2022年求轨迹方程题型全归纳 .docx

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1、精品_精品资料_1直接法求轨迹方程的六种常用方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式,点到直线的距离公式,直线的斜率公式等,直接列出动点满意的等量关系式,从而求得轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1已知线段 AB6 ,直线AM , BM相交于 M ,且它们的斜率之积是49,求点 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的轨迹方程.解：以 AB 所在直线为 x 轴, AB 垂直平分线为 y 轴建立坐标系,就A 3,0, B3,0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

2、迎下载精品_精品资料_设点 M 的坐标为 x,y ,就直线 AM 的斜率kAMy xx33 ,直线 BM 的斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率 kAMyx3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知有yy4 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3x39x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简,整理得点 M 的轨迹方程为94练习：1x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 平面内动点 P 到点F 10,0的距离与到直线 x4 的距离之比为 2,就点 P 的轨迹方

3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆x22 y24 交于 A 、 B 两点, P 是 l 上满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAPB1 的点,求点 P 的轨迹方程.3. 到两相互垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A 直线B椭圆C抛物线D双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2定义法通过图形的几何性质判定动点的轨迹是何种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫做定义法,运用定义法,求其轨迹,一要娴熟把握常用轨

4、迹的定义,如线段的垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,二是娴熟把握平面几何的一些性质定理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2如B 8,0, C 8,0为 ABC 的两顶点, AC 和 AB 两边上的中线长之和是30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 ABC的重心轨迹方程是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设ABC 的重心为G x,y ,就由 AC 和 AB 两边上的中线长之和是30 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BGCG23020 ,而点3B 8,0, C 8,0为定点,所以点 G 的轨迹为以B, C可编辑资

5、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为焦点的椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以由 2a20, c8 可得 a10,ba2c26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22故 ABC 的重心轨迹方程是xy1 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：10036可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4方程2 x1 2 y12| xy2| 表示的曲线是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 椭圆B 双曲线C线段D抛物线3点差法圆 锥 曲 线 中 与 弦 的 中 点 有 关 的 问 题 可 用 点 差 法 , 其 基 本 方

6、 法 是 把 弦 的 两 端 点A x1, y1, B x2 , y2 的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得x1x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2 , x1x2 , y1y2 等关系式,由于弦AB 的中点Px, y的坐标满意2 xx1x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2 yy1y2 且直线 AB 的斜率为2x2y1 ,由此可求得弦AB 中点的轨迹方程.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 3 椭圆 xy1 中

7、, 过P 1,1的弦恰被P 点平分 , 就该弦所在直线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_242 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设过点P1,1的直线交椭圆于Ax1, y1 、B x2,y2 ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1114222142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 可得x1x2 x1x2 y1y2 y1y2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42可编辑资料 - - - 欢

8、迎下载精品_精品资料_而 P 1,1为线段 AB 的中点,故有x1x22, y1y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x1x2 2 y1y2 20y1y21 ,即1k AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42x1x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以所求直线方程为y1练习：1 x21) 化简可得 x2 y30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知以P2, 2 为圆心的圆与椭圆x22 y2m 交于 A 、B 两点,求弦 AB 的中点 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的轨迹方程.y2可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知双曲线x21,过点2P1,1能否作一条直线 l 与双曲线交于A, B 两点,使 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为线段 AB 的中点？4转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点,一个是主动的,另一个是次动的.当题目中的条件同时具有以下特点时,一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点 P 在已知方程的曲线上移动.另一个动点 M 随 P 的变化而变化.在变化过程中 P 和 M 满意肯定的规律.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 4 已知 P 是以x2F1, F2 为焦点的双曲线y1 上的动点,求F1F2P 的重心 G的可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轨迹方程.169可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 重心Gx, y ,点Px0, y0 ,由于F14,0, F2 4,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x440就有30y3x00x0y0, 故 y22xy3x 代入 0013 y169可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得所求轨迹方程9 x216y21 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5抛物线

11、x24 y 的焦点为 F , 过点 0,1 作直线 l 交抛物线 A、B 两点 , 再以 AF 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BF 为邻边作平行四边形AFBR,试求动点 R 的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：（转移法） 设 Rx,y , F 0,1,平行四边形AFBR的中心为xy1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 ykx1 ,代入抛物线方程,得2x4 kx40 ,P, 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 A x1,y1, B x2,y2 ,就可编辑资料

