2022年高等数学知识点总结教学提纲.docx

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1、精品_精品资料_主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数1、二次曲面x 2y 2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 椭圆锥面： a 2x 2b 2y 2z 2x 2y 2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 椭球面：1a 2b 2c 2x 2y 2z 2旋转椭球面：2ax 21a 2c 2y 2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223） 单叶双曲面：1abc 2双叶双曲面：122abc 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa 2b 24） 椭

2、圆抛物面：2b 2z双曲抛物面（马鞍面） ：z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2a5） 椭圆柱面：126） 抛物柱面： xay双曲柱面：2b 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）平面及其方程1、点法式方程： A xx0 B yy 0 C zz0 0法向量： n A, B,C,过点 x0 ,y0 ,z0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、一般式方程： Axx截距式方程：aByCzD0yz1bc可编辑资料 - -

3、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两平面的夹角： n1 A1 , B1 ,C1 , n2 A2 , B2 , C2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA1 A2B1B2C1C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCABC222222111222A AB BC C0./A1B1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212121212A2B2C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、点P0

4、 x0 ,y0 ,z0 到平面 AxByCzD0 的距离：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax0dBy0Cz0D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2B 2C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三） 空间直线及其方程A1xB1 yC 1 zD 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、一般式方程：A2 xB 2 yC 2 zD 20xx0yy0zz02、对称式（点向式）方程：mnp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方向向量： s m, n,p ,过点 x 0 ,y0 ,z

5、0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两直线的夹角： s1m1, n1,p1 , s2m2 ,n2 ,p2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosm1 m2n1 n2p1 p2222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m1n1p1m2n2p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_L1L2m1m2n1n2p1 p20. L1 / L2m1n1p1m2n2p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、直线与平面的夹角：直线与它在平

6、面上的投影的夹角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAmBnCpA 2B 2C 2m 2n 2p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_L /AmBnCp0. LABCmnp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第九章多元函数微分法及其应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、连续：limf x, yf x0 , y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x, y 2、偏导数： x0 , y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

7、_精品资料_f x x0 , y0 limx 0f x0x, y0 xf x0 ,y0 . f y x0 , y0 limy 0f x0, y0yfy x0 ,y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、方向导数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ff coslxf cos y其中,为 l 的方向角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、梯度： zf x, y,就 gradf x0 , y0 f x x0 ,y0 if y x0 ,y0 j .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

8、 - - 欢迎下载精品_精品资料_5、全微分：设 zf x, y,就 dzz dxz dyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一） 性质1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导数连续12函数可微充分条件必要条件4偏导数存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、微分法1）复合函数求导：链式法就函数连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

9、料_如 zfu,v, uu x,y, vv x,y) ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zzuzv,xuxvxz zuzvyuyvy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二） 应用1）求函数 zf x, y的极值解方程组f x0f y0求出全部驻点,对于每一个驻点 x0 , y0 ,令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Af xx x0 , y0 , Bf xy x0 , y0 , Cf yy x0 , y0

10、,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 ACB20 , A0 ,函数有微小值,如 ACB20 , A0 ,函数有极大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 ACB 20 ,函数没有极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 ACB20 ,不定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、几何应用1） 曲线的切线与法平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x曲线:y zx t y t

11、zt ,就上一点M x0 , y0 , z0 （对应参数为t0 ）处的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0切线方程为：y y0z z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x t0 y t0 z t0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法平面方程为：x t 0 xx0 y t0 yy0 z t 0 zz0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 曲面的切平面与法线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲面: F x , y , z0 ,就上一点M x0 , y0 , z0处的切平

12、面方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Fx x0,y0, z0 xx0Fy x0 , y0 , z0 yy0 Fz x0 , y0 , z0 zz00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法线方程为：x x0y y0z z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Fx x0 , y0 , z0 Fy x0 , y0 , z0 Fz x0 , y0 , z0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第十章重积分（一） 二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积可编

13、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：D2、运算：f x, y dnlimf k ,k k 0 k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 直角坐标1 xy2 xf x, ydxdyb2 x dxf x,yd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D x, yD x, ya1 y,xbx2 y,Df x, ydxdya1 xd2 y dyf x,yd x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cydDc1 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 极坐标1 2 f x, ydxdy

14、d2 f cos ,sind可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D,D1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二） 三重积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：2、运算：1） 直角坐标f x, y, z d vnklimf ,0k 1k ,k vk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y, z d vd xd yDz2 x, yz1 x, yf x, y, z dz-“ 先一后二 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f

15、 x, y, z d vbd zaDZf x, y, zdxd y-“先二后一 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 柱面坐标xcosysin,f x, y, zd vf cos,sin, zdddzzz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 球面坐标x r sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y r sinz r cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x,y, zd vfr sincos , r sinsin, rcos r 2 sin drd d可编辑资料 -

