2022年高等数学上册-知识点总结.docx

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1、精品_精品资料_高等数学 同济第七版 上册学问点总结第一章 函数与极限一、 函数得概念1、两个无穷小得比较设且1l= 0, 称f x 就是比 gx 高阶得无穷小 , 记以f x= 0,称gx 就是比fx低阶得无穷小.(2) l 0, 称f x与gx 就是同阶无穷小.3l = 1,称f x与gx 就是等价无穷小 , 记以f x gx 2、常见得等价无穷小当x 0时sin x x, tan x x, x, x,1-cos x ,- 1 x , x , 二.求极限得方法1两个准就准就 1 、 单调有界数列极限肯定存在准就 2 、 夹逼定理 设g x f x h x如, 就 2两个重要公式公式 1公式

2、 23. 用无穷小重要性质与等价无穷小代换4. 用泰勒公式当时, 有以下公式 , 可当做等价无穷小更深层次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1x1 x22.1.n.n1 xno xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 洛必达法就定理 1设函数、满意以下条件 : 1,;(2) 与在得某一去心邻域内可导 , 且;(3) 存在 或为无穷大 , 就这个定理说明 : 当存在时 , 也存在且等于 ; 当为无穷大时 , 也就是无穷大 .这种在肯定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式得极限值得方法称为洛必达 ospital法就、型未定式定理 2设函数、满意以下条件

3、 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,;(2) 与在得某一去心邻域内可导 , 且;(3) 存在 或为无穷大 , 就注: 上述关于时未定式型得洛必达法就 , 对于时未定式型同样适用 .使用洛必达法就时必需留意以下几点 :(1) 洛必达法就只能适用于“”与“”型得未定式 , 其它得未定式须先化简变形成“”或“”型才能运用该法就 ;(2) 只要条件具备 , 可以连续应用洛必达法就 ;(3) 洛必达法就得条件就是充分得 , 但不必要 . 因此, 在该法就失效时并不能肯定原极限不存在 .6. 利用导数定义求极限 基本公式 假如存在 7、利用定积分定义求极限基本格式 假如存在 三函数得间

4、断点得分类函数得间断点分为两类 :（1） ）第一类间断点设 就是函数 y = f x 得间断点.假如 f x 在间断点处得左、右极限都存在 ,就称就是 f x 得第一类间断点.左右极限存在且相同但不等于该点得函数值为可去间断点.左右极限不存在为跳动间断点. 第一类间断点包括可去间断点与跳动间断点.（2） ）其次类间断点第一类间断点以外得其她间断点统称为其次类间断点.常见得其次类间断点有无穷间断点与振荡间断点.四闭区间上连续函数得性质在闭区间 a,b 上连续得函数 f x , 有以下几个基本性质.这些性质以后都要用到.定理1. 有界定理 假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续, 就f x 必

5、在 a,b 上有界.定理2. 最大值与最小值定理 假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续 , 就在这个区间上肯定存在最大值 M 与最小值 m .定理3. 介值定理 假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续 , 且其最大值与最小值分别为M 与m , 就对于介于 m与M 之间得任何实数 c, 在 a,b 上至少存在一个 ,使得f =c推论: 假如函数 f x 在闭区间 a,b 上连续 , 且f a 与f b 异号, 就在 a,b 内至少存在一个点 , 使得f =0这个推论也称为零点定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次章 导数与微分一. 基本概念1. 可微与可导等价 , 都

6、可以推出连续 , 但就是连续不能推出可微与可导.二. 求导公式三. 常见求导1、复合函数运算法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、由参数方程确定函数得运算法就设x = t , y =确定函数 y = y x , 其中存在 , 且 0, 就3、反函数求导法就设y = f x 得反函数 x = g y , 两者皆可导 , 且f x 0就4、隐函数运算法就设y = y x 就是由方程 F x,y = 0 所确定, 求y得方法如下 :把F x, y = 0两边得各项对 x求导, 把y 瞧作中间变量 , 用复合函数求导公式运算 ,然后再解出 y 得表达式 答应显现 y 变量 5、对数求

7、导法就 指数类型 如先两边取对数 , 然后再用隐函数求导方法得出导数 y.对数求导法主要用于 : 幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数 留意定义域. 关于幂指函数 y = f x g x 常用得一种方法 , y = 这样就可以直接用复合函数运算法就进行.6、 求n阶导数 n 2, 正整数先求出 y, y , , 总结出规律性 , 然后写出 y n, 最终用归纳法证明. 有一些常用得初等函数得 n 阶导数公式（ 1）（ 2）（ 3） ,（ 4） , 5,第三章微分中值定理与导数应用一 、罗尔定理设函数 f x 满意 1 在闭区间 a,b 上连续; 2 在开区间 a,b 内可导; 3f a =

8、f b就存在 a,b , 使得 f =0二. 拉格朗日中值定理设函数 f x 满意 1 在闭区间 a,b 上连续; 2 在开区间 a,b 内可导;就存在 a,b , 使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论1. 如f x 在 a,b 内可导, 且f x 0, 就f x 在 a,b 内为常数.推论2. 如f x, g x在 a,b内皆可导 , 且f x g x , 就在 a,b 内f x= g x+ c, 其中c为一个常数.三 、柯西中值定理设函数f x 与g x 满意: 1 在闭区间 a,b 上皆连续 ; 2 在开区间 a,b 内皆可导 ;且g x 0就存在 a,b 使得 注:

9、 柯西中值定理为拉格朗日中值定理得推广, 特别情形 g x =x 时, 柯西中值定理就就是拉格朗日中值定理. 四、泰勒公式 估值 求极限 麦克劳林 定理 1. 皮亚诺余项得 n 阶泰勒公式 设f x 在0 x 处有n 阶导数, 就有公式, 称为皮亚诺余项定理2 拉格朗日余项得 n 阶泰勒公式 设f x 在包含 0 x 得区间 a,b 内有n +1阶导数 , 在 a,b 上有n阶连续导数 , 就对x a,b , 有公式 , 称为拉格朗日余项上面绽开式称为以 0x 为中心得 n 阶泰勒公式.当 =0 时, 也称为n阶麦克劳林公式.常用公式 前8个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五.

