数理统计基本概念.ppt

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1、probability,probability,第六章 数理统计的基本概念,6.1 总体、样本与统计量,6.2 常用统计分布,一、引言,数理统计以概率论为理论基础,研究,2) 研究如何合理地分析随机数据从而作出科学的推断 (称为统计推断).,6.1 总体、样本与统计量,1）研究如何以有效的方式收集和整理随机数据;,数理统计的引入,两类工作有密切联系.,将主要介绍统计推断方面的内容.,总体：研究对象的全体所组成的集合.,个体：组成总体的每个单位元素.,例1 要考察本校男生的身体情况，则将本校 的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是 一个个体.,二、总体,如，关心电子元件的寿命，则寿命 X 为其

2、一个数量指标，且 X 是服从指数分布的随机变量.,例2 考察某厂生产的电子元器件的质量，将全部产品视为总体，每一个元器件即为一个个体.,通常需要对总体的一项或几项数量指标进行研究.,如仅考虑男生的身高和体重(X, Y) ,不考虑 男生的视力、胸围等.,以后将(实际)总体和数量指标X等同起来.,总 体 是 随 机 变 量,由于上述数量指标往往是随机变量，具有一定的分布.,总体分布是指数量指标 X的分布.,三、样本,一般，从总体中抽取一部分(取 n 个)进行观测，再依据这 n个个体的试验(或观察)的结果去推断总体的性质.,样本: 按照一定的规则从总体中抽取的一部分个体.,抽样：抽取样本的过程.,样

3、本容量：样本中个体的数目 n .,将第 i 个个体的对应指标记为 Xi，i=1,2, , n, 构成的随机向量 (X1 , X2 , , Xn )称为样本.,样本是一组随机变量，其具体试验(观察)数值记为：x1 , x2 , , xn ，称为样本观测值，简称样本值.,为使样本具有代表性，抽样应满足什么条件,从民意测验看抽样,?,（1）Xi 与总体同分布；,（2） X1 , X2 , , Xn 相互独立.,定义6.1.1 设X1 , X2 , , Xn是来自总体X的样本，如果相互独立且每个分量与总体同分布，称其为简单随机样本，简称样本.,若总体X的分布函数为 F(x), 则样本X1 , X2 ,

4、 , Xn的联合分布函数为,#,故 ( X1 , X2 , , X5 ) 的联合分布律为,PX1=x1 , X2 =x2, , X5 =x5,解：因,判断统计量,是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量.,对相应的样本值( x1 , x2 , , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , , xn ) 为统计量的统计值.,四、统计量,定义6.1.2 设X1 , X2 , , Xn是总体X的样本，T为n元实值函数，若样本的函数,T=T(X1 , X2 , , Xn),例 1 设总体 X B( 1 , p )，其中 p 是未知参数， ( X1 , X2 , , X5 ) 是来自 X 的简单随

5、机样本，,1) 指出以下变量哪些是统计量，为什么？,2) 确定( X1 , X2 , , X5 ) 的联合概率分布？,解 只有 不是统计量,因 p 是未知参数.,总 体 是 随 机 变 量,统计量 是 随机变量(或向量）,样 本 是 随 机 向 量,样本均值： 样本方差：,常见统计量：,样本 k 阶原点矩： 样本k阶中心矩：,统称样本矩,几个重要关系式：,X, S2, Ak, Bk,x, s2, ak, bk,统计量,统计值,思考 样本矩与总体矩 (即第四章中定义的矩) 的概念有什么区别？,样本矩 是 随机变量! 总体矩 是 数值!,总体、个体,简单随机样本,统计量,求样本的联合分布律或密度函

6、数,样本均值 样本方差 样本矩,数 理 统 计 的 引 入,某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中抽取10件产品装箱。,1）没有次品的概率,2）平均有几件次品,概 率,3）为以 0.95的概率保证箱中有10件正品，箱中至少要装多少件产品。,所有这些问题的关键是 p 是已知的！,如何获取 p ?,这就是数理统计的任务了！,一个很自然的想法就是：,首先从这批产品中随机抽取产品进行检验。,怎样随机抽取这属于抽样理论与方法问题。本书不讨论。,其次利用概率论的知识处理实测数据。,如何分析、处理实测数据。这属于统计推断的问题。也是我们研究的内容。,统计推断常解决的问题：,1）如何估计次品率 p ?,2）

7、如果以 p 0.01为出厂的标准，这批产品能否出厂？,数 理 统 计 的 引 入,参数估计问题,假设检验问题,#,6.2 常用统计分布,上侧分位数u ( 0 1）满足,标准正态分布,一、四种常用统计分布,对于正态分布有：,上侧分 位点u,阴影部分面积为,查表 如 0.025 时， u？,例6.2.1 设随机变量X 服从正态分布N(0,1), 对给定的(01)，数u满足 ，,则 x 等于,u是上侧分位点.,解,阴影部分面积为 (1-)/2,面积为,#,双侧分位点,2. 2 (chi方)分布,由度为n 的2分布，记为,称随机变量X 服从自,统计量的分布 (之一),定理1 设 X1，X2，Xn 相互

8、独立且都服从标准正态分布，则,即随机变量 2 服从自由度为 n 的卡方分布.,标准正态随机变量的独立平方和,结构定理,2分布的三条性质：,性质1. (数字特征) 设 2 2(n) ，则有 E( 2 ) = n ，D( 2 ) = 2n,证明,且 X1，X2，,Xn相互独立，XiN(0,1)，,性质2(可加性) 设Y1，Y2相互独立, 且Y12(n1) , Y12(n2)，则Y1+Y2 2(n1+ n2) .,证明 记,从而 Y1+Y2 2 (n1+n2).,且Xi , i=1,2,n1+n2 相互独立，XiN(0,1),性质3.(大样本分位数 ) 当n 足够大(如 n 45 )时，有,2(n)

9、 的上侧分位数( 0 1 )：,阴影部分面积为,例6.2.3 查表计算概率,注意 应注意分布表的定义与查法！,#,3.自由度为 n的 t 分布Tt(n),又称学生氏分布-第一个研究者以Student 作笔名发表文章.,即随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布.,定理2 设随机变量X, Y 相互独立, X N(0,1)，Y 2(n)，则,结构定理,阴影部分面积为,t (n) 的上侧分位数 t (n) ( 0 1 )：,T 分布的特点：,1.关于纵轴对称：,例 查表计算：,t,- t= t1-,因 =PTt=PT-t=1- PT -t,故 PTt=1.,即 t= - t1-,例 查表计算：,

10、2. n 较大时，,4. F 分布 F F ( n1 , n2 ),称X 服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的 F分布.,定理3 设随机变量X，Y 相互独立， X 2(n1) ，Y 2(n2)，则,即随机变量 F 服从第一自由度为n1，第二自由度为n2 的F分布.,结构定理,F ( n1 , n2 )的上侧分位数F ( n1 , n2 ) ( 0 1 )：,阴影部分面积为,推论1,推论2,证,二、抽样分布定理,定理1,应用例,定理2,设正态总体 X 与 Y 相互独立，,X , 样本为(X1,X2， X n1),样本均值和样本方差为 ；,Y ，样本为( Y1,Y2， Y n2)，样本均值和样本方差为 .,有,分析,证明: (2),服从正态分布，Sw2可化为2分布, 二者组合而成的统计量应服从 t 分布.,因 ， 相互独立，故U 与 V也相互 独立，从而,所以,又由于,总体、个体,简单随机样本,统计量,统计量的分布,正态总体的 2个抽样定理,样本均值 样本方差 样本矩,2分布 t 分布 F分布,分位点,结构定理,习题,第二节结束,