2022年高中数学直线和圆知识点总结.docx

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1、精品_精品资料_直线和圆一 直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 斜率与倾斜角： ktan,0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）0, 时, k20 .（2）时, k 不存在.（3）, 时, k022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）当倾斜角从 0 增加到 90 时,斜率从 0 增加到.当倾斜角从 90 增加到 180 时,斜率从增加到 02. 直线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）点斜式： yy0k xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

2、（ 2）斜截式： ykxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy1（ 3）两点式：y2y1xx1x 2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）截距式：xy1ab（ 5）一般式： AxByC0223. 距离公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）点P1 x1 , y1 , P2 x2,y2 之间的距离：P1P2 x2x1 y2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）点P x , y 到直线AxByC0 的距离： d| Ax0By0C |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

3、品资料_00A2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）平行线间的距离：AxByC0 与 AxByC0 的距离： d| C1C2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2212AB4. 位置关系（ 1）截距式： ykxb 形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重合： k1k2b1b2相交： k1k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平行： k1k2b1b2垂直： k1k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）一般式：AxByC0 形式可编辑资料 - - - 欢迎下载

4、精品_精品资料_重合：A1B2A2 B1 且A1C 2A2C1 且 B1C2C1B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平行：A1B2A2 B1 且A1C 2A2C1 且 B1C2C1B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_垂直：A1 A2B1B20相交：A1B2A2 B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 直线系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1xB1yC1（ A2xB2 yC2）0 表示过两直线l1 :A1xB1yC10 和 l2: A2 xB2 yC 20 交点的所可编辑资料 -

5、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有直线方程（不含l2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 圆的方程（ 1）标准形式：xa2 yb2R2 （ R0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）一般式： x2y2DxEyF0 （ D 2E 24F0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）参数方程：x x0y y0r cos r sin（ 是参数）可编

6、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】题目中显现动点求量时,通常可实行参数方程转化为三角函数问题去解决.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）以A x1, y1 ,B x2,y2 为直径的圆的方程是： xxA xxB yyA yyB 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）点P x , y 和圆 xa2 yb2R2 的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 xa0000 yb 2R2 时,点00P x , y 在圆 xa 2 yb 2R2 内部可编辑资料 - -

7、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xa2 yb 2R2 时,点 P x , y 在圆 xa 2 yb 2R2 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 xa yb 2R2 时,点00P x , y 在圆 xa 2 yb 2R2 外可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00（ 2）直线AxByC0 和圆 xa2 yb 2R2 的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

8、精品资料_判定圆心 Oa,b 到直线 AxByC0 的距离 d| AaBbC| 与半径 R 的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 dR 时,直线和圆相交（有两个交点）.当 dR时,直线和圆相切（有且仅有一个交点）. 当 dR 时,直线和圆相离（无交点） .判定直线与圆的位置关系常见的方法A2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径 r 的大小关系(2) 代数法：联立直线与圆的方程消元后利用判定(3) 点与圆的位置关系法：如直线恒过定点且定点在圆内可判定直线与圆相交3. 圆和圆的位置关系可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定圆心距dO1O 2与两圆半径之和 R1R2 ,半径之差 R1R2 （ R1R2 ）的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 dR1R2 时,两圆相离,有4 条公切线.当 dR1R2 时,两圆外切,有3 条公切线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 R1R2dR1R2 时,两圆相交,有2 条公切线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 dR1R2 时,两圆内切,有1 条公切线.当 0dR1R2 时,两圆内含,没有公切线.4. 当两圆相交时,两圆相交直线方程等于两圆方程相减

10、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 弦长公式： l2R2d2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 1 如圆 x y 1 与直线 y kx 2 没有公共点,就实数k 的取值范畴是2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由题意知2 1,解得3 k3. 1 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 3,32222例 2 已知两圆C1： x y 2x 10y 24 0, C2： x y 2x 2y 8 0,就两圆公共弦所在的直线方程是 解析：两圆相减即得x 2y 4 0.2答案： x 2y 4 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

11、精品资料_2例 3 设直线 x my 1 0 与圆 x 1 y 24 相交于 A、B 两点,且弦AB的长为 23,就实数 m的值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由题意得,圆心1,2 到直线 x my 10 的距离 d 4 3 1,即3|1 2m 1|32 1,解得 m. 1 m3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：322例 4 如 a, b,c 是直角三角形ABC三边的长 c 为斜边 ,就圆 C：x y 4 被直线 l ：axby c 0 所截得的弦长为c22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由题意可知圆C：x y 4 被直线

