2022年高中数学选修-完整知识点 .docx

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1、精品_精品资料_1、不等式的基本性质对称性 abba高中数学选修 4-5 学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_传递性ab,bcac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可加性 abacbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同向可加 性 a异向可减 性 ab, cdb, cdacbdacbd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可积性 aab, c0b, c0acbcacbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 同向正数 可乘性 ab0, cd0acbd可编辑资料 - - - 欢迎下载

2、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_异向正数 可除性 ab0,0cdab cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平方法就开方法就ab0annab0abn nN ,且n1n b nN ,且n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_倒数法就 ab011 ; ab011abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、几个重要不等式a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2b22ab a,bR, 当且仅当 ab 时取 号 .变形公式： ab.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品_精品资料_ 基本不等式ababa, bR 2,当且仅当 ab 时取到等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变形公式：ab2ab2abab.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用基本不等式求最值时积定和最小,和定积最大,要留意满意三个条件 “一正、二定、三相等”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三个正数的算术几何平均不等式abc 33 abc a、 b、cR 当且仅当 abc 时取到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

4、a2b2c2abbcca a, bR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 abc时取到等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a3b3c33abc a0, b0, c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 abc时取到等号 .ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如ab如ab0, 就a bb a0, 就ab2 当仅当 a=b 时取等号2 当仅当 a=b 时取等号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ bbm1an aambna,其中 abb0, m0, n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：

5、小于 1 同加就变大,大于1 同加就变小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当a0时,xax2a2xa或xa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xax2a2axa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_肯定值三角不等式a babab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、几个闻名不等式11平均不等式：2aba2abb ,（ a,bR,当且仅当 ab 时取 号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

6、品_精品资料_2ab22即调和平均几何平均算术平均平方平均 .变形公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ababa2b2;a 2b2ab2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222幂平均不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a 2.a 21 aa.a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n12nn二维形式的三角不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2x 2y 2 xx 2 yy 2 x , y , x, yR.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112212121122二维形式的

7、柯西不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2b2 c2d 2 acbd 2 a, b, c, dR. 当且仅当 adbc 时,等号成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三维形式的柯西不等式：2222222a1a2a3 b1b2b3 a1b1a2b2a3b3 .一般形式的柯西不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 2a 2.a 2 b 2b 2.b 2 a ba b.a b 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n12n1 12 2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量形式的柯西不等式：设 ,是两

8、个向量,就, 当且仅当是零向量,或存在实数k ,使k时,等号成立 .排序不等式排序原理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a1a2.an, b1b2.bn 为两组实数 .c1,c2,., cn是 b1, b2,., bn 的任一排列,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1bna2bn 1.anb1a1c1a2c2.ancna1b1a2b2.anbn.反序和乱序和次序和 ,当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且仅当 a1a2.an 或 b1b2.bn 时

9、,反序和等于次序和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_琴生不等式 : 特例 : 凸函数、凹函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设定义在某区间上的函数f x, 对于定义域中任意两点x1, x2 x1x2 , 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1x2 2f x1 f x2 或2f x1x2 2f x1 2f x2 . 就称 fx为凸或凹函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、不等式证明的几种常用方法常用方法有： 比较法作差,作商法 、综合法、分析法.其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法 等.常见

10、不等式的放缩方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_舍去或加上一些项,如a1 23a1 2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_242将分子或分母放大缩小 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 11,11,2212,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2k k1k 2kk12kkkkkk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 kN * , k1) 等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kkk15、一元二次不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

11、资料_求一元二次不等式ax2bxc0或 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0,b 24ac0 解集的步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一化：化二次项前的系数为正数.二判：判定对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：依据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法： 穿根法 .分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿奇穿偶切 ,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集 .7、分式不等式的解法：先移项通分 标准化,就可编辑资料 -

12、- - 欢迎下载精品_精品资料_f x0f xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x“或 ”时同理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0f xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xg x0规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa a0f xa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xaa0f xa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f

13、x0f xg xgx0或f x gx 2f x0f xg xg x0f x gx2f x0g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg xf x0g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时,a f xag xf xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a1时,a f xag x f xgx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

14、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：依据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时,log af xlog ag xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a1时,logaf xlog ag xf x0g x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：依据对数函数的性质转化. 11、含肯定值不等式的解法：f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

15、品资料_定义法： aaa0.a a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平方法：f xgxf 2 xg 2 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同解变形法,其同解定理有： xaaxa a0; xaxa或xa a0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xgxgxf xg x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xg xf xg x 或f xg x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：关键是去掉肯定值的符号

16、.12、含有两个或两个以上肯定值的不等式的解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：找零点、划区间、分段争论去肯定值、每段中取交集,最终取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解形如ax 2bxc0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类争论,分类争论的标准有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论 a 与 0 的大小.争论与 0 的大小.争论两根的大小.14、恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式ax2bxc0 的解集是全体实数或恒成立的条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

17、资料_当 a0 时b0, c0;当 a0 时a0 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式ax2bxc0 的解集是全体实数或恒成立的条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时b0, c0;当 a0 时a0 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xa 恒成立f xmaxa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa 恒成立f x maxa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xa 恒成立f xmina;可编

18、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa 恒成立f xmina.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判定： 法一：取点定域法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于直线AxByC0 的同一侧的全部点的坐标代入AxByC 后所得的实数的符号相同.所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以,在实际判定时,往往只需在直线某一侧任取一特别点 x0 , y0 如原点,由Ax0By0C 的正负即可编辑资料 - -

19、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可判定出AxByC0 或0 表示直线哪一侧的平面区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：直线定边界,分清虚实.选点定区域,常选原点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二： 依据AxByC0 或0 ,观看 B 的符号与不等式开口的符号,假设同号,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AxByC0 或0 表示直线上方的区域.假设异号,就表示直线上方的区域.即：同号上方,异号下方.二元一次不等式组所表示的平面区域：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式组表示的平面区

20、域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.利用线性规划求目标函数zAxBy A, B 为常数的最值： 法一：角点法：假如目标函数zAxBy x、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标的最值存在,就这些最值都在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应z 值,最大的那个数为目标函数z 的最大值,最小的那个数为目标函数z 的最小值法二：画移定求：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一步,在平面直角坐标系中画出可行域.其次步,作直线l0 :AxBy0 ,平移直线l 0 据可行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

21、精品资料_域,将直线l 0 平行移动确定最优解.第三步,求出最优解 x,y) .第四步,将最优解x, y 代入目标函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 zAxBy 即可求出最大值或最小值.其次步中 最优解的确定方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用 z 的几何意义：A zyx,B Bz为直线的纵截距 .B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 B0, 就使目标函数 zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处,z 取得最大值, 使直线的纵截距最小的角点处,z 取得最小值.假设 B0, 就使目标函数 zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处,z

22、取得最小值, 使直线的纵截距最小的角点处,z 取得最大值 .常见的目标函数的类型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“截距”型：zAxBy;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“斜率”型： zy 或 z xy b ;xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“距离”型：z x2y2 或zx2y2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z xa 2 yb2 或 zxa2 yb 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在求该 “三型” 的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义 求解,从而使问题简洁化.可编辑资料 - - - 欢迎下载