16、- - 欢迎下载精品_精品资料_（三） 应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲面 S : zf x, y, x, yD 的面积：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1Dz) 2 xz 2yd xd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第十一章曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：f x, ydsLnlimf i , i si0 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设

17、f x, yx在曲 线弧 L 上 有定义且 连续, L 的参数 方程为yt ,tt, , 其中t ,t 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,上具有一阶连续导数,且2 t 2 t 0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fL x,y d sf22t ,t tt d t,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二） 对坐标的曲线积分1、定义：设 L为 xoy 面内从A 到 B 的一条有向光滑弧,函数P x, y,

18、Q x,y 在 L 上有界,定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x,Ly d xnlimPk ,k 0k 1xk ,Q x,Ly d ynlimQ k ,k 0k 1yk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量形式：Fd rLP x,LydxQ x, yd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、运算：设 P x, y , Q x, y 在有向光滑弧 L 上有定义且连续 ,L 的参数方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x t ,y

19、t ,t : ,其中t ,t 在, 上具有一阶连续导数,且2t 2 t 0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x, ydLxQ x,y d y Pt , t tQt ,t t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两类曲线积分之间的关系：x t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设平面有向曲线弧为L ：, L 上点 x,y 处的切向量的方向角为：,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2tt2 t, cos2tt ,2 t 可

20、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就PdxQdyL P cosLQ cosds .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三） 格林公式1、格林公式：设区域D 是由分段光滑正向曲线L 围成,函数Px, y,Q x, y 在 D 上具有连续一阶偏导数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QP就有Dxyd xd yPdxLQd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

21、料_2、 G 为一个单连通区域,函数Px, y ,Q x, y在G 上具有连续一阶偏导数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QP就曲线积分xyPdxQdy 在 G 内与路径无关L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（四） 对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面,函数f x, y, z 是定义在上的一个有界函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义f x, y, z dSnlimf i ,i ,0 i 1i Si

22、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、运算：“ 一单二投三代入 ”: zz x, y , x, yDxy ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y, zd S22Dx yf x, y, z x, y1zx x, yzy x, y dxd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（五） 对坐标的曲面积分1、定义：设为 有 向 光 滑 曲 面 , 函 数P x, y, z, Q x, y, z, R x, y, z是 定 义 在上 的 有 界 函 数 , 定 义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

23、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Rx, y, zd xdyniilimR,0i 1i Si xy同理,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Px, y, zdydznlimP i ,i ,0 i 1i Si yz.Q x, y, zd zdxnilimR,0i 1i ,i Si zx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）12 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdyd

24、zQdzdxRd xdy12运算：“ 一投二代三定号 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_: zzx, y , x, yDxy , zz x, y 在Dxy上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,R x, y, z在上 连 续 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Rx, y, zd xdyR x, y, zx, ydxdy ,为上侧取“ +”,为下侧取“ -”.Dx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两类曲面积分之间的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PdydzQdzd x

25、Rdxd yPcosQcosRcosd S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中,为有向曲面在点 x, y, z 处的法向量的方向角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（六） 高斯公式1、高斯公式： 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 ,的方向取外侧 ,函数P, Q, R 在上有连续的一阶偏导数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有PQRxyzd xd y d zPd yd zQd zd xRdx d y

26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或PQxyRd x d y d z zPcosQcosRcosd S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、通量与散度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通量：向量场A P, Q, R 通过曲面指定侧的通量为：Pd yd zQdzdxRdxd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_散度：divAPxQyRz（七）1、斯托克斯公式斯 托 克 斯 公式 ： 设 光 滑 曲面的 边 界是分 段 光 滑 曲 线 ,的 侧 与的 正 向 符 合 右 手 法 就 ,P x,

27、y, z, Q x, y, z, R x, y, z 在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_RQ d y d zyzP R d zd xz xQ P d xd yxyP d xQ d yRd z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为便于记忆 ,斯托克斯公式仍可写作 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d yd zx Pd zd xy Qd xd yz RP d xQd yRd z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、环流量与旋度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_环流量：向量场 A P

28、,Q, R沿着有向闭曲线的环流量为Pd xQd yRd z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_旋度：rot AR QP,yzzRQP,xxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第十二章无穷级数（一） 常数项级数1、定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 无穷级数：un n 1u1u2u3un可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_部分和： Snnuku1k 1u2u3un ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

29、迎下载精品_精品资料_正项级数：un , un0n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n交叉级数：n 11 un , un0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 级数收敛：如lim SnnS 存在,就称级数un 收敛,否就称级数n 1un 发散n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 条件收敛：un 收敛,而n 1un 发散.n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_肯定收敛：un 收敛.n

30、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、性质：1） 转变有限项不影响级数的收敛性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 级数an ,n 1nbn 收敛,就1anbn 收敛.n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 级数an 收敛,就任意加括号后仍旧收敛.n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4） 必要条件：级数un 收敛n 1lim unn0 . （留意：不是充分条件； ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -