2022年高等数学教学教案多元函数的极值及其求法2.docx

《2022年高等数学教学教案多元函数的极值及其求法2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学教学教案多元函数的极值及其求法2.docx（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -98多元函数的极值及其求法授课次序 59教学基本指标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学课题9 7 方向导数与梯度9 8 多元函数的极值及其求法教学方法当堂讲授,辅以多媒体教学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学重点方向导数与梯度教学难点方向导数与梯度的应用同济高校编 高等数学 （第 6 版） 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考教材自编教材 高等数学习题课教程作业布置高等数学 标准化作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

2、 欢迎下载精品_精品资料_双语教学课堂教学目标教学过程函数： function .切线： tangent line .切线方程：tangential equation .法线： normal line .切平面： tangent plane.法平面：normal plane .极值： extreme values 1 懂得方向导数与梯度的概念及其运算方法.2 懂得多元函数极值和条件极值的概念,把握多元函数极值存在的必要条件,3 明白二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,4 会用拉格朗日乘数法求条件极值,5 会求简洁多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简洁的应用问题.1 方向导数与梯

3、度（30min）.2 多元函数极值的概念及多元函数极值存在的必要条件（15min ）.3 二元函数极值存在的充分条件（20min ）4 条件极值（ 25min）教学基本内容97方向导数与梯度备注栏可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、方向导数现在我们来争论函数z fx y 在一点 P 沿某一方向的变化率问题设 l 是 xOy 平面上以 P0x0 y0 为始点的一条射线el coscos是与 l 同方向的单位向量射线 l 的参数方程为x x0 t cosy y0 t cost 0设函数 z fx y 在点 P0x0 y0的某一邻域UP0 内有定义Px0 t cosy0 t cos为

4、 l 上另一点且 PU P0假如函数增量fx0 t cosy0 t cos fx0y0与 P 到 P0 的距离 |PP0| t 的比值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0t cos, y0t cos tf x0, y0 当 P 沿着 l 趋于 P0即 tt0 时的极限存在就称此极限为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数f xy在点P0沿方向l的方向导数记作f即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_flimf x0t cos, y0t cosf x0, y0 lx0, y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l x0 ,y0t0t可编辑

5、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从方向导数的定义可知方向导数f就是函数 f x y在点 P0x0 y0 处沿方向 l 的变化率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l x0, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方向导数的运算定理假如函数 z fxy在点 P0x0y0可微分那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都可编辑资

6、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在且有flx0, y0fxx0, y0 cosf yx0 , y0 cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 coscos是方向 l 的方向余弦简要证明设x t cosy t cos就fx0 tcosy 0 tcos fx0y0 fx x0y0tcosfyx0y0 tcoso t所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf x0t cos, y0t cosf x0, y0f x , y cosfx , ysin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t0tx 00y 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

7、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这就证明白方向导数的存在且其值为fl x0, y0fx x0, y0 cosf y x0, y0 cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示f x0x, y0y) fx0, y0fxx0, y0xfy x0 ,y0yox2y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x t cosy t cosx2y2t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论函数 z f x y在点 P 沿 x 轴正向和负向沿 y 轴正向和

8、负向的方向导数如何.提示沿 x 轴正向时coscos0fflx沿 x 轴负向时cos1 cos0fflx例 1 求函数 z xe2y 在点 P1 0沿从点 P1 0到点 Q21的方向的方向导数对于三元函数fx y z 来说它在空间一点P0 x0 y0z0 沿 el coscoscos的方向导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为flimf x0tcos, y0t cos,z0t cos f x0,y0,z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l x0 ,y0 ,z0 t0t假如函数f x y z在点 x0 y0 z0可微分就函数在该点沿着方向elcoscoscos的方

9、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向导数为ffxx0 y0 z0cosfyx0 y0 z0cosf zx0 y0 z0cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l x0, y0,z0例 2 求 fx yz xyyz zx 在点 1 12 沿方向 l 的方向导数其中 l 的方向角分别为604560二梯度设函数 z f x y在平面区域D 内具有一阶连续偏导数就对于每一点P0 x0 y0D都可确定一个向量fx x0 y0ifyx0 y0j这向量称为函数fx y 在点 P0x0 y0 的梯度记作 grad f x0 y0即 grad fx0 y0fxx0 y0ifyx0 y

10、0 j梯度与方向导数假如函数f x y在点 P0x0 y0可微分elcoscos是与方向l 同方向的单位向量就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fl x , y f x x0, y0 cosfy x0, y0cosgrad f x0 y0 el可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00

11、| grad fx0 y0| cosgrad fx0 y0 el 这一关系式说明白函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间关系特殊当向量el 与 grad可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx0y0的夹角0即沿梯度方向时方向导数f取得最大值这个最大值就是梯度的模可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lx0, y0 |gradf x0y0|这就是说函数在一点的梯度是个向量它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向它的模就等于方向导数的最大值争论f的最大值l结论函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一样而它的模为方向导数的最大值我们知道一般说来二

