2022年高中数学解析几何专题之椭圆 .docx

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1、精品_精品资料_圆锥曲线第 1 讲 椭圆【学问要点】 一、椭圆的定义1. 椭圆的第肯定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面内到两个定点F1 、 F2 的距离之和等于定长2a 2aF1 F2的点的轨迹叫椭圆,这两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距.注 1： 在椭圆的定义中,必需强调：到两个定点的距离之和记作2a 大于这两个定点之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间的距离F1F2记作2c ,否就点的轨迹就不是

2、一个椭圆.详细情形如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当2 a2c 时,点的轨迹是椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当2 a2c 时,点的轨迹是线段F1F2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当2 a2c 时,点的轨迹不存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 2： 假设用 M 表示动点,就椭圆轨迹的几何描述法为MF1MF22 a 2

3、a2c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1F22c ,即MF1MF2F1F2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 3：但凡有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第肯定义求解,即隐含条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_件： MF1MF22 a 千万不行遗忘.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 椭圆的其次定义：平面内到某肯定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e 0e1 的点的轨迹叫做可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

4、精品资料_椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、椭圆的标准方程（1） 焦点在 x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是yx2y222aby2x2a2b 21 ab1ab0 .0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 1：假设题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点到底是在x 轴仍是在 y 轴,主要看长半轴跟谁走.长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴.长半轴跟 y 走,椭圆的焦点在y 轴.（1） 注 2： 求椭圆的方程通常采纳待定系数法.假设题目已指明椭圆的焦点的位置,就可

5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2设其方程为ay122b ay22b0 或 ax122b ab0 .假设题目未指明椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的焦点到底是在 x 轴上仍是 y 轴上,就中心在坐标原点的椭圆的方程可设为mx2ny21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m0 , n0 ,且 mn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、椭圆的性质21x2y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以标准方程 ab ab0

6、为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 范畴：axa ,byb .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 对称性：关于 x 轴、 y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 顶点：左右顶点分别为A1a,0 ,A2 a,0 .上下顶点分别为B10,b ,B20,b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 长轴长为2a ,短轴长为2b ,焦距为2c .可编辑资

7、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（5） 长半轴 a 、短半轴 b 、半焦距 c 之间的关系为 aa 2b 2c2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x（6） 准线方程：c .b 2（7） 焦准距： c .ce（8） 离心率：a 且 0e1 .e越小,椭圆越圆. e越大,椭圆越扁.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（9） 焦半径：假设P x0 , y0 x22为椭圆 ay122b在第一象限内一点,就由椭圆的其次定义,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

8、_有 PF1aex0 ,PF2aex0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 22（10） 通径长：a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 1： 椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离.以椭圆的右焦点F2 c,0 和右可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a 2xca 2c2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准线 l ：c 为例,可求得其焦准距为ccc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 2： 椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的

9、直线所构成的弦.椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦.通径是椭圆的全部焦点弦中最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_短的弦.设椭圆的方程为x2y 2a 2b21ab0 ,过其焦点F2 c,0且垂直于x 轴的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交该双曲线于A 、 B 两点不妨令点 A 在 x 轴的上方,就Ac, b 2a,Bc,b 2a ,于是该可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB椭圆的通径长为b b 2b 222a aa .可编辑资料 -

10、- - 欢迎下载精品_精品资料_四、关于椭圆的标准方程,需要留意的几个问题1关于椭圆的标准方程,最基本的两个问题是：其一,当题目已指明曲线的位置特点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并给出了“特点值” 指 a 、 b 、 c 的值或它们之间的关系,由这个关系结合c2a 2b2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们可以确定出 a、 b 、 c 的值时,我们便能快速精确的写出椭圆的标准方程.其二,当题目已给出椭圆的标准方程时,我们便能精确的判定出曲线的位置特点,并能得到a 、 b 、c 的值.（2） 椭圆的标准方程中的参数a 、 b 、 c 是椭圆所固有的,与坐标

11、系的建立无关.a 、 b 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2c 三者之间的关系： ca 2b 2 必需坚固把握.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 求椭圆的标准方程,实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数 a 、 b .依据题目已知条件,我们列出以 a 、 b 为未知参数的两个方程,联立后便可确定出 a 、 b 的值.特殊需要留意的是：假设题目中已经指明椭圆的焦点在 x 轴或 y 轴上,就以 a 、 b 为未知参数的方程组只有一个解,即 a 、 b 只有一个值.假设题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上,就以 a 、 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

12、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为未知参数的方程组应有两个解,即a 、 b 应有两个值.（4） 有时为便利解题,中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为22mxny1 ,但此时 m 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 必需满意条件： m0 , n0 ,且 mn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、点与椭圆的位置关系2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 Px0, y0 与椭圆 ab 21ab 0 的位置关系有以下三种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x0

13、y01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 a2b2,就点Px0, y0 在椭圆上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x0y01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 a2b2,就点Px0, y0 在椭圆外.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22220y01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 ab,就点Px0, y0 在椭圆内.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题选讲】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 1：椭圆定义的应用1. 平面内存在一动点 M 到两个定点F1 、 F2 的

14、距离之和为常数2a 2aF1F2,就点 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的轨迹是A.圆B.椭圆C.线段D.椭圆或线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由题意知,MF1MF 22 aF1F2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 2aF1F2时,点 M 的轨迹是椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 2aF1F2时,点 M 的轨迹是线段F1F2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故点 M 的轨迹是椭圆或线段可编辑资料

15、- - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知圆 C ： x12y 236 ,点 A1,0 , M 是圆 C 上任意一点,线段AM 的中垂线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l 和直线 CM 相交于点 Q ,就点 Q 的轨迹方程为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 圆 C ： x1 2y236 的圆心坐标为C 1,0,半径 r6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连接 QA ,由 l 是直线 AM 的中垂线知, QMQA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QAQC而 AC2 ,QMQCCMr6 QAQCAC可编辑资料 - - - 欢迎下

