2022年高等数学公式大全2.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一. 函数的概念1用变上、下限积分表示的函数x考研数学学问点- 高等数学公 式 1 limx 0dysinx1 xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）y0 ft dt ,其中 f t 连续,就dxf x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x（ 2） y1 x连续,f t dt ,其中1 x, 2x 可导,f t公 式2 lim1unn u1lim 1v vev 0e . ulim1e .可编辑资料 - - - 欢迎下

2、载精品_精品资料_就 dyf2 x2 xf1 x1 x dx4用无穷小重要性质和等价无穷小代换5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2两个无穷小的比较数学二）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 lim f x0 , lim g x0 ,且 limf xlgx当x0 时,ex1xxx n0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）l0 ,称fx是比g x 高阶的无穷小,记以fx0 g x,称g x 是比f x 低阶的无穷小.（ 2）l0 ,称fx与 g x 是

3、同阶无穷小.sin xxcosx1n3xx 53.5.2xx 42.4.2xx3nx 2 n 112n1.nx 2n12n.n 1 x0 x2 n 10 x2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）l1 ,称fx 与 g x 是等价无穷小,记以ln 1xx2310 xnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx g xarctan xx3xx 52 n 1n 110 x2n 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3常见的等价无穷小当x0 时sin x x ,tan x x , arcsin x x ,

4、 arctanx x1cosx 1 2x ,ex1 x ,ln 1x x ,352n11x1x1 x21n1xn0 xn2.n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26洛必达法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1 x法就1（ 00型）设（ 1） lim fx0 ,limg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二求极限的方法1利用极限的四就运算和幂指数运算法就2两个准就准就1单调有界数列极限肯定存在（ 1）如xn 1xn （n 为正整数）又xnm （ n 为 正（ 2）x 变化过程中,fx , gx皆存在（ 3）lim fx A （或）gx可编辑资

5、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整数）,就n lim xnA 存在,且Am就lim f xg xA （或）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如xn 1xn （n 为正整数）又xnM （n 为正（注：假如lim fx不存在且不是无穷大量情形,就gx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整数）,就nlim xnA 存在,且AM不能得出limf 不x 存在且不是无穷大量情形）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准就2（夹逼定理）设g xf xh xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

6、如lim g xA , limh xA ,就lim f xA法就 2（型）设（ 1） lim fx,limg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3两个重要公式（ 2）x 变化过程中,fx , gx皆存在1Edited by 杨凯钧2022 年 10 月可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 32 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心

7、总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x（ 3）limA （或）g x考研数学学问点- 高等数学值,假如对于区间a, b 上的任一点x ,总有f xM ,就称M 为函数fx 在 a, b 上的最大值.同样可以定义最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x就limA （或）g x7利用导数定义求极限f x0xf x0小值m .定理3（介值定理）假如函数fx 在闭区间 a, b 上连续,且其最大值和最小值分别为M 和 m ,就对于介于m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本公式：limx 0fx0假如

8、x和M 之间的任何实数c ,在a, b上至少存在一个,使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在 得8利用定积分定义求极限fc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本公式1nk1lim 假如存在 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnk1 fn0 f xdx推论：假如函数fx 在闭区间 a, b 上连续,且f a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（ 1）第一类间断点设x0 是函数yfx 的间断点.假如f x 在间断点x0 处的左、右极限都存在,就称x0 是fx的第一类间断点.与fb 异号,就在a, b

9、 内至少存在一个点,使得f0这个推论也称为零点定理五导数与微分运算1导数与微分表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一类间断点包括可去间断点和跳动间断点.c0dc0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（ 2）其次类间断点xx（实常数） d xx1dx（实常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一类间断点以外的其他间断点统称为其次类间断sinxcosxd sin xcos xdx点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常见的其次类间断点有无穷间断点和振荡间断点.cosxsinxtanxsec2 xd cos xsin xdxd tan xs

10、ec2 xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四闭区间上连续函数的性质在闭区间a, b 上连续的函数f x ,有以下几个基本性质.这些性质以后都要用到.定理1（有界定理）假如函数fx 在闭区间 a, b 上cotxcsc2 xsecxsecx tanxcscxcscx cotxd cot xcsc2 xdxd sec xsec x tan xdxd csc xcsc x cot xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连续,就fx必在 a, b 上有界.定理2（最大值和

11、最小值定理）假如函数fx 在闭区间a, b 上连续,就在这个区间上肯定存在最M大和值最小值m .loga xd loga x lnx1x1x lna dxx lnaa0,a1a0,a1d ln x1 dx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中最大值M 和最小值m 的定义如下：axax ln a a0, a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义设fx0M是区间a, b上某点x0 处的函数daxax lnadx a0, a12Edited by杨凯钧2022 年 10 月学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 32 页 - - -

12、 - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_exexdexe xdx考研数学学问点- 高等数学t 存在,且t0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arcsinx11 x2d arcsin x11 x2dxdytt0dxt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arccosx11x2d arccos x1dx1x 2dydyd ydxd d二阶导数1可编辑资料 - - -