12、元函数z fxy在几何上表示一个曲面这曲面被平面z cc 是常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所截得的曲线L 的方程为zf x, yzc这条曲线L 在 xOy 面上的投影是一条平面曲线L *它在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xOy 平面上的方程为fx y c对于曲线 L *上的一切点已给函数的函数值都是c所以我们称平面曲线 L* 为函数 z f x y的等值线如 f x f y 不同时为零就等值线 f x y c 上任一点 P0x0 y0处的一个单位法向量为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1f 2x , y f 2 x , y f x x

13、0, y0,f y x0 , y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x00y00这说明梯度gradfx0y0的方向与等值线上这点的一个法线方向相同而沿这个方向的方向导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f就等于 |grad fx0 y0|于是grad f x , y f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n00n这一关系式说明白函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系这说是说函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数梯度概念可以推广到三元函数

14、的情形设函数 fx y z在空间区域G 内具有一阶连续偏导数就对于每一点P0x0 y0 z0G都可定出一个向量fxx0 y0 z0ifyx0 y0 z0jfz x0 y0 z0 k这向量称为函数fx y z 在点 P0x0 y0 z0的梯度记 为 grad fx0 y0 z0即grad fx0 y0 z0 f x x0 y0 z0 ifyx0 y0 z0jfzx0 y0 z0 k结论三元函数的梯度也是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一样而它的模为方向导数的最大值假如引进曲面fx yz c 为函数的等量面的概念就可得函数f x y z在点 P0x0y0 z0 的梯度的方向与过点P0

15、的等量面fxyz c 在这点的法线的一个方向相同且从数值较低的等量面 指向数值较高的等量面而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 求 grad1x2y2例 4 设 f x y z x2 y2 z2求 grad f11 2可编辑资料 - - - 欢迎下载

16、精品_精品资料_数量场与向量场假如对于空间区域G 内的任一点M都有一个确定的数量f M 就称在这空间区域G 内确定了一个数量场例如温度场、密度场等一个数量场可用一个数量函数f M 来确定假如与点M 相对应的是一个向量F M 就称在这空间区域G 内确定了一个向量场例如力场、速度场等 一个向量场可用一个向量函数F M 来确定而F M PM iQM jRM k其中 PM Q M RM 是点 M 的数量函数利用场的概念 我们可以说向量函数 grad fM 确定了一个向量场梯度场 它是由数量场fM产生的 通常称函数 f M 为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必需留意 任意一个向量场不肯定是势场

17、由于它不肯定是某个数量函数的梯度场可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 试求数量场z间的距离m 所产生的梯度场其中常数 m0r rx2y2z2 为原点 O 与点 M x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解m xrmrr 2xmx 同理r 3 mmy yrr 3mmz zrr 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而grad mm x iy jz k记 erx iy jz k它是与 OM 同方向的单位向量就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_grad mrrm er r 2r 2rrrr

18、rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式右端在力学上可说明为位于原点O 而质量为m 质点对位于点M 而质量为l 的质点的引力这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比这引力的方向由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 M 指向原点因此数量场m 的势场即梯度场gradrm 称为引力场而函数rm 称为引力势r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_98多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数 z f x y在点 x0 y0的某个邻域内有定义假如对于该邻域内任何异于 x0 y0的点x y都有f x yfx0 y0就称

19、函数在点 x0 y0有极大值 或微小值 fx0 y0极大值、微小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点例 1 函数 z 3x2 4y2 在点 0 0处有微小值当 x y 0 0 时 z 0而 当 x y 0 0 时 z 0因此 z 0 是函数的微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 函 数 zx2y2在点 0 0处有极大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x y 0 0 时 z 0而 当 x y 0 0 时 z 0因此 z 0 是函数的极大值例 3 函数 z xy 在点 0 0处既不取得极大值也不取得微小值由于在点 0 0 处的函数值为零而在点 0 0

20、 的任一邻域内总有使函数值为正的点也有使函数值为负的点以上关于二元函数的极值概念可推广到n 元函数设 n 元函数u f P在点 P0 的某一邻域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -内有定义假如对于该邻域内任何异于P0 的点 P都有fPfP 0就称函数fP在点 P0 有极大值 或微小值 fP0定理 1必要条件 设函数 z fx y在点 x0 y0

21、具有偏导数且在点 x0 y0处有极值就有 f x x0 y0 0 fy x0 y0 0从几何上看这时假如曲面z f x y 在点 x0 y0 z0处有切平面就切平面z z0 fxx0 y0x x0f yx0 y0y y0成为平行于xOy 坐标面的平面z z0类似的可推得假如三元函数u f x yz在点 x0 y0z0具有偏导数就它在点 x0y0 z0 具有极值的必要条件为fxx0 y0 z0 0 f yx 0 y0 z0 0 fzx0 y0 z0 0仿照一元函数凡是能使fxx y 0 fyx y 0 同时成立的点x0 y0称为函数z f x y的驻点 从定理1 可知具有偏导数的函数的极值点必定