12、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16 k2x1x2 x1x24160| k | 14kx1x24kx1 x24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y1y2x1x2x1x2 2x1x24 k22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x P 为 AB 的中点 . 2x1x22k 2x4k,消去 k 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y1y2 222k 21y4k 23可编辑资料 - - - 欢

13、迎下载精品_精品资料_x24 y3 ,由得, | x |4 ,故动点 R 的轨迹方程为x24 y3| x |4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：（点差法） 设 Rx,y , F 0,1,平行四边形AFBR的中心为xy1P, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 A x1,y1, B x2,22y2 ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x4 yx4 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11由得 x1x2 x122x24 y1y2 x1x24kl2y1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 P 为 AB

14、的中点且直线 l 过点 0,1 ,所以x1x2x2x, kl2y3xx代可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y322x212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_入可得 x4,化简可得 xx4 y12y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由点xy1 在抛物线口内,可得x 2y12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P, 22422x8 y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将式代入可得x2814x216| x |4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

15、 - - 欢迎下载精品_精品资料_故动点 R 的轨迹方程为x24 y3| x |4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：7已知A1, 0, B 1, 4,在平面上动点Q 满意QAQB4 ,点 P 是点 Q 关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2 x4 的对称点,求动点P 的轨迹方程.5参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系.在确定了轨迹方程之后,有时题目会就方程中的参数进行争论.参数取值

16、的变化使方程表示不同的曲线.参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同.参数取值的变化引起另外某些变量的取值范畴的变化等等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6过点M 2,0作直线 l 交双曲线 x2y21 于 A 、B 两点,已知 OPOAOB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.（ 2）是否存在这样的直线l ,使 OAPB 矩形？如存在,求出l 的方程.如不存在, 说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为ykx2k0,代入方程 x2y21 ,得

17、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k 2 x24k 2x4 k210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于直线 l 与双曲线有两个交点,所以1k 20 ,设Ax , y , B x , y ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x4 k, x x4k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121k21 2k 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y yk x2k x2k xx4k2k 4k4 k4k可编辑资料 - -

18、 - 欢迎下载精品_精品资料_1212121k 21k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 P x,y ,由 OPOAOB得 x, y xx, yy 4k,4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2121222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4k 2x21k1k4 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ky4k1k 2x所以ky,代入 y4k2 可得1kyyx 21y,化简得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y24 x0

19、即 x2 2y24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 直 线 l 的 斜率 不存 在 时, 易 求 得P4,0满 足方程 ,故 所 求 轨迹 方 程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22y24 y0 ,其轨迹为双曲线. （也可考虑用点差法求解曲线方程）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）平行四边 OPAB为矩形的充要条件是OA OB0 即 x1x2y1y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k 不存在时, A 、 B 坐标分别为 2,3 、 2,3 ,不满意式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k 存在时,

20、x1x2y1y2x1x2k x12k x221k2 x x2k2 xx 4k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 2121k 2 14k2 2 k24 k 224k 20 化简得 k10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k2k21k 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此方程无实数解,故不存在直线l 使 OPAB 为矩形.练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 设椭圆方程为2x 2y1 , 过点 M 0,1 的直线 l 交椭圆于点A、 B , O 是坐标原点 ,可编辑资料 -

21、 - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P 满意 OP41 OAOB , 点 N 的坐标为 1 , 1 , 当l 绕点 M 旋转时 , 求:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 2(1) 动点 P 的轨迹方程.2| NP | 的最小值与最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设点 A和 B 为抛物线y 24 px p0 上原点 O 以外的两个动点,且 OAOB ,过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O 作 OMAB于 M ,求点 M 的轨迹方程.6交轨法如动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程,也可以解方程组先求出交点的参

22、数方程,再化为一般方程.x 2y 2例 7已知 MN 是椭圆1 中垂直于长轴的动弦,A 、 B 是椭圆长轴的两个端a 2b 2点,求直线 MA 和 NB 的交点 P 的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 1: 利用点的坐标作参数 令 M x1,y1 ,就N x1,y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 Aa,0,B a,0. 设 AM 与 NB 的交点为Px, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 A, M , P 共线,所以yy1由于 N , B, P 共线,所以yy1xax1axax