12、 l ：ax by c 0 所截得的弦长为 242c ,所以所求弦长为23.答案： 23a2b2,由于 ab 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 5 已知 M： x y2 1, Q是 x 轴上的动点, QA, QB分别切 M于 A, B两点42(1) 如| AB| 3,求 | MQ| 及直线 MQ的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 求证：直线 AB恒过定点22281可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 设直线 MQ交 AB于点 P,就 | AP| 23,又 | AM| 1, AP MQ, AM AQ,得 | MP| 1 9 3

13、,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| MA|又 | MQ| | MP| , | MQ| 3.22设 Q x, 0 ,而点 M0,2,由 x 2 3,得 x 5,就 Q点的坐标为 5, 0 或 5, 0 从而直线 MQ的方程为 2x 5y 25 0 或 2x5y 25 0.2 证明：设点Q q, 0 ,由几何性质,可知A, B 两点在以 QM为直径的圆上,此圆的方程为x x q y y 23 0,而线段 AB是此圆与已知圆的公共弦,相减可得AB的方程为 qx 2y3 0,所以直线 AB恒过定点 0, 2 .22例 6 过点 1, 2 的直线 l 被圆 x y 2x 2y1 0 截

14、得的弦长为2,就直线 l 的斜率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 将圆的方程化成标准方程为 x12 y122 1,其圆心为 1,1,半径 r 1. 由弦长为2得弦心距为 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|2 k 3|2217可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设直线方程为 y 2 k x 1 ,即 kx y k 20,就172k 12 ,化简得 7k 24k 17 0,得 k1 或 k 7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 1 或 722例 7 圆 x 2x y 3 0 的圆心到直线 x3y 3 0 的距离为|1

15、 3|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：圆心 1,0, d答案： 11 3 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8 圆心在原点且与直线xy 2 0 相切的圆的方程为 222解析：设圆的方程为x y a a 0|2| a, a2 , 1 122 x y 2.22答案： x y 2例 9 已知圆 C经过 A5,1, B1,3两点,圆心在x 轴上,就圆 C的方程为22圆 C的方程为 x y Dx F 0,26 5D F 0,就10 DF 0,D 4,解得 F 6.22圆 C的方程为 x y 4x 6 0.22 答案 1C2 x y 4x 6 022例 10 1

16、 与曲线 C：x y 2x 2y 0 相内切,同时又与直线l ：y 2 x 相切的半径最小的圆的半径是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知实数 x, y 满意 x 2 2 y 1 21 就 2x y 的最大值为,最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 1 依题意,曲线 C表示的是以点 C 1, 1 为圆心,2为半径的圆,圆心C 1, 1 到直线 y 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 x y 2 0 的距离等于| 1 1 2| 22,易知所求圆的半径等于2222322 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 令

17、b 2x y,就 b 为直线 2x y b 在 y 轴上的截距的相反数,当直线 2x y b 与圆相切时, b 取得最值 由|2 2 1b| 1. 解得 b 5 5,所以 2xy 的最大值为 55,最小值为 55.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32答案： 1225 555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11 已知 x, y 满意 x y 1,就 x 1的最小值为y 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： x 1表示圆上的点 P x, y 与点 Q1,2连线的斜率,所以x 1

18、的最小值是直线 PQ与圆相切时的斜率设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|2 k|3y 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 PQ的方程为 y2 k x 1 即 kx y2 k 0. 由3为4. 1 得 k ,结合图形可知,24k 1x 1 4,故最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3答案： 422例 12 已知两点 A 2,0 , B0,2,点 C是圆 x y 2x 0 上任意一点,就ABC面积的最小值是 3解析： l AB： x y 2 0,圆心 1,0到 l 的距离 d,23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 AB边上的

19、高的最小值为 1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13故 ABC面积的最小值是 22 1 3 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22答案： 32例 13 平面直角坐标系 xoy 中,直线 xy10 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为6（ 1）求圆 O 的方程.（ 2）如直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于D, E,当 DE 长最小时,求直线 l 的方程.（ 3）设 M,P 是圆 O 上任意两点,点 M 关于 x 轴的对称点为 N,如直线 MP 、NP 分别交于 x 轴于点（ m,） 和（ n,）,问 mn 是否为定值？如是,恳求出该定值.如不是