13、 欢迎下载精品_精品资料_arctanx11x 2d arctan x1dx1x21dxtttt dx 2dxdtdxt3dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arccotx12 1xdarc cot x1dx1x25反函数求导法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lnxx2a2x 2a 2设 yf x的 反 函 数 xg y, 两 者 皆 可 导 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d ln x x2 a21dxx2a2fx011可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lnxx2a 21x2

14、a2就gyx0fxfg y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d ln xx2a 212dx二阶导数gydgyfx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2四就运算法就f xg xfxgxf xg xfx g xf x gxfxfg y3fxfg y3fx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xfx g xf x gx g xg2 x3复合函数运算法就g x06隐函数运算法就设yy x是由方程F x, y0

15、 所确定,求y 的方法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 yfu ,ux,假如x在 x 处可导, f u在对应点u 处可导,就复合函数yfx 在 x 处可导,且有把Fx, y0 两边的各项对x 求导,把y 看作中间变量,用复合函数求导公式运算,然后再解出y的表达式（允可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dydy dudufxxdxdx对应的dyfu dufxx dx由于公式dyfu du不管u 是自变量或中间变量许显现y 变量）7对数求导法就先对所给函数式的两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都成立.因

16、此称为一阶微分形式不变性.4由参数方程确定函数的运算法就设xt ,yt确定函数yy x ,其中t ,对数求导法主要用于：幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数关 于 幂 指 函 数 yf xgx常用的一种方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3Edited by 杨凯钧2022 年 10 月可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 32 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -

17、考研数学学问点- 高等数学ye g x lnf x这样就可以直接用复合函数运算法就进行.（ 1）在闭区间a, b 上连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8可微与可导的关系fx在x0 处可微fx在x0 处可导.9求n 阶导数（n2 ,正整数）（ 2）在开区间a, b 内可导.就存在a, b ,使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先求出 y , y, 总结出规律性,然后写出y用归纳法证明.,最终f bf afba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有一些常用的初等函数的n 阶导数公式或写成fbfafbaab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

18、_（1） ye xy nex有时也写成fx0xf x0fx0xx（ 2）yax a0, a1y nax ln an01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）ysin x（ 4）ycos xy nsinxn2y ncos xn 2这里x0 相当a 或 b 都可以,x 可正可负.推论1如fx在a, b 内可导,且fx0 ,就fx在a, b 内为常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15 yln xyn1n1 . x n推论 2 如fx, g x 在 a, b 内 皆 可 导 , 且两个函数乘积的n 阶导数有莱布尼兹公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

19、_u x v xnCnnk u kx v n kxk 0fxgx ,就在 a, b 内 f xg xc ,其中c 为一个常数.三柯西中值定理（数学四不要）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中0xv xvCnkn.,k. nk .u 0xu x ,设函数fx 和 g x 满意：（ 1）在闭区间 a, b 上皆连续.（ 2）在开区间a, b 内皆可导.且gx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设u x 和 v x 都是n 阶可导.微分中值定理一罗尔定理设函数fx 满意就存在a, b 使得f bf afabg bg ag

20、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）在闭区间a, b 上连续.（ 2）在开区间a, b 内可导.（ 3）faf b就存在a, b ,使得f0二拉格朗日中值定理（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形g xx 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理.）四泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）定理1（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）设fx 在 x0 处有n 阶导数,就有公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数fx 满意f xf x0f x01.x x0f x0

21、 2.xx0 2f n x0 n.x x0 n Rn x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_精选名师 4 优秀名师 - - - - - - - - - -Edited by 杨凯钧200第5 4 页年,共1 302 页月 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -考研数学学问点- 高等数学xx0的一个微小值,称x0 为函数fx的一个微小值点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 Rn x0 xx0n余项.xx0称为皮亚诺函数的极大值与微小值统称极值.

22、极大值点与微小值点统称极值点.2必要条件（可导情形）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limnRx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x0 xx0 n前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形,依据不怜悯形取适当的n ,所以对常用的初等函数如xe , sinx, cosx, ln 1x和 1x （为实常数）等的n阶泰勒公式都要熟记.定理2（拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）设fx 在包含x0 的区间 a, b 内有 n1阶导数,在 a, b 上有n 阶连续导数,就对xa, b ,有公式设函数fx 在 x0 处可导,且x0 为 f x 的一个极值点,就fx00.我们称x

23、满意fx00 的 x0 为 f x 的驻点可导函数的极值点肯定是驻点,反之不然.极值点只能是驻点或不行导点,所以只要从这两种点中进一步去判定.3第一充分条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x f x0fx01.nx x0f x0 x x0 2f x0 x x0 n Rn x2.n.设fx 在 x0 处连续,在0xx0内可导,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其 中 Rn x间）f n 1n1.xx0 n 1 ,（在x0 与 x 之fx0不存在,或fx00 .1假如在x0, x0内的任一点x 处,有可编辑资料 -

