2022年高考圆锥曲线中的定点与定值问题 .docx

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1、精品_精品资料_专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1. 【陕西省榆林市其次中学2022 届高三上学期期中】 已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为.圆过椭圆的三个顶点 . 过点且斜率不为 0 的直线与椭圆交于两点 .（）求椭圆的标准方程.（）证明：在轴上存在定点,使得为定值.并求出该定点的坐标.【答案】（1）（ 2）【解析】 试题分析：（） 设圆过椭圆的上、 下、右三个顶点, 可求得,再依据椭圆的离心率求得, 可得椭圆的方程. （）设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,运算得. 设x轴 上的 定 点 为, 可 得,由定值可得需满意,解得可得定点坐标.解得.椭圆的标准

2、方程为.（）证明：由题意设直线的方程为,由消去 y 整理得,设,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使其为定值,需满意,解得.故定点 的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1) 假设定点坐标,依据题意挑选参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点.(2) 从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意2. 【四川省成都市第七中学2022-2022 学年高二上学期半期考】 已知斜率为 k 的直线 l 经过点1,0与抛物可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2线 C : y2 px （ p

3、0, p 为常数）交于不同的两点M , N ,当 k1 时,弦 MN 的长为 415 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求抛物线 C 的标准方程.（ 2）过点 M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线 MQ 经过点定点,求出该点坐标.如不过定点,请说明理由.B 1,1,判定直线 NQ 是否过定点？如过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】（1）2y4 x ; （ 2）直线 NQ 过定点 1, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】试题分析： （ 1）依据弦长公式即可求出答案.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由

4、（ 1）可设Mt2 ,2 t, Nt2,2 t, Q t2,2 t,就 k2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 MN: 2xtt1y2tt111220 .MNtt1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理：MQ : 2xtt2y2tt 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NQ : 2xt1t2y2t1t20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由1,0在直线 MN 上t1 （ 1）.t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 1

5、,1 在直线 MQ 上2 tt22tt 20 将（ 1）代入t1t22 t1t 21 （ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将（ 2）代入 NQ 方程2xt1t2y4 t1t 220 ,即可得出直线 NQ 过定点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设Mt 2 ,2 t, Nt 2 ,2 t, Q t,2 t,就 k= 2t2t12,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21122MNt 2t 2tt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 M

6、N : y2t2xt 2即 2xtty112tt0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tt1同理： MQ : 2xtt2y112tt 20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NQ : 2xt1t2y2t1t20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由1,0在直线 MN 上由 1,1 在直线 MQ 上tt1 21,即tt2t 2tt 21（1）.t10 将（ 1）代入t1t22 t1t 21 （ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将（ 2）代入 NQ 方程2xt1t2y4 t1t 22

7、0 ,易得直线 NQ 过定点 1,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 【四川省成都市第七中学2022-2022学年高二上学期半期考】已知抛物线C : ymx m0 过点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21,2 , P 是 C 上一点,斜率为1 的直线 l 交 C 于不同两点标为2 .3（ 1）求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标.A, B （ l 不过 P 点）,且 PAB 的重心的纵坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）记直线PA, PB 的

8、斜率分别为k1, k2 ,求 k1k2 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】（1）方程为y24x ; 其焦点坐标为1,0 （ 2） kk0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12【解析】试题分析 ; （ 1）将 1,2 代入 y2mx ,得 m4 ,可得抛物线 C 的方程及其焦点坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设直线 l 的方程为 yxb ,将它代入y24 x 得 x22（ b2） xb 20 ,利用韦达定理, 结合斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率公式以及PAB 的重心的纵坐标2 ,化简可3k1k2的值.

9、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于PAB 的重心的纵坐标为2 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 y1y2yp2 ,所以 yp2 ,所以 xp1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y12y22y12x21y22x11x11x21x11x21所以 k1k2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 y1x12x21b2y22x21x11x2b2x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1x2b122b2 b1x1x22b22 bb220 .可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载精品_精品资料_所以 k1k20 .x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知椭圆C : a2b21ab0 的短轴端点到右焦点F 1,0的距离为 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求椭圆 C 的方程.（）过点 F 的直线交椭圆C 于 A,B 两点,交直线l：x4 于点 P ,如 PA1 AF ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PB2 BF ,求证：12 为定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2【答案】 1y1 ;2详见解析 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_243【解析】试题分析： （）利用椭圆的