16、载精品_精品资料_于是点 Q 的轨迹是以A1,0 , C1,0 为左右焦点的椭圆,其中2a6 , 2c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3 , c1 , b 2a 2c 2918可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又该椭圆的中心为坐标原点x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故点 Q1的轨迹方程为98可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知点 A3 ,0 ,点 Q 是圆x2y24 上的一个动点,线段AQ 的垂直平分线交圆的半可编辑资料

17、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_径 OQ 于点 P ,当点 Q在圆周上运动时,点P 的轨迹方程为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Oxy22解： 圆：4 的圆心坐标为O0,0 ,半径 r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连接 PA ,由 l 是直线 AQ 的垂直平分线知,PQPA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PO而 OAPAPOPQOQr23 ,POPAOA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是点 P 的轨迹是以O0,0 , A3,0 为左右焦点的椭圆,其中2 a2 , 2c3

18、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c3b 2a2c2131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 ,2,44 0,3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又该椭圆的中心为 OA 的中点x3 22故点 P 的轨迹方程为2OA0,3 22y1143 ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 此题点 P 的轨迹方程虽是椭圆,但该椭圆不关于坐标原点对称,而是关于点2对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称,其方程可由把椭圆x2y12143沿 x 轴向右平移了2个单位得到.可编辑资料 -

19、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x4. 方程2y2x2 y2x y2表示的曲线是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段 x1x2y y122220,12解： 由 2xy22 x2 y2xy2,有2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这说明,点P x,y 到定点F 1,1 的距离与它到定直线l ： xy 20 的距离之比等于常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20数 2212 由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 , 点P x,

20、 y的 轨 迹 是 椭 圆 , 即 方 程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2y22 x2 y2xy2表示的曲线是椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1123FFPFy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 椭圆的左、 右焦点分别为1 、 2 ,点 P 在椭圆上. 假设线段1 的中点在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴上,就PF1是 PF2的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

21、精品资料_A.7 倍B.5 倍C.4 倍D.3 倍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xy122222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 在椭圆 123中, a12,b3, cab1239可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a23,b3 ,c3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 F13,0, F2 3,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又线段PF1 的中点在 y 轴上,而 O 是线段F1F2 的中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF2 y轴于是 PF2x轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

22、资料_法一在RtPF2F1中,2PF12PF22F1F2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 PFPF PFPF F F4c4936可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由椭圆的定义,有PF1PF22a22343 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1PF23633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_43PF433 373PF43733可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12联立、得,22,2273PF127可编辑资料

23、- - - 欢迎下载精品_精品资料_PF2故32,即b23PF1是 PF23的 7 倍.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二PF2a2 32 ,而PF1PF22a22343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF14337322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_73PF127可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF2故32,即PF1 是PF2的 7 倍.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设 F1 、 F2 为椭圆9

24、4的两个焦点, P 为椭圆上的一点.已知P , F1 , F2 是一个PF1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直角三角形的三个顶点,且x 2y 2PF1PF2 ,就PF2=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 在椭圆 9124中, a9,b 24, c2a2b 2945可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3, b2, c5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 F1 5 ,0 ,F PFF2 905,022PFPFF F 24c24520可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当12时,1212可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_又PF1PF22 a236 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2PF1PF2 PF1PF2 2 PF12222PF2 362082可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 PF1PF2 PF1PF2 4 PF1PF236484可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 PF1PF2PF1PF22 PF624可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1联立、得,2PF142, PF2642可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是此时当

26、PF22PF2F190 时,2PF12PF22F1F2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PFPF PFPF F F 24c24520可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1而 PF1PF12PF2PF212122a236 2010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立、得,PF1 PF2于是此时PF16PF1 1434373 6103272281463 ,PF2614433可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 PF2的值为 2 或 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 2：求椭圆的方程2x2y1可编辑资料 - - - 欢迎

27、下载精品_精品资料_7. 1假设方程5kk3x2y21表示椭圆,就 k 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设方程 5kk3表示焦点在 x 轴上的椭圆,就 k 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y215kk3yk 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设方程x2解：1方程 5k表示焦点在2y1k3表示椭圆轴上的椭圆,就的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5k0k305kk33k4或4k5x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 k3,44,5x2时,方程 5ky21k3表示

28、椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 方程 5k5k0k305kk31k3表示焦点在 x 轴上的椭圆3 k4x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 k3,4时,方程 5k1k3表示焦点在x 轴上的椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2（3） 方程 5ky12k3表示焦点在y 轴上的椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5k0k30k35k4k5x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 k4,5时,方程 5k1k3表示焦点在y 轴上的椭圆.可编辑资料

29、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22228. 已知椭圆 4y12m的焦距为 2,就 m =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由题意知, 2c2c1于是 abc1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当椭圆4m的焦点在 x 轴上时, a4 , b2m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是由式,有 4m1m3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2当椭圆4y12m的焦点在y 轴

30、上时, a 2m , b 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是由式,有 m41m5故 m 的值为 3 或 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3 倍,并且经过点P3,0 ,就该椭圆的方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由题设条件知, 2a32ba3b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当椭圆的焦点在x2 x 轴上时,设其方程为ay1222b ab0 可编辑资料 - - - 欢迎下载

31、精品_精品资料_90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就由该椭圆过点P3,0 ,有a2b 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2联立、得, a9 , b 2x21y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是此时该椭圆的方程为当该椭圆的焦点在9y 轴上时,设其方程为y2x2a2b 21 ab0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_091可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就由该椭圆过点P3,0 ,有a2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2联立、得,b9 , a 281可编辑资料 - - - 欢迎下载精