+1,求差商20,21,25和20, 21,26

19、.,解 20,21,25=,20,21,26= 0,6-9.设(x)=x5+x3+1, 取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5, x4=1,作出(x)关于x0,x1,x2,x3,x4的差商表,给出(x)关于x0,x1,x2,x3的Newton插值多项式,并给出插值误差.,解 差商表为,Newton插值多项式为:,|R3(x)|=|-1,-0.8,0,0.5,x(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)|,6-10.设(x)=x4+2x3+5, 在区间-3,2上, 对节点x0= -3,x1=-1,x2=1,x3=2,求出(x)的分段三次Hermite插值多项式在每个小区间xi,xi+

20、1上的表达式及误差公式.,解 在-3,-1上,由y0=32,y1=4,y0=-54,y1=2,h=2,得,N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8),+2.79(x+1)(x+0.8)x,5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)|,H3(x)=320(x)+41(x)-540(x)+21(x),令0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,所以,0(x)=(x+1)2(x+4)/4,同理可得:,0(x)=(x+3)(x+1)2/4,1(x)=-(x+3)2x/4,1(x)=(x+3)2(x+1)/4,H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(

21、x+3)2x,-13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1),=-6x3-22x2-24x-4,所以有,误差为,R(x)=(x+3)2(x+1)2,类似地,在区间-1,1上有,H3(x)=2x3+2x2+4,R(x)=(x+1)2(x-1)2,H3(x)=,写到一起就是,R(x)=,在区间1,2上有,H3(x)=8x3-13x2+12x+1,R(x)=(x-1)2(x-2)2,-6x3-22x2-24x-4 , -3x-1,2x3+2x2+4 , -1x1,8x3-13x2+12x+1 , 1x2,(x+3)2(x+1)2 , -3x-1,(x+1)2(x-1)2 , -1x1

22、,(x-1)2(x-2)2 , 1x2,6-12.确定a，b，c使函数,是一个三次样条函数。,解 因为S(x)是分段三次多项式,故只需S(x)C20,3,由 1=S(1-0)=S(1+0)=c ,得 c=1,所以,当a=b=3,c=1时,S(x)是三次样条函数.,6-13.确定a，b，c,d,使函数,由 3=S(1-0)=S(1+0)=b ,得 b=3,由 6=S(1-0)=S(1+0)=2a ,得 a=3,是一个三次样条函数,且S(2)=12.,解 由已知可得: a+b+c+d=2, b+2c+3d=5,2c+6d=8,6d=12, 解之得:a=-1,b=3,c=-2,d=2.,6-19.给

23、出函数表,解 线性拟合,即形如y=a+bx的拟合曲线.构造向量,0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, =(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T. 则得正则方程组:,6a+0.5b=13.52,试分别作出线性,二次曲线拟合,并给出最佳均方误差.,0.5a+2.875b=7.055,解得:,所以,线性拟合曲线为:y=2.078971+2.092353x,最佳均方误差为:*2= =0.38659,二次拟合,即形如y=a+bx+cx2的拟合曲线.构造向量,0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,

24、1)T, 2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T，=(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T.则得正则方程组:,6a+0.5b+2.875c=13.52,0.5a+2.875b+0.3125c=7.055,解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191.,二次拟合曲线为:y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.,最佳均方误差为:*2= =0.06943.,2.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375,6-20.用最小二乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式,使与下列数据拟合,并计算均方误差.,解 这里基函数为

25、0(x)=1,1(x)=x2,构造向量,0=(1,1,1,1,1)T, 1=(361,625,961,1089,1936)T, =(19,32.2,49,73.3,97.8)T.则得正则方程组:,5a+4972b=271.3,4972a+6378484b=343237.5,解得:a=3.33339,b=0.051213.,所求拟合曲线为:y=3.33339+0.051213x2.,最佳均方误差为:*2= =15.93299,6-22.用最小二乘法求下列方程组的近似解:,解 记,G(x,y)=(2x+4y-11)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(4x+2y-14)2,就是求G(x,

26、y)的最小值,令,解得: x=2.977413,y=1.225873,7-1.建立右矩形和左矩形求积公式,并导出误差式.,七.习题7 (第213页),解法. 右矩形公式为：,由于(x)-(a)=(x)(x-a), (x)-(b)=(x)(x-b),左矩形公式为：,所以有,7-2.说明中矩形公式的几何意义,并证明,证明 由Taylor展开式有,所以有,7-3.若(x)0,证明用梯形公式计算定积分所得结果比准确值大,说明几何意义.,证明 因为(x)0,所以y=(x)是凹函数,故结论成立.,7-5.确定下列积分公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并说明代数精度是多少？,解 令公式对(x)=1,x

27、,x2都精确成立,则有,解得:A-1=A1=h/3,A0=4h/3.,A-1+A0+A1=2h,-hA-1+hA1=0,h2A-1+h2A1=2h3/3,求积公式为:,(x)=x3时,左=右=0,公式也精确成立,(x)=x4时,左=2h5/5,右=2h5/3,公式不精确成立,所以公式的代数精确为3.,解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则有,解得:,2=2,2x1+3x2-1=0,2x12+3x22+1=2,求积公式为:,(x)=x3时,公式都不精确成立,故代数精度为2.,解 当(x)=1时,左=h，右=h，对所有都成立。,(x)=x时有左=右=h2/2，对所有都成立。,故公式的代数精

