2022年高等数学教案2.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -8 4多元复合函数的求导法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 zfu v而 ut vt如何求dz ？dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 zfu v 而 ux y vx y如何求z 和z ？xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 假如函数 ut及 vt都在点 t 可导 函数 z fu v在对应点 u v具有连续偏导数 就复合函数 z ftt 在点 t 可导 且有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d

2、zz dudtudtz dvv dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简要证明 1 由于 z fu v具有连续的偏导数所以它是可微的即有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dzz du uz dv v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 ut及 vt都可导因而可微即有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dudu dtdvdtdv dt dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入上式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dzz udu dt dtz dv dt vdtz du udtz dvdt vdt可编辑资料

3、- - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 dzdtz duu dtz dvv dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简要证明 2 当 t 取得增量t 时 u、v 及 z 相应的也取得增量u 、 v 及 z 由 zfu v、 ut及 vt的可微性 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zzuzvoz dutotz dvtot o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uz du udtvz dvt vdtudtzzot uvovdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zz dutudtz dvz vdtuz otvto t可编辑资料 - - - 欢迎

4、下载精品_精品资料_令 t0 上式两边取极限即得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dzzdtudu dtoz dvvdtou2v 2du 2dv 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注limlim00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t0tt0tdtdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推广 设 zf u v w ut vt wt 就 zfttt 对 t 的导数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资

5、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dzz dudtu dtz dv v dtz dw w dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述 dz 称为全导数dt2复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理 2 假如函数 u x y v x y都在点 x y具有对 x 及 y 的偏导数 函数z fu v在对应点 u v具有连续偏导数 就复合函数 z f x y x y在点x y的两个偏导数存在 且有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zzuxuxzvz

6、vxyzuzvuyvy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推广 设 zfu v w ux y vx y wx y 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zzuzv xuxvx争论zwzzu wxyuyzvzwvywy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 设 z fu v ux y vy就z？z？xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示z xzuzuxyzuz dvuyv dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设 z fu x y 且 ux y 就z？z？xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示z xfufz

7、uxxyfufuyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这里z 与xf 是不同的xz 是把复合函数 z fx y x y中的 y 看作不变而对x 的偏x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导数f 是把 fu x y中的 u 及 y 看作不变而对 x 的偏导数x别z 与f也朋类似的区yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形定理 3 假如函数 u x y在点x y具有对 x 及对 y 的偏导数 函数 v y在点 y 可导 函数 z fu v在对应点 u v具有连续偏导数 就复合函数 z f x y y 在点x y

8、的两个偏导数存在 且有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zzuzxuxyzuz dvuyv dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 设 z eusin v u xy v xy 求z 和zxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解zzuzv xuxvxeusin v yeucos v 1 exyy sinx y

9、cosxyzzuzvyuyvy2eusin v xeucos v 1 exyx sinx ycosxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 设uf x, y, zexy 2 z2而 zx2 sin y求u 和uxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解uffz2xxzx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222xexyz2zexy2z22xsin y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x12x2 sin 2 yexyx4 sin 2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u

10、ffz222yyzy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222yexyz2zexyzx2 cos y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 yx4 sinycos yexy2x4 sin 2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 设 z uv sin t 而 u et vcos t 求全导数 dzdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 dzdtzduu dtz dvzv dtt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_v et u sin t cos t etcos t ets

11、in t cos t etcos t sin t cos t例 4 设 wfxyz xyz f 具有二阶连续偏导数求w 及2wxx z解令 u xyz vxyz 就 wfu v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_引入记号f1f u,vf12f u,v同理有 f2f11f22 等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_w fuxuxufvf1vxu vyzf2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可

12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2w fyzf f1yfyzf2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x zz12z2z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f11f11xyf12yxyf2z f12yzf21yf 2xy2 zf 22xy2 zf 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注f1 zf1uu zf1vv zf11xyf

13、12f 2zf2uu zf2vv zf21xyf22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 设 ufx y的全部二阶偏导数连续把以下表达式转换成极坐标系中的形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 u 2xu 2y2u2u2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u fx yfcos sinF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 xcosysinx2y2arctan yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用复合函数求导法就得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuuxxx

14、uxuy2u cosu ysin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuuyyyuyux2u sinucos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式平方后相加得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u 2xu 2yu 21u 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再求二阶偏导数得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2uu x2xxu xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u cosu sin cosu cosu sin sin

15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2u22usincos2u sin2u 2sincosu sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 cos2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - -

16、 欢迎下载精品_精品资料_22u2u2y22 sin2sincos2u cos222u 2 sincos2u cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u22两式相加得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2u2ux2y22u1212u1222u u 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_全微分形式不变性设 z fu v具有连续偏导数就有全微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dzz du uz dv v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 z fu v具有连续偏导数而 ux y vx y也具有连续偏导数就可编辑资料 - - -

17、欢迎下载精品_精品资料_dzz dx xz dy y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zuzuxvz u dx uxv dx xu dy yzuzuyvzv dxvxvdy yv dy y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z du uz dv v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可见 无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量u、v 的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性例 6 设 z eusin v u xy v xy 利用全微分形式不变性求全微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 dzz du uz dv

18、 veusin vdueucos vdv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_eusin vydx xdy eucos vdx dy yeusin veucos vdx xeusin veucos v dyexy y sinxycosx ydxexy x sinxycosxy dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -85隐函数的求导