10、 导数得应用一. 基本学问设函数f x 在处可导 , 且为f x 得一个极值点 , 就.我们称x 满意得 称为得驻点 , 可导函数得极值点肯定就是驻点 , 反之不然.极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点只能就是驻点或不行导点 , 所以只要从这两种点中进一步去判定.极值点判定方法1、 第一充分条件在得邻域内可导 , 且, 就如当时 , 当时, 就为极大值点 ; 如当时 , 当时,就为微小值点 ; 如在得两侧不变号 , 就不就是极值点、2、其次充分条件在处二阶可导 , 且, 就如, 就为极大值点 ; 如, 就为微小值点、3、泰勒公式判别法 用得比较少 , 可以自行百度 二、凹凸性

11、与拐点1. 凹凸得定义设f x 在区间I 上连续, 如对任意不同得两点 1 2 x , x , 恒有就称f x在I上就是凸 凹 得.在几何上 , 曲线y = f x上任意两点得割线在曲线下 上 面, 就y = f x就是凸 凹 得.假如曲线 y = f x 有切线得话 , 每一点得切线都在曲线之上 下 就y = fx 就是凸 凹 得.2. 拐点得定义曲线上凹与凸得分界点 , 称为曲线得拐点.3. 凹凸性得判别与拐点得求法设函数f x 在 a,b 内具有二阶导数 ,假如在 a,b 内得每一点 x, 恒有 0, 就曲线y = f x 在 a,b 内就是凹得 ;假如在 a,b 内得每一点 x, 恒有

12、 0, 就曲线y = f x 在 a,b 内就是凸得.求曲线y = f x 得拐点得方法步骤就是 :第一步: 求出二阶导数 ;其次步: 求出访二阶导数等于零或二阶导数不存在得点;第三步 : 对于以上得连续点 , 检验各点两边二阶导数得符号 , 假如符号不同 , 该点就就是拐点得横坐标 ;第四步: 求出拐点得纵坐标.三. 渐近线得求法四. 曲率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第四章 不定积分一. 基本积分表 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tgxdx ctgxdxln cosxCln sin xCdxcos2 x dxsec22xdxtgxC可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品_精品资料_secxdxln secxtgxCsin 2 xcscxdxctgxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cscxdxln cscxctgxCsecxtgxdxsecxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxa2x21 arctg xC aacsc xa xdxctgxdx axCcsc xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxx2a2dxa2x21 ln xaC 2axa1 ln axC 2aaxshxdx chxdxln achxCshxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22dxarcsin xC axa

14、dxx2a2ln xx2a 2 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2I nsin0xdx2cosn0xdxn1I n 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xa dxx22xa2xa 2ln x2a 222xa C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2a 2 dxx2a 22xln x2a 2x2a 2Cx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2x2 dxa 2x22arcsinC2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二. 换元积分法与分部积分法可编辑资料 - - -

15、 欢迎下载精品_精品资料_换元积分法(1) 第一类换元法 凑微分 :(2) 其次类换元法 变量代换 :分部积分法使用分部积分法时被积函数中谁瞧作谁瞧作有肯定规律.记住口诀 , 反对幂指三为 , 靠前就为 , 例如, 应当就是为 , 由于反三角函数排在指数函数之前 , 同理可以推出其她.三. 有理函数积分有理函数 : ,其中就是多项式.简洁有理函数 :1、“拆” ;2、变量代换 三角代换、倒代换、根式代换等 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第五章定积分一. 概念与性质1、定义:2、性质:10 条 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、基本定理变上限积分 : 设

16、, 就推广:NL 公式: 如为得一个原函数 , 就4、定积分得换元积分法与分部积分法二. 定积分得特别性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第六章定积分得应用一 平面图形得面积1、直角坐标 :2、极坐标 :二 体积1、旋转体体积 :a) 曲边梯形轴 , 绕轴旋转而成得旋转体得体积 :b) 曲边梯形轴 , 绕轴旋转而成得旋转体得体积 :柱壳法三、弧长1、直角坐标 :2、参数方程 :极坐标:第七章微分方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一 概念1、微分方程 : 表示未知函数、未知函数得导数及自变量之间关系得方程、阶: 微分方程中所显现得未知函数得最高阶导数得阶数、2、

17、解: 使微分方程成为恒等式得函数、 通解: 方程得解中含有任意得常数 , 且常数得个数与微分方程得阶数相同、特解 : 确定了通解中得任意常数后得到得解、(1) 、变量可分别得方程, 两边积分(2) 、齐次型方程, 设, 就;或, 设, 就(3) 、一阶线性微分方程用常数变易法或用公式 :(4) 、可降阶得高阶微分方程1、, 两边积分次 ;2、 不显含有 , 令, 就;3、 不显含有 , 令, 就（一） 线性微分方程解得结构1、就是齐次线性方程得解 , 就也就是 ;2、就是齐次线性方程得线性无关得特解 , 就就是方程得通解 ;3、为非齐次方程得通解 , 其中为对应齐次方程得线性无关得解 , 非齐次方程得特解、（二） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程 : 特点方程 :, 特点根:特点根实根通解（三） 常系数非齐次线性微分方程1、设特解, 其中2、设特解,其中 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载