2022年直线与方程知识点总结 .docx

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1、精品_精品资料_直线与方程学问点总结一、直线基本学问1、直线的倾斜角与斜率（1） 直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：. 与 x 轴相交;.x 轴正向;. 直线向上方向 . 直线与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为 00 . 倾斜角的范畴 001800 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_090 , k0 .90180 ,k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为90 0的直线斜率不存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_经过两点P

2、x, y , P x, y （ xx ）的直线的斜率公式是 ky2y1 （ xx ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11122212x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率.2、两条直线平行与垂直的判定（1） 两条直线平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于两条不重合的直线l1,l 2,其斜率分别为k1, k2 ,就有l1 / /l 2k1k2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,当直线l1,l 2的斜率都不存在时,l1与l 2

3、的关系为平行.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 两条直线垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如两条直线l1,l 2 斜率存在,设为k1, k2 ,就 l1l 2k1 k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：两条直线 l1,l2 垂直的充要条件是斜率之积为 -1 ,这句话不正确.由两直线的斜率之积为 -1 ,可以得出两直线垂直, 反过来, 两直线垂直, 斜率之积不肯定为 -1 .假如 l1, l2 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 时, l1与l2 相互垂直.二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性可

4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点斜式yy1k xx1 x1,y1 为直线上肯定点,不包括垂直于 x 轴的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜截式ykxbk 为斜率k 为斜率, b 是直线在y轴上的截距不包括垂直于 x 轴的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点式yy1xx1 x1, y1, x2, y2 是直 线 上不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2y1x2x1两定点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

5、下载精品_精品资料_其中 x1x2, y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_截距式xy1aba 是直线在 x 轴上的非零截距, b 是直线在 y 轴上的非零截距不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式AxByC0A , B , C 为系数无限制,可表示任何位置的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 A, B不同时为 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：过两点P1 x1,y1 , P2 x2 ,y2 的直线是否肯定可用两点式方程表示？

6、（不肯定. （1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x1x2且y1y2 ,直线垂直于 x 轴,方程为 xx1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）如 x1x2且y1y2 ,直线垂直于 y 轴,方程为 yy1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）（ 3）如 x1x2且y1y2 ,直线方程可用两点式表示）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2

7、、线段的中点坐标公式xx1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如两点P1 x1,y1, P2 x2 , y2 ,且线段P1, P2的中点 M 的坐标为x, y ,就y2y1y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.过定点的直线系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜率为 k 且过定点 x0 , y0 的直线系方程为 yy0kxx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 过 两 条 直 线l1 :A1xB1 yC10 ,l2: A2xB2yC20 的交 点 的 直 线系 方程 为可编辑资料

8、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1xB1 yC1 A2xB2 yC2 0 （ 为参数）,其中直线 l 2 不在直线系中 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、直线的交点坐标与距离公式1. 两条直线的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设两条直线的方程是l1 :A1xB1 yC10 ,l2: A2 xB2 yC20 两条直线的交点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就是方程组A1x A2 xB1 yC1B2 yC20的解,0可编辑资料 - - -

9、 欢迎下载精品_精品资料_如方程组有唯独解,就这两条直线相交,此解就是交点的坐标.如方程组无解,就两条直线无公共点,此时两条直线平行.反之,亦成立.2. 几种距离（1） 两点间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面上的两点P x, y , P x, y 间的距离公式 P P xx 2 yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1112221 22121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,原点O0,0 与任一点Px, y 的距离 OPx2y 2可编

10、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 点到直线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点P x, y 到直线l : AxByC0 的距离 dAx0By0C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00A2B2（3） 两条平行线间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条平行线（留意：l1 : AxByC10 ,l 2: AxByC 20 间的距离 dC2C1A2B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式. 求两条平行线间的距离时,必需将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式运算.）补

11、充：1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角（2）已知斜率 k 的范畴,求倾斜角的范畴时,如 k 为正数,就的范畴为 0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的子集,且 k=tan为增函数. 如 k 为负数,就的范畴为 2, 的子集, 且 k=tan为增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数.如 k 的范畴有正有负,就可所范畴按大于等于0 或小于 0 分为两部分,针对每一部分再依据斜率的增减性求倾斜角范畴.2 、利用斜率证明三点共线的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 Ax1, y1 , B x2, y2 , C x3, y3 , 如 x1x

12、2x3或k ABk AC ,就有 A、B、C 三点共线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：斜率变化分成两段,90 0 是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 两条直线位置关系的判定：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 l1 : AxByC10 ,l2: AxByC20 ,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） l1l 2A1A2B1B20（2） l1 /l 2A1B2- A2 B10, A1C 2A2C10;可编辑资料 - - - 欢