19、法就一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数 Fx y在点 Px0 y0的某一邻域内具有连续偏导数Fx0 y00 Fyx0 y00 就方程 Fx y0 在点x0 y0的某一邻域内恒能唯独确定一个连续且具有连续导数的函数 yfx 它满意条件 y0fx0 并有dyFxdxF y求导公式证明将 yfx代入 Fx y0 得恒等式Fx fx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等式两边对 x 求导得FxFdy0ydx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 Fy 连续 且 Fyx0 y00 所以存在 x0 y0的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得dyFxdxF y例 1 验证

20、方程 x2y210 在点0 1的某一邻域内能唯独确定一个有连续导数、当 x0 时 y1 的隐函数 yfx 并求这函数的一阶与二阶导数在x0 的值解 设 Fx y x2 y2 1 就 Fx 2x Fy 2y F0 1 0 Fy0 1 2 0 因此由定理 1 可知方程 x2 y2 1 0 在点0 1的某一邻域内能唯独确定一个有连续导数、 当 x 0 时 y 1 的隐函数 y fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dyFxdxF yx dy0y dx x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d 2 yyxyyxx yy2x2

21、1 .dy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2dx2y2y2y3y3dx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0隐函数存在定理仍可以推广到多元函数一个二元方程Fx y0 可以确定一个一元隐函数一个三元方程 Fx y z0 可以确定一个二元隐函数隐函数存在定理2设 函 数Fx y z 在 点Px0 y0 z0 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 的 偏 导 数且Fx0 y0 z00 Fzx0 y0 z0 0就方程 Fx y z0 在点x0 y0 z0的某一邻域内恒能唯独确定一个连续且具有连续偏导数的函数z fx y 它满意条件 z0fx0 y0 并有可编辑资料

22、- - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -z FxzFyxFzyFz公式的证明 将 z fx y代入 Fx y z0 得 Fx y fx y0将上式两端分别对x 和 y 求导 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FxFzz0FyFzz0 xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 Fz 连续且 Fzx0 y0 z00 所以存在点 x

23、0 y0 z0的一个邻域 使 Fz 0 于是得zFxzFyxFzyFz2例 2. 设 x2y2z24z 0 求z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解设 Fx y zx2y2z2x24z 就 Fx 2x Fy 2z 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zFxxxFz2 xx2 z42z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 z2xxz2xx 2z2x 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22z22z22z3可编辑资料 - - - 欢迎下载精

24、品_精品资料_二、方程组的情形在 一 定 条 件 下 由 个方 程组Fx y u v0 Gx y u v0可 以确 定一 对 二 元 函 数u ux y vvx y例 如 方 程xu yv0和yu xv1可 以 确 定 两 个 二 元 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yu x2y2vxx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_事实上xu yv0v x u yyux x u1yu yx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyv yx2y2xx2y2

25、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如何依据原方程组求u v 的偏导数？隐函数存在定理3设 Fx y u v、Gx y u v在点 Px0 y0 u0 v0的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数又Fx0 y0 u0 v00 Gx0 y0 u0 v00且 偏 导 数 所 组 成 的 函 数 行 列 式 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

26、 - -FFJ F,Guvu,vGGuv在点 Px0 y0 u0 v0不等于零 就方程组 Fx y u v 0 Gx y u v 0 在点 Px0 y0 u0 v0的某一邻域内恒能唯独确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u ux y v vx y 它们满意条件 u0 ux0 y0 v0 vx0 y0 并有FxFvFuFxu1F,GGxGvv1 F,GGuGxxJ x, vFu GuFv GvxJu, xFu GuFv GvFyFvFuFyu1F , GG yGvv1F ,GGuGyyJ y,vFu GuFv GvyJu, yFu GuFv Gv隐函数的偏导数 :设方程组 Fx y u v0 G

27、x y u v0 确定一对具有连续偏导数的二元函数 uux y vvx y 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导数u x偏导数uv 由方程组xv 由方程组FxFuu xGxGuuxFyFuu yFvv0,x 确定Gvv0. xFvv0,y 确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yyGyGuu Gv yv 0. y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 设 xu yv0 yu xv1 求uxvu 和vxyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u 和xv 的方程组x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

28、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uxu xyuv xyv0 xxv0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x2y20 时 解之得uxuyvvyuxv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2y2xx2y

29、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u 和v 的方程组yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x2y20 时 解之得uxvyuxuvyv0 yyuyuxv0yyvxuyv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2y2yx2y2另解 将两个方程的两边微分得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_udx udyxdu yduvdy vdxydv0xdv0即 xdu yduydv xdvvdyudyudxvdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

30、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解之得duxuyv dxx2y2xvyu dyx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dvyu x2xv dxxuy2x2yv dy y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是uxuyvuxvyu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2y2yx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_vyuxvvxuyv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2y2yx2y2例设函 数 xxu v yyu v

31、在点 u v 的某一领域内连续且有连续偏导数又 x, y0u, v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1证明方程组x xu,vy yu,v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在点 x y u v 的某一领域内唯独确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u ux y vvx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2求反函数 uux y vvx y对 x y 的偏导数解 1将方程组改写成下面的形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F x, y,u,vG x, y, u,vx xu, v0y yu, v0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就按假设J F ,Gu,vx, y0.u, v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由隐函数存在定理3即得所要证的结论2将方程组 7所确定的反函数uux y vvx y代入7即得