2022年高等数学教案定积分.docx

《2022年高等数学教案定积分.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学教案定积分.docx（44页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第五章定积分教学目的：1、懂得定积分的概念.2、把握定积分的性质及定积分中值定理,把握定积分的换元积分法与分部积分法.3、懂得变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,把握牛顿莱布尼茨公式.4、明白广义积分的概念并会运算广义积分.教学重点 ：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法.3、牛顿莱布尼茨公式.教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法.4、 变上限函数的导数.5 1定积分概念与性质一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形设函数

2、y fx在区间 a b 上非负、连续由直线 x a、x b、y0 及曲线 y f x所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似的等于小矩形的面积就全部小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值详细方法是在区间 a b中任意插入如干个分点a x0 x1 x2xn 1 xn b把 a b 分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn 1 xn它们的长度依次为x1x1 x0x2x2 x1xnxn xn 1经过每一个分点作平行于y 轴的直线段把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形在

3、每个小区间 xi 1 xi上任取一点i以 xi 1 xi 为底、 f i为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形i1 2n把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值即n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Af 1x1f 2 x2f nxn求曲边梯形的面积的精确值f i xii 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值因此要求曲边梯形面积A 的精确值只需无限的增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师

4、精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -maxx1x2x n于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0所以曲边梯形的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 变速直线运动的路程nAlimf i xi0 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设物体作直线运动已知速度vvt是时间间隔 T 1 T 2上 t 的连续函数且 vt 0运算在这段时间内物体所经过的路程S求近似

5、路程我们把时间间隔 T 1 T 2分成 n 个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti 内物体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔ti 内某点i 的速度vi 物体在时间间隔ti 内运动的距离近似为Sivi ti把物体在每一小的时间间隔ti 内运动的距离加起来作为物体在时间 间隔 T 1 T 2内所经过的路程S 的近似值详细做法是在时间间隔 T 1 T 2内任意插入如干个分点T 1t0 t 1 t2tn 1 tn T 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把 T 1 T 2 分成 n 个小段各小段时间的长依次为 t 0 t 1 t 1 t 2t n 1 t nt 1 t 1 t

6、0t 2 t 2 t 1tn tn tn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相应的在各段时间内物体经过的路程依次为S1S 2S n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在时间间隔 ti 1 t i上任取一个时刻i ti 1i ti 以 i 时刻的速度v i来代替 ti 1 t i 上各个时刻的速度得到部分路程Si 的近似值即Siv itii 1 2n于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值即n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求精确值Sv iti i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记maxt 1t 2tn

7、当0 时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Slim0 iv i ti1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数 y fx在区间 a b上非负、连续求直线 x a、x b、y 0及曲线 y f x所围成的曲边梯形的面积1 用分点 a x0 x1 x2xn 1 xn b 把区间 a b 分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 x2 x3xn 1 xn记xixi xi 1 i1 2n2 任取ixi 1 xi以 xi 1 xi 为底的小曲边梯形的面积可近似为f i xi i1 2n所求曲边梯形面积A 的近似值为nAf i xii

8、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3 记maxx1x2xn 所以曲边梯形面积的精确值为niiAlimf x0i 1设物体作直线运动已知速度vvt是时间间隔 T 1 T 2上 t 的连续函数且 vt 0运算在这段时间内物体所经过的路程S1 用分点 T1 t0 t1 t2tn 1 t n T2 把时间间隔 T 1 T 2 分成 n 个小时间段

9、 t0 t1 t1 t2 tn 1 tn记ti t i t i 1i1 2n2 任取iti 1 ti在时间段 t i 1 ti 内物体所经过的路程可近似为v i ti i 1 2n所求路程S 的近似值为nSv i tii 13 记maxt1t2tn所求路程的精确值为nSlimv i ti 0 i 1二、定积分定义抛开上述问题的详细意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义设函数 fx在 a b 上有界在a b中任意插入如干个分点a x0 x1 x2xn 1 xn b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把区间 a b 分成 n 个小区间各小段区间的长

10、依次为 x0 x1 x1 x2xn 1 xnx1 x1 x0x2 x2 x1xn xn xn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在每个小区间xi 1 xi上任取一个点i xi 1i xi作函数值f i与小区间长度xi 的乘积f ixii1 2n并作出和nSf i xii 1记maxx1x2xn假如不论对a b 怎样分法也不论在小区间xi 1 xi 上点i 怎样取法只要当0 时和 S 总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I 为函数 f x在区间 a b上的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积分记作bf xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

11、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b即f xdxanlimf ixi0 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 f x叫做被积函数f xdx 叫做被积表达式x 叫做积分变量a 叫做积分下限b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间定义设函数fx 在 a b 上有界用分点a x0 x1

12、 x2xn 1 xn b 把 a b 分成n 个小区间 x0 x1 x1 x2 xn 1 xn记xixixi 1 i1 2n任 ixi 1 xi i1 2n作和nSf i xii 1记maxx1x2xn假如当0 时上述和式的极限存在且极限值与区间 a b 的分b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法和i 的取法无关就称这个极限为函数fx在区间 a b 上的定积分记作f xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b即f xdxanlimf i xi0 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

13、 - 欢迎下载精品_精品资料_依据定积分的定义曲边梯形的面积为bAa f xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变速直线运动的路程为TS2 vt dtT1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明1 定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba f xdxba f tdtba f udu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 和f i i 1xi 通常称为f x的积分和可编辑资料 - - -