22、是驻点但函数的驻点不肯定是极值点例如函数 z xy 在点 0 0 处的两个偏导数都是零函数在 0 0既不取得极大值也不取得微小值定理 2充分条件 设函数z fxy在点 x0y0的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数又 f xx0 y0 0 fyx0 y0 0令 fxxx0 y0 A fxyx0 y0 B fyy x0 y0 C就 f x y在x0 y0处是否取得极值的条件如下(1) ACB20 时具有极值且当 A0 时有微小值(2) ACB20就函数具有极值且当 fxx 0时有微小值极值的求法第一步解方程组fxx y 0 fyx y 0求得一切实数解即可得一切驻点其次步对于每一个驻点 x0 y

23、0求出二阶偏导数的值A、B 和 C第三步定出 AC B2 的符号按定理 2 的结论判定fx0 y0是否是极值、 是极大值仍是微小值例 4 求函数 fx y x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值应留意的问题不是驻点也可能是极值点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如函数 zx2y2在点 0 0 处有极大值但0 0 不是函数的驻点因此在考虑函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的极值问题时除了考虑函数的驻点外假如有偏导数不存在的点那么对这些点也应当考虑 最大值和最小值问题假如 fx y在有界闭区域D 上连续就 f x y在 D 上必定能取得最大值和最小值这种使函数取

24、得最大值或最小值的点既可能在D 的内部也可能在D 的边界上我们假定函数在 D 上连续、在 D 内可微分且只有有限个驻点这时假如函数在D 的内部取得最大值 最小值 那么这个最大值最小值 也是函数的极大值微小值 因此求最大值和最小值的一般方法是将函数 f x y在 D 内的全部驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较其中最大的就是最大值最小的就是最小值在通常遇到的实际问题中假如依据问题的性质知道函数 fx y的最大值 最小值 肯定在 D 的内部取得而函数在 D 内只有一个驻点那么可以确定该驻点处的函数值就是函数fx y在 D 上的最大值 最小值 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

25、精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3 的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取多少时才能使用料最省从这个例子仍可看出在体积肯定的长方体中以立方体的表面积为最小例 6 有一宽为24cm 的长方形铁板把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽问怎样折法才能使断面的面积最大？二、条件极值拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值例如求表面积为a2

26、而体积为最大的长方体的 体积问题设长方体的三棱的长为x y z就体积 V xyz又因假定表面积为a2所以自变量x y z仍必需满意附加条件2xyyz xz a2这个问题就是求函数V xyz 在条件 2xyyz xz a2 下的最大值问题这是一个条件极值问题对于有些实际问题可以把条件极值问题化为无条件极值问题例如上述问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由条件 2xyyzxza2解得 za 22xy于是得 Vxy a 22xy 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只需求 V 的无条件极值问题2xy2xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在许多情形下将条件极

27、值化为无条件极值并不简洁需要另一种求条件极值的专用方法这就是拉格朗日乘数法现在我们来寻求函数z fx y 在条件x y 0 下取得极值的必要条件假如函数z fx y 在x0 y0取得所求的极值那么有x0 y0 0假定在 x0 y0的某一邻域内fx y与x y 均有连续的一阶偏导数而yx0 y0 0由隐函数存在定理由方程xy 0 确定一个连续且具有连续导数的函数yx 将其代入目标函数z f xy 得一元函数z f xx于是 xx0 是一元函数z f xx的极值点由取得极值的必要条件有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dzdx x x0fxx0, y0f yx0, y0 dy x x

28、dx00即 fx x0, y0fy x0, y0 x x0, y0 0y x0, y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而函数z fx y在条件x y 0 下在 x0 y0取得极值的必要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx0, y0f y x0 , y0 xx0, y0y x0 , y00 与 x0 y0 0 同时成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f y x0, y0 fx x0, y0x x0, y0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设x , y 上述必要条件变为f

29、 y x0 , y0y x0, y0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y00x , y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00拉格朗日乘数法要找函数z f xy在条件xy 0 下的可能极值点可以先构成帮助函数Fx y f x yx y其中为某一常数然后解方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Fxx, yFy x, yx, yf x x, yf yx, y0x x, y0y x, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页

30、,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由这方程组解出x y 及就其中 x y就是所要求的可能的极值点这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形至于如何确定所求的点是否是极值点在实际问题中往往可依据问题本身的性质来判定例 7 求表面积为a2 而体积为最大的长方体的体积解 设长方体的三棱的长为xyz就问题就是在条件2xyyz xz a2 下求函数V xyz 的最大值构成帮助函数F x y z xyz2xy2yz2xza2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

31、品_精品资料_解方程组Fxx, y, zF y x, y, zFz x, y, zyz2 yxz2xxy2yz) 0z0x0得 xyz6 a 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xy2 yz2 xza2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是唯独可能的极值点由于由问题本身可知最大值肯定存在所以最大值就在这个可能的值点处取得此时 V6 a336可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学后记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载