2022年高二数学必修二第四章圆与圆的方程知识点总结.docx

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1、精品_精品资料_第四章 圆 与 方 程 1、圆的定义： 平面内到肯定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆心,定长为圆的半径.设 M （x,y ）为 A 上任意一点,就圆的集合可以写作：P = M | |MA| = r 2、圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 1）标准方程xa2ybr2,圆心a, b,半径为 r .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00点 M x , y 与圆 xa 2 yb 2r 2 的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xa 2 yb2 r 2 ,点在圆外

2、;当 xa2 yb 2 = r 2 ,点在圆上0000当 xa 2 yb2 r 2 ,点在圆内 ;00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 2）一般方程x2y 2DxEyF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（x+D/2 2+y+E/2 2=D 2+E2-4F/4（ DE4 F0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 D2当 D当 D 2E4F22E4FE 24F0 时,方程表示圆,此时圆心为0 时,表示一个点.0 时,方程不表示任何图形.D ,E22,半径为 r1 D 22E 24F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）求圆

3、的方程的方法：待定系数法：先设后求. 确定一个圆需要三个独立条件,如利用圆的标准方程, 需求出 a, b, r.如利用一般方程,需要求出D, E, F.直接法： 直接依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度.另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置. 3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交 三种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1 ） 设 直 线l : AxByC0 , 圆 C : xa 222ybr, 圆 心 Ca, b到l的 距 离 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AaBbCd,就有 drl与C相

4、离 . drl 与C相切 . drl与C相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2B 2（ 2） 过圆外一点的切线 ：设点斜式方程,用 圆心到该直线距离 =半径,求解 k,如求得两个不同的解,带入所设切线的方程即可.如求得两个相同的解, 带入切线方程, 得到一条切线. 接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时,该直线肯定为另一条切线）3过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 ： 圆 x-a2+y-b 2=r 2 , 圆 上 一 点 为 x 0 , y0 , 就 过 此 点 的 切 线 方 程 为2x 0-ax-a+y0-by-b= r两圆的位置关系判定条件公切线条数外离 1+24

5、 条外切 1+ 23 条相交| 1- 2| 1+2 条 2内切 | 1- 2|1 条内含 | 1- 2|0 条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ,与圆心距（ d）之间的大小比较来确定.222222设圆 C1 : xa1yb1r, C:xayb 2R两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的肯定值）,与圆心距（ d）之间的大小比较来确定. （即几何法） 留意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上.已知两圆相切,两圆心与切点共线 5、.圆 C1： x2+y2+D 1x+E 1y+F 1 =0圆 C2： x 2+y 2+D 2x+E 2y+F

6、2=0联立圆 C1 的方程与圆 C2 的方程得到一个二元一次方程 如两圆相交,就该二元一次方程表示：圆C1 与圆 C2 公共弦所在的直线方程. 如两圆相切,就该二元一次方程表示：圆C1 与圆 C2 的公切线的方程. 如两圆外离,就该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线 , 得到的 切线长相等 （反之,亦成立） 6、已知始终线与圆相交,求弦的长度代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标 ,利用 两点间的距离公式 求弦长几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）代数法：直线方程与圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.利用 弦长公式 ：可编辑资料

7、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| | 1k 2. | 1- 2|（或者 | | 11. |y 1-y 2| ）求解k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 7、已知两圆相交,求公共弦的长度代数法：联立两圆的方程求出交点坐标 .利用 两点间的距离公式求弦长2代数法：联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程 （设公共弦的端点分别为A 、B ）.公共弦直线方程与任一圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.利用 弦长公式 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| | 1k. | 1- 2|（或者 | | 11. |y 1-y 2| ）求解可编辑资料 - -

8、- 欢迎下载精品_精品资料_2k几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）几何法：依据图像求解（两个直角三角形,两个未知数,解二元一次方程组） 8、圆系与圆系方程(1) 圆系: 具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系.(2) 圆系方程：（一） .圆 C1：x2+y 2+D 1x+E 1 y+F1=0圆 C2： x2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0圆系方程： x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+ x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0 -1 - （）如圆C1 与圆 C2 交于 P1、P2 点,那么,方程（）代表过P1、P2 两点的圆的方程.如圆 C1 与圆 C2

9、 交于点（一个点） ,就方程（）代表与圆1 、圆 2 相切于点的圆的方程.（二） .直线： + + 0 与圆： x2+y 2+Dx+Ey+F=0相交或相切就过它们的交点的圆系方程为：x2+y 2+Dx+Ey+F+ （ + +） 0 9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.其次步：通过代数运算,解决代数问题.第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴对称例 1、已知点 A4,1 ,B0,4 ,在直线 L： y=3x-1 上找一点

10、P,求使 |PA|-|PB|最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时 P的坐标.解：如图,yPB0,4设点 Cx,y 是点 B 关于直线L 对称点,就由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kl3 ,oPCA4,1x1得： k BC3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 BC的方程为： y1 x4 ,将其与直线 y=3x-1联立,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得： D3 , 7, 其中 D为 BC中点,利用中点坐标公式,得 C（3,3 ）