14、欢迎下载精品_精品资料_3 假如函数f x在 a b 上的定积分存在我们就说f x在区间 a b 上可积函数 fx在a b上满意什么条件时f x在 a b 上可积了？定理 1 设 f x在区间 a b上连续就 f x 在 a b 上可积定理 2 设 f x在区间 a b 上有界且只有有限个间断点就 f x 在a b上可积定积分的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间 a b 上当 fx 0 时积分ba f xdx 在几何上表示由曲线y f x、两条直线 x a、xb 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 轴所围成的曲边梯形的面积当 fx 0 时由曲线 y

15、 f x 、两条直线x a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxanlimf i xi0 i 1nlim0 i 1f i xibf x dxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 f x既取得正值又取得负值时函数 fx的图形某些部分在x 轴的上方而其它部分在x 轴的下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精

16、品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方假如我们对面积赋以正负号在 x 轴上方的图形面积赋以正号在 x 轴下方的图形面积赋以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_负号就在一般情形下定积分ba f x dx 的几何意义为它是介于x 轴、函数 f x的图形及两条直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 x a 、xb 之间的各部分面积的代数和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用定积分的定义运算定积分例 1. 利用定义运算定积分1x2dx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解把区间 0 1 分成 n

17、等份 分点为和小区间长度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xi ini1 2n 1xi1 i1 2n n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取ii ni1 2n 作积分和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nf i xii 1ni2xii 1 i 2 1ni 1 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i1n2n3 i 111 nnn3 612n 11 161 21 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于1当0 时 n所以n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x10

18、2dxnlimf i xi0 i 1limn1 16121 1nn3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利定积分的几何意义求积分:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 用定积分的几何意义求11xdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 : 函数 y 1 x 在区间 0 1 上的定积分是以y 1 x 为曲边以区间 0 1 为底的曲边梯形的面积由于以 y 1 x 为曲边以区间 0 1为底的曲边梯形是始终角三角形其底边长及高均为1所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11xdx01 1 1122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

19、_三、定积分的性质两点规定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 当 a b 时bf xdx0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 当 a b 时bf xdxaaf xdxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 1 函数的和 差的定积分等于它们的定积分的和差 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b f xagxdxbf xdxabg xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - -

20、 -第 5 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明 :ba f xgx dxlim0 in f i 1g i xi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nlimf i xi0 i 1nlimg i xi0 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxabg xdxa可编辑资料 -

21、 - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba kf xdxbk a f xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是由于ba kf xdxlim0 inkf i xi1nk limf i xi0 i 1bk a f xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质假如将积分区间分成两部分就在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxacf xdxabf xdxc可编辑

22、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个性质说明定积分对于积分区间具有可加性值得留意的是不论a b c 的相对位置如何总有等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxacf xdxabf xdxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成立 例如 当 abc 时 由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cf xdxabf xdxacf xdxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxacf xdxacf xdxbcf xdxabf xdxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

23、_精品资料_性质 4 假如在区间 ab上 f x 1 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1dxabdxbaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 5 假如在区间 a b 上 f x 0 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxa0 a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 1假如在区间 a b 上 f x gx 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba f xdxba g xdx a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是由于g x f x 0从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

24、料_bg xdxabf xdxab gxaf x dx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxabg xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 2b|f xdx|ab

25、a| f x |dx a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是由于|f x|f x|f x|所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b| f x| dxabf xdxab| f x |dxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b即 |f xdx|aba| f x |dx |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 6设 M 及 m 分别是函数fx在区间 a b上的最大值及最小值就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mbabf xdxaM ba a b可编辑资料 - - - 欢迎下载

26、精品_精品资料_证明由于m f x M所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bmdxabf xdxabMdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mbabf xdxaM ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 7定积分中值定理假如函数fx在闭区间 a b 上连续 就在积分区间 a b 上至少存在一个点使下式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxaf ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个公式叫做积分中值公式证明由性质6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

27、精品资料_mbabf xdxaM ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_各项除以b a 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1mbabf xdxMa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再由连续函数的介值定理在 a b上至少存在一点使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f b1f xdxba a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是两端乘以b a 得中值公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxaf ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积分中值公式的几何说明应留意不论 ab 积分中值公式都成立

28、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -5 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开头作直线运动在 t 时刻所经过的路程为St速度为v vt S tvt 0就在时间间隔T1 T2内物体所经过的路程S 可表示为T2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ST2ST1 及vtdtT1可编辑资料 - -

29、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T2即vt dtT1ST2 ST1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式说明速度函数 vt在区间 T1 T2 上的定积分等于vt的原函数St在区间 T1 T2 上的增量这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义了？二、积分上限函数及其导数设函数fx 在区间 a b上连续并且设x 为 a b 上的一点我们把函数fx在部分区间 a x 上的定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 22 页 - - - - - - - - -

30、 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -xf xdxa称为积分上限的函数它是区间 a b上的函数记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xaxf xdx或 xxf t dta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 1 假如函数fx 在区间 a b 上连续就函数xaxf xdx在 a b 上具有导数并且它的导数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xdx f tdtf x a x0就同理可证x fa 如 x b取x0就同理可证x fb定理 2 假如函数 fx在区间 a b 上连续就函数xaxf xdx就是 f x在a b 上的一个原函数定理的重要意义一方面确定了连续函数的原函数是存在的另一方面初步的揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿莱布尼茨公式定理 3 假如函数 F x是连续函数fx在区间 a b上的一个原函数就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxaF bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是由于F x和x所以存在常数C使xf t