11、几何要素间的关系进行求解.（）联立直线和椭圆的方程,得到关于 x 或 y 的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面对量的线性运算进行证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由题意直线AB 过点 F1,0,且斜率存在,设方程为ykx1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 x4代人得 P 点坐标为 4,3k,ykx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 x2y,消元得2134k 2x28k 2 x4k 2120 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_432xx8k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 A x1, y1 ,B

12、 x2 , y212,就0 且34k 2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 k12x1x2234k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一：由于PA1 AF ,所以 1PAx14 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AF1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理 2PBx24 ,且 x14 与 x24 异号,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BF所以121x21x1x14x2421x233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x11x21x11x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23 x1

13、x2x1x22x1x224k23 8k 21268k218k 234k2所以,10 .2 为定值 0 .当 x1所以,1x2 时,同理可得120 .12 为定值 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理 2PBmy23,且BFmy2my13 与my1my2my23 异号,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 12my13my2323 y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_my1my2my1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_36m2

14、0 .m9又当直线 AB 与 x 轴重合时,120 , 所以,12 为定值 0 .【点睛】此题考查直线和椭圆的位置关系,其主要思路是联立直线和椭圆的方程,整理成关于x 或 y 的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_元二次方程, 利用根与系数的关系进行求解,由于直线 AB 过点 F1,0,在设方程时, 往往设为xmy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2m0 ,可削减争论该直线是否存在斜率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 【四川省绵阳南山中学2022-2022 学年高二上学期期中考】设抛物线C ：y4 x , F 为 C 的焦点,可编辑资料 -

15、- - 欢迎下载精品_精品资料_过 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点.（ 1）设 l 的斜率为 1,求 AB .（ 2）求证： OA OB 是一个定值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 1AB8 （ 2）见解析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】试题分析： （ 1）把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出. （ 2）把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）证明：设直线l 的方程为 xky1 ,可编辑资料

16、- - - 欢迎下载精品_精品资料_xky12由 2得 y4ky40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y y14 xy24k ,y1y24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OAx1, y1 , OBx2, y2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ OA OBx1x2y1y2kx11ky21y1 y2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k2 y ykyy1y y121212 ,4k24k2143 OA OB 是一个定值 .点睛：娴熟把握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公可编辑资料 - - -

17、欢迎下载精品_精品资料_式、向量的数量积是解题的关键,考查运算才能, 直线方程设成xky1 也给解题带来了便利 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 【内蒙古包头市第三十三中2022-2022 学年高一下学期期末】已知椭圆C:221aab0,b0 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率为63, 右焦点为 2 ,0.1求椭圆 C 的方程 ;2 如过原点作两条相互垂直的射线, 与椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交于 A, B 两点, 求证: 点 O到直线 AB的距离为定值 .x23可编辑

18、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 13y 21,2O 到直线 AB的距离为定值.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】试题分析： （ 1）依据焦点和离心率列方程解出a, b, c.（ 2）对于 AB有无斜率进行争论,设出A, B 坐标和直线方程,利用根与系数的关系和距离公式运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222有 OA OB知 x1x2+y1y2=x1x2+ k x 1+m k x 2+m=1+ k x 1x2+k m x1+x2=0代入 , 得 4 m=3 k +3 原点到直线 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的

19、距离 dm1k23, 当 AB的斜率不存在时 ,x21y1, 可得 ,x13d依旧成立 . 所以点 O2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到直线的距离为定值3 .2点睛： 此题考查了椭圆的性质,直线与圆锥曲线的位置关系,分类争论思想,对于这类题目要把握解题方法设而不求,套用公式解决x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 【四川省成都市石室中学2022-2022 学年高二 10 月月考】已知双曲线221 ba ab0 渐近线方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程为 y3x , O 为坐标原点,点 M3,3在双曲线上可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品_精品资料_（）求双曲线的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）已知P, Q 为双曲线上不同两点,点O 在以 PQ 为直径的圆上,求1122OPOQ的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】（）261 .（）22.OPOQ3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】试题分析： （ 1）依据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程,代入点M的坐标求得参数即可. （ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 条 件 可 得 OPOQ , 可 设出 直 线111OP,OQ 的

21、 方 程, 代 入 双 曲 线 方 程 求 得 点P, Q 的 坐 标 可求 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22.OPOQ3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由题意知 OPOQ .设 OP 直线方程为 ykx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2126x3k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 26ykx,解得 y2,6k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ |OP |2x2y 23k 2266 k26 1k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k 23k 23k 2可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品_精品资料_由 OQ 直线方程为 y26 111 x . 以1 代替上式中的 k ,可得kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| OQ |2k6 k