11、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2明显：|PA|-|PB|PA|- |PC| |AC|, 当且仅当 A、C、P 三点共线时, |PA|-|PB|最大.可求得：直线 AC方程为： 2 xy90 ,与 L 方程联立解得 P 的坐标为（ 2,5 ）.例 2、光线由点 C（3,3）动身射到直线 L：y=3x-1 上,已知其被直线 L 反射后经过点 A4,1 ,求反射光线方程.解：设点 B是点 C关于 L 的对称点,就由光线反射的学问易知：点B 在反射光线上, 故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由例 1 知点 C关于

12、L 的对称点为 B（0,4 ）,故直线 AB的方程易求得为： y它即为反射光线方程.直线和圆3 x4 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 自点（ 3, 3）发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y24 x4 y70 相切,求光线 L 所在直线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解：已知圆的标准方程是 x 2y 2 1.y 2 1,它关于 x 轴的对称圆的方程是 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

13、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22设光线 L 所在直线方程是： y3kx 3 .由题设知对称圆的圆心C（ 2, 2）到这条直线的距离等于 1,即 d| 5k5 |1 1k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整 理 得12k 2325k120,解 得 k 43 或k4 故 所 求 的 直 线 方 程 是43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y3 x43 ,或 y3 x3 , 即 3x4y 3 0,或 4x 3y303可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知圆 C： x2y 22x4 y40

14、,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_截得的弦 AB 为直径的圆过原点, 如存在求出直线 L 的方程,如不存在说明理由（14 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：圆 C 化成标准方程为 : x1 2的坐标为（ a,b）22 y23假设存在以 AB 为直径的圆 M ,圆心 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 CM L, kCM kL=1kCM= b2a11,即 a+b+1=0,得 b= a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

15、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 L 的方程为 yb=x,即 xy+b a=0 CM= ba3 以 AB 为直径的22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆 M 过原点, MAMBOM222MBCBCM9ba3,2222OMab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 9b2a3a 2b 22把代入得2a 2a30 , a3 或a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当a3 ,时b 25 此时直线 L 的方程为： x y 4=0.当 a21, 时b0 此

16、时直线 L 的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2为： x y+1=0故这样的直线 L 是存在的,方程为 xy4=0 或 xy+1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24已知圆 C: x1y225及直线 l : 2m1 xm1 y7 m4 . mR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）证明 : 不论m 取什么实数 ,直线 l 与圆 C 恒相交.（2）求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:1直线方程l : 2m1 xm1 y7m4 ,可以改写为m 2 xy7x y40

17、 ,所以直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_必经过直线 2 xy70和xy 40 的交点.由方程组2xy7xy40, 解得 x0y3, 即两直线1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的交点为 A3,1又由于点A 3,1与圆心C 1,2的距离 d55 ,所以该点在 C 内,故不论 m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取什么实数 ,直线 l 与圆 C 恒相交.2连接 AC ,过 A 作AC 的垂线 ,此时的直线与圆 C 相交于 B 、 D . BD 为直线被圆所

18、截可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得的最短弦长 .此时, AC5, BC5, 所以 BD225545 .即最短弦长为 45 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 直 线 AC 的 斜 率k AC1 , 所 以 直 线 BD的 斜 率 为 2. 此 时 直 线 方 程2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为: y12 x3 , 即2xy50.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5（ 12 分）已知圆 x2+y2+x 6y+m=0 和直线 x+2y

19、 3=0 交于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的圆恰过坐标原点,求实数m 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由x 2y 2x2 yx6ym0 305 y220y12m0y1y1 y2y24y12m5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 OPOQ, x1x2+y 1y2=0,而 x1x2=96y1+y 2+4y1y2=4m27P5QxO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4m27512m0 5解得 m=3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.已知圆 C：x+42+y2=4 和点 A-

20、23 , 0,圆 D 的圆心在 y 轴上移动,且恒与圆 C外切,设圆 D 与 y 轴交于点 M、N.MAN 是否为定值？如为定值,求出 MAN的弧度数.如不为定值,说明理由 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】设圆 D 的方程为 x 2 yb2r 2 r0, 那么M 0,br , N 0, br .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于圆 D 与圆 C 外切, 所以 2r16b2b 2r 24r12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又直线MA, NA

21、 的斜率分别为k MAbr,kMB23br .23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanMANbrbr23231br br 2 3 234 3r12b2r 24 3r34rMAN. 3为定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_夹角问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 06全国卷一文 从圆 x 22 xy 22 y10 外一点P3,2 向这个圆作两条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切线,就两切线夹角的余弦值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 12B 35C32D 0解 已知圆化为 x12 y1 21 ,即得圆心 C1,1 和半径 r1 .设由 P3,2 向这个圆作的两条切线的夹角为,就在切线长、半径 r 和 PC 构成的直角三角形中, cos22 , cos 52 cos213 ,应选 B .25点评： 处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径r 和 PC 所构成的直角三角形中求得的三角函数值,再用二倍角公式解决夹角2问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载