28、度为3.,解 令公式对(x)=1,x精确成立,则有,(x)=x2时,左=h3/3,右=h3/2-2h3，故取=1/12,则有,(x)=x3时,左=h4/4,右=h4/2-h4/4=h4/4，也精确成立.,(x)=x4时,左=h5/5,右=h5/2-h5/3=h5/6，不精确成立.,A0=2/3,A0 x0=0,解得A0=2/3,x0=0. 所以公式为,其代数精度为1.,7-7.设,解 因为|(lnx)|=1/x21, |(lnx)(4)|=6/x46,要|I-Tn|10-3,只要,即n9.13,故取n=10.,IS2=1/12ln1+2ln1.5+ln2+4ln1.25+4ln1.75=0.3

29、86260,导出两点Gauss型求积公式.,若取=10-3,分别求出n使复化梯形公式Tn,复化Simpson公式Sn的截断误差满足: |I-Tn|,及|I-Sn| ,并计算Sn .,要|I-Sn|10-3,只要,即n1.201,故取n=2.,7-10.对积分,解 区间0,1上权函数为ln(1/x)的正交多项式为:,P0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252,令 p2(x)=0 ，解出Gauss点为：,再令公式对(x)=1,x精确成立,可得,A1+A2=1, A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出,所以两点Gauss型求积公式为:,7-11.用两点G

30、auss型求积公式计算下列积分的近似值.,解 两点Gauss-Legendre求积公式为:,所以有,解 两点Gauss-Laguerre求积公式为:,A1=0.8535533905, A2=0.1464466094,x1=0.5858864376, x2=3.4142135623,所以有,所以有,解 两点Gauss-Laguerre求积公式为:,A1=A2=0.0.8862269254, -x1=x2=0.7071067811,所以有,解 两点Gauss-Hermit求积公式为:,7-12.证明下列数值微分公式：,其中，xj=x0+jh，j=0，1，2。,(x)= (x-x1)(x-x2)(x

31、0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2, (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+R2(x0),(2) (x)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2+R2(x),证明 (1)以x0,x1,x2为节点的二次Lagrange插值为:,+ (x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6, (x)=(2x-x1-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2+R2(x), (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+h2 ()/3,容易证明 (x1)(x0)-2(x1)+(x2)/h2 对 (x)取次

32、数不超过3次的多项式精确成立.,构造三次多项式p3(x)使p3(x0)=(x0), p3(x1)=(x1), p3(x2)=(x2), p3(x1)=(x1), 则有,(x)-p3(x)=(4)(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)/4!,于是有,R2(x1)=(x1)-p3(x1)=(4)()(-2h2)/4!=-(4)()h2/12,所以, (x1)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2-(h2/12)(4)(),(3)以x0=-h,x1=0,x2=2h为节点的二次Lagrange插值为:,(x)= 2x(x-2h)(-h)-3(x+h)(x-2h)(0)+x(x+h)(2h)/6h

33、2,+ (x)x(x+h)(x-2h)/6, (0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h+ R2(0), (x)=4(x-h)(-h)-3(2x-h)(0)+(2x+h)(2h)/6h2+R2(x), (0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h-h2 ()/3,八.习题8 (第250页),8-5.用梯形方法和四阶标准R-K方法求解初值问题,y+y=0 ， 0x1,y(0)=1,取步长h=0.1,并与精确解y=e-x相比较.,解 这里(x,y)=-y ,故梯形公式为:,yn+1=yn-0.05(yn+yn+1), 也就是,yn+1=(0.95/1.05)yn,y0=1,四阶标准R-K公式

34、为:,K1=-yn, K2=-(yn+0.05K1), K3=-(yn+0.05K2),K4=-(yn+0.1K3),就是:,yn+1=0.9048375yn,yn+1=yn+(0.1/6)(K1+2K2+2K3+K4),y0=1,计算结果为:,8-7.证明下述R-K方法对任何参数t都是二阶方法.,证明 因为,所以有,又因为,于是对任何t有: y(xn+1)-yn+1=O(h3),即,差分公式对任何参数t都是二阶方法.,8-8.验证下述R-K方法是三阶方法.,证明 因为,所以有,又因为,于是有: y(xn+1)-yn+1=O(h4),即,差分公式是三阶方法.,8-11.对试验方程y=-y,0,

35、证明如下方法的绝对稳定性条件,证明 (1)改进Euler公式为：,(1)改进Euler方法:,(2)四阶标准R-K方法:,故改进Euler方法的绝对稳定条件为,(1)四阶标准R-K公式为：,故四阶标准R-K方法的绝对稳定条件为,的局部截断误差主项和阶.,8-12.确定两步方法,解,所以有,又因为,所以,因此,公式的局部截断误差主项为,公式为二阶方法.,8-13.试求系数,0,1,使两步方法,的局部截断误差阶尽可能的高,并写出局部截断误差主项.,解,所以有,当=1/2,1=-1/4,0=7/4时阶最高,为二阶方法.截断误差的主项为,8-15.对微分方程y=(x,y)沿区间xn-1,xn+1积分得

36、,解 Simpson求积公式为,试用Simpson求积公式近似右边积分,导出Milne-Simpson差分公式,并说明方法的阶.,所以差分公式,易见,此公式是四阶方法.,设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk=(xk),k=0,1,2,计 算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.,解 (1)因为00,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当10,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.,(2)构造迭代格式:,由于|(x)|=| |1,故此迭代法收敛.,课堂练习,取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2 , 故可取根的近似值x2=1.40983.,0,(3)因为0/2,所以(),故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).,课间休息,