24、- - 欢迎下载精品_精品资料_称为拉格朗日余项.上面绽开式称为以x0 为中心的n 阶泰勒公式.当x00 时,也称为n 阶麦克劳林公式.假如lim Rnx0,那么泰勒公式就转化为泰勒级n数,这在后面无穷级数中再争论.导数的应用：一基本学问1定义设函数f x在a, b 内有定义,x0 是a, b 内的某一点,就假如点 x0 存在一个邻域,使得对此邻域内的任一点x x x0 ,总有 f x f x0 ,就称 f x0 为函数 f x 的一个极大值,称 x0 为函数 f x 的一个极大值点.假如点x0 存在一个邻域,使得对此邻域内的任一点x xx0,总有 f xf x0 ,就称 f x0为函数 f

25、xfx0 ,而在 x0 , x0内的任一点x 处,有fx0 ,就 f x0为极大值,x0 为极大值点.2 假如在x0, x0内的任一点x 处,有 fx0 ,而在 x0 , x0内的任一点x 处,有 fx0 ,就 f x0为微小值,x0 为微小值点.3 假如在x0, x0内与 x0 , x0内的任一点x 处,fx 的符号相同,那么f x0不是极值,x0 不是极值点.4其次充分条件设函数fx 在 x0 处有二阶导数,且fx00 , fx00 ,就当fx00 时,f x0为极大值,x0 为极大值点.当fx00 时,f x0为微小值,x0 为微小值点.5Edited by 杨凯钧2022 年 10 月

26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 32 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -考研数学学问点- 高等数学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二函数的最大值和最小值1求函数fx在 a, b 上的最大值和最小值的方法首 先 , 求 出 f x在 a, b内 所 有 驻 点 和 不 可 导 点x1 , xk ,其次运算fx1 ,f

27、 xk , f a , f b .最终,比较fx1 , f xk , f a , f b ,其中最大者就是fx在 a, b 上的最大值M .其中最小者就是fx在 a, b 上的最小值m .2最大（小）值的应用问题第一要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间, 然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值.三凹凸性与拐点1凹凸的定义设f x在区间I 上连续,如对任意不同的两点x1 , x2 ,恒有yfx 在 a, b 内是凸的.求曲线yfx 的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数fx .其次步：求出访二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x1、x2 、xk .第三步：对于以上的连续点,检验各点两边二阶

28、导数的符号,假如符号不同,该点就是拐点的横坐标.第四步：求出拐点的纵坐标.四渐近线的求法1垂直渐近线如lim f x或 lim f xx ax a就xa 为曲线yfx 的一条垂直渐近线.2水平渐近线如lim f xb ,或 limf xbxx就yb 是曲线yfx 的一条水平渐近线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx x 112f x1f x2fx12x1 f x1f x23斜渐近线f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222就称fx 在 I 上是凸（凹）的.如limxx或limf xxxa0 , limf xa

29、xbxa0 , limf xaxbx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在几何上,曲线yfx 上任意两点的割线在曲线下（上）面,就yfx 是凸（凹）的.假如曲线yfx 有切线的话,每一点的切线都在曲就yaxb 是曲线yfx 的一条斜渐近线.五曲率（数学一和数学二）设曲 线 yfx, 它 在 点 M x, y 处 的 曲 率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线之上（下）就yfx 是凸（凹）的.k3 ,如k0 ,就称R221yk为 点 M x, y 处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

30、迎下载精品_精品资料_2拐点的定义曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点.3凹凸性的判别和拐点的求法设函数fx 在 a, b 内具有二阶导数fx ,假如在a, b 内的每一点x ,恒有fx0 ,就曲线的曲率半径,在M 点的法线上,凹向这一边取一点D , 使MDR ,就称D 为曲率中心,以D 为圆心,R 为半径的圆周称为曲率圆.不定积分一基本积分公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yfx 在 a, b 内是凹的.假如在a, b 内的每一点x ,恒有fx0 ,就曲线1x dxx 1C1,实常数1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

31、资料_6Edited by 杨凯钧2022 年 10 月可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 32 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -考研数学学问点- 高等数学1是特别娴熟的凑出微分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x dxln xCx1常用的几种凑微分形式：1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3a dxa xCa0,a1（ 1）lnaf axb dx

32、f axab d axb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ex dxexCa0n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4cosxdxsin xC（ 2）f axb xdxnaf axnb adxnb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5sin xdxcos xCa0,n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6secx2dx1dxtan xC（ 3）f ln xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2 x 17csc2 xdxdxcotxC（ 4）xf ln x d ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_si

33、n 2 x8tan x secxdxsec xCfxxfx dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9cot x csc xdxcsc xC（ 5）fxfxx2x dx1xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10tan xdxln cos xC（ 6）11cot xdxln sin xCa0,a1f a adxln af a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12sec xdxln sec xtan xCxxxf e edx fe ex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13csc xdxln csc xcot xC（7）f sinxcosxdxf sinx d sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dx14xarcsinCa0（ 8）f cosx sin xdxf cosx d cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2x 2adx1x（ 9）2ftanxsexdcxftanxdtanx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1