20、,请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由于 O 点到直线 xy10 的距离为 1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以圆 O 的半径为 1 26 22 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22故圆 O 的方程为 xy2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy设直线 l 的方程为ab1a0, b0 ,即bxayab0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由直线 l 与圆 O 相切,得2 ,即,22a

21、2b2ab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DE 2a 2b 22a2 b 2 1122ab 8 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 ab2 时取等号,此时直线l 的方程为 xy2220 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 M x1 , y1 , Px2 , y2 ,就N x1 ,y1 , x1y12 , x2y22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 MP 与 x 轴交点x1y2y2x2 y1,0 , my1x1y2y2x2 y1 ,y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 NP 与 x 轴交点

22、x1y2y2x2 y1 ,0 , n y1x1 y2y2x2 y1 ,y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x yxyx yxy 2x2y2x2 y22y2 y22y 2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mn1221122112211222 , 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yyyyy 2y 2y2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21212121故 mn 为定值 2例 14 圆 x22+y =8 内一点 P（ 1, 2）,过点 P 的直线 l 的倾斜角为,直线 l 交圆于 A、B 两点.（ 1）当= 3时,求 AB 的长.4

23、（ 2）当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 l 的方程 .解:（ 1）当= 3时, kAB = 1,4直线 AB 的方程为 y 2=（ x+1 ）,即 x y 1=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0故圆心（ 0, 0）到 AB 的距离 d=01 =2 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而弦长 |AB|=281 =30 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设 A （ x 1, y1）,B （ x 2, y2）,就 x 1+x 2= 2, y1+y 2=4.xy22118,xy由22

24、228,两式相减得（ x1+x 2）（ x 1x 2）+（ y 1+y 2）（ y1 y2） =0,即 2（ x1 x 2） +4（ y1 y2） =0,y1y21 k AB =.x1x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l 的方程为 y 2=1 （x 1）,即 x 2y 5=0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15 已知半径为 5 的动圆 C 的圆心在直线 l:x y+10=0 上. 1如动圆 C 过点 5,0, 求圆 C 的方程 ;2 是否存在正实数 r ,使得动圆 C 中满意与圆 O:x2+y2=r 2 相外切的圆有且仅有一个,如存在,恳求出来

25、 ;如不存在 ,请说明理由 .解: 1依题意 ,可设动圆 C 的方程为 x a2+y b2=25,其中圆心 a,b 满意 a b+10=0.又动圆过点 5,0, 5 a2+0 b2=25.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组ab10 5a 200b 225 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a可得 b10 或 a5 ,0b52222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求圆 C 的方程为 x+10 +y =25 或x+510+y 5=25.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2圆 O

26、的圆心 0,0 到直线 l 的距离 d=52 .1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 r 满意 r+5 d 时,动圆 C 中不存在与圆O： x2+y 2=r 2 相外切的圆. 当 r 满意 r+5 d 时, r 每取一个数值,动圆C 中存在两个圆与圆O：22x +y =r2 相外切.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 r 满意 r+5=d, 即 r=52 5 时,动圆 C 中有且仅有 1 个圆与圆 O：x 2+y2=r 2 相外切 .22题目可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 自点A 1,4 作圆 x2 y31 的切线 l ,就切线 l 的

27、方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 求与圆x2y 25 外切于点 P1,2,且半径为 25 的圆的方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如点 P 在直线 l 1：x y 30 上,过点 P 的直线 l2 与曲线 C： x 52 y2 16 相切于点 M,就 PM 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24. 设 O 为坐标原点,曲线x +y（ 1）求 m 的值.（ 2）求直线 PQ 的方程 .2+2x 6y+1=0 上有两点 P、Q,满意关于直线 x+my+4=0 对称,又满意 O

28、P OQ =0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x+y25. 已知圆 C：2 2x+4y-4=0, 问是否存在斜率是1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB ,以 AB 为直径的圆经过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原点,如存在,写出直线l 的方程.如不存在,说明理由.6. 已知曲线 C：x2+y2 4ax 2ay 20 20a=0.（ 1）证明：不论a 取何实数,曲线 C 必过定点.（ 2）当 a2时,证明曲线C 是一个圆,且圆心在一条直线上.（ 3）如曲线 C 与 x 轴相切,求 a 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载