23、1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2y 2x12y12b 2 a2x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相乘得1, 而1 即y121代入可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2a2x 2a 2a 2b 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 2b2x 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得, 即交点 P 的轨迹方程为1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2a 2a2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 2: 利用角作参数 设 M a cos,b sin ,就N

24、 a cos,b sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以ybsin,ybsin两式相乘消去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xaa cosaxaa cosax 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即可得所求的 P 点的轨迹方程为1.a 2b 2练习：10两条直线 axy10和 xay10a1 的交点的轨迹方程是 .总结归纳1. 要留意有的轨迹问题包含肯定隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取值范畴由曲线和方程的概念可知,在求曲线方程时肯定要留意它的“完备性”和“纯粹性”,即轨迹如是曲线的一部分,应对方程注明x 的取值范畴,或同时注明x, y 的

25、取值范畴.2. “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系,求“轨迹”时第一要求出“轨迹方程”, 然后再说明方程的轨迹图形,最终“补漏”和“去掉增多”的点,如轨迹有不同的情形,应分别争论,以保证它的完整性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习参考答案22 x2y111648可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解：设 P 点的坐标为 x, y ,就由方程x22 y24 ,得 y4x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于直线 l 与椭圆交于两点 A、 B ,故 2x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 A、 B 两点的坐标分别为Ax,

26、4x , B x,4x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PA0,4xy, PB0,4x2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题知PA PB1 即 0,4x2y 0,4x2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y24x2221 即 x22 y26 所以点 P 的轨迹方程为 xy1 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23D 【解析】 在长方体63ABCDA1 B1C1D1

27、中建立如下列图的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间直角坐标系,易知直线AD 与 D1C1 是异面垂直的两条直线,过直线 AD 与 D1C1 平行的平面是面ABCD,设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在平面 ABCD 内动点M x, y满意到直线AD 与 D1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的距离相等,作MM 1MP 于 M 1 , MNCD 于 N ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NPD1C1 于 P , 连 结 MP , 易 知 MN平 面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2C D D1C1,M P1 D

28、,C就有M1MM, P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| y |2x2a 2 其中 a 是异面直线 AD 与 D C 间的距离 ,即有 y2x2a ,因此动点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11M 的轨迹是双曲线,选D.4. A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 解 设M x, y ,A x1, y1 , B x2 , y2 x112y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x1x22 x, y1y22 y ,由 22 y 2m, x 2y 2m22A P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相减并同除以 x1x2 得

29、MBOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_精选范本 ,供参考；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y21 x1x21 x ,而 ky1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2 yy2 yABxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kPMy2 ,又由于 PMAB 所以x2k ABk PM1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 xy2 yx21 化简得点 M 的轨迹方程 xy 22x4 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 先用点差法求出 2 x

30、y10 ,但此时直线与双曲线并无交点,所以这样的直线不存在.中点弦问题,留意双曲线与椭圆的不同之处,椭圆不须对判别式进行检验,而双曲线必需进行检验.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 解：设Q x,y ,就 QA 1x,y, QB1x, 4y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 QA QB4 1x,y 1x, 4y41x1xy4y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 x2 y2 232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以点 Q 的轨迹是以 C 0, 2 为圆心,以 3 为半径的圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点

31、 P 是点 Q 关于直线 y2 x4 的对称点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_动点 P 的轨迹是一个以C0 x0, y0 为圆心,半径为3 的圆,其中C0 x0,y0 是点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C0, 2 关于直线 y2 x4 的对称点, 即直线 y2 x4 过 CC0 的中点, 且与 CC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_垂直,于是有y0221x002y0即x040x08可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y0222x0042y02x0180y02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故动点 P 的轨迹方程为

32、x8 22 y29 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 解： 1 解法一 : 直线 l 过点 M0,1 ,设其斜率为k , 就 l 的方程为ykx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记 A x1 , y1 、Bx2 , y2 , 由题设可得点A 、 B 的坐标x1,y1 、 x2 , y2 是方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykx1y 2的解x 214,2kx1x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将代入并化简得 , 4k 2 x22kx30 , 所以y1y 24k于是8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OP1 OA2OB x1x2 , y12y2 2k,4k 244.k 24k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 P 的坐标为x x, y, 就yk4k 244k 2,消去参数 k 得 4 x 2y2y0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k