13、迎下载精品_精品资料_（3） l1与l 2重合（4） l1 与 l2 相交A1B2 - A1B2A2B1A2 B10, A1C 20A2C10;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 A2 B2 C20 时,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12l1l2l / lA1A2B1B2A1B11C1 A, B , C不为0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12A2B2C2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3l 与l 重合A1B1C1 A , B ,C不为 0）可编辑资料 - - -

14、欢迎下载精品_精品资料_12A2B2C 2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4l 与l 相交A1B1 A, B 不为 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1222A2B24. 有关对称问题常见的对称问题：（1） 中心对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如点M x1, y1 及 N x2, y2 关于P a,b 对称,就由中点坐标公式得x 2ax1y 2by1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线关于点的对称,其主要方法是：在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对

15、称点,再利用l1 / l 2 ,由点斜式得到所求直线方程.（2） 轴对称点关于直线的对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如两点P1 x1,y1 与 P2 x2, y2 关于直线l : AxByC0 对称,就线段P1P2 的中点在对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴l 上,而且连接 P1P2 的直线垂直于对称轴 l 上,由方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A x1x2 2B y1y2 C02x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2y1A1y2 x2x1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得到点P1关于 l 对称

16、的点P2 的坐标 x2, y2 （其中 A0, x1x2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情形：一是已知直线与对称轴相交.二是已知直线与对称轴平行.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：曲线、直线关于始终线 yxb 对称的解法： y 换 x ,x 换 y .例：曲线f x, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关于直线 yx2 对称曲线方程是f y2, x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 C :f x, y0

17、关于点a,b 的对称曲线方程是f 2ax,2by0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 两条直线的交角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线l 1 到l 2 的角（方向角）.直线l 1 到l 2 的角,是指直线l 1 绕交点依逆时针方向旋转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到与 l重合时所转动的角,它的范畴是0, ,当90 时tank 2k1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1221k k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条相交直线l 1 与l 2 的夹角：两条相交直线l

18、 1 与l 2 的夹角,是指由l 1 与 l 2相交所成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的四个角中最小的正角,又称为l 1 和l 2 所成的角,它的取值范畴是0,当90 ,就2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 tank 2k 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k 1k 26. 直线 l 上一动点 P到两个定点 A、B 的距离“最值问题”：1在直线 l 上求一点 P,使 PAPB 取得最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如点A

19、、B 位于直线 l 的同侧时,作点A （或点 B ）关于 l 的对称点A/ 或 B/ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连接A/B或AB/ 交l于P,就点P即为所求点. 如点 A、B 位于直线的异侧时,连接 AB 交于 l 点 P ,就 P 为所求点.可简记为“同侧对称异侧连” . 即两点位于直线的同侧时,作其中一个点的对称点.两点位于直线的异侧时,直接连接两点即可 .（ 2）在直线 l 上求一点 P 使 PAPB 取得最大值,方法与（ 1）恰好相反,即“异侧对称同侧连” 如点 A、B 位于直线 l 的同侧时,连接 AB交于 l 点P ,就 P 为所求点.可编辑资料 - - -

20、 欢迎下载精品_精品资料_ 如点A、B位于直线的异侧时,作点A （或点 B ）关于 l 的对称点A/ 或 B/ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连接A/B或AB/ 交l于P,就点P即为所求点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_322PAPB 的最值：函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴” .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 直线过定点问题： 含有一个未知参数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya1) x2a1ya x2) x1（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 x20x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎

21、下载精品_精品资料_将 x2代入 1式,得 y3 , 从而该直线过定点 2,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 含有两个未知参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3mn xm2 n yn0m3 xynx2 y10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_173xy0x令x2 y1y37可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而该直线必过定点 1 , 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 78. 点到几种特殊直线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 点Px0, y0 到 x 轴的距离 d| y0 | .可编辑

22、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 点Px0, y0 到 y 轴的距离 d| x0 | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 点Px0, y0 到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离 d| y0a | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 点Px0, y0 到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离 d| x0a | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 与已知直线平行的直线系有：可编

23、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）平行于直线 AxByC0的直线可表示为AxByC /0C /C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）平行于直线 ykxb的全部直线为 ykxb / b/b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 易错辨析：（1） 争论斜率的存在性：解题过程中用到斜率,肯定要分类争论：斜率不存在时,是否满意题意.斜率存在时,斜率会有怎样关系.（2） 留意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解.（求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见. ）（3） 直线到两定点距离相等,有两种情形：直线与两定点所在直线平行.直线过两定点的中点.（求解过某肯定点的直线方程时,较为常见. ）（4） 过点 Ax0, y0 ,平行于 x 轴的直线方程为 yy0过点 A x0 , y0 ,平行于 y 轴的直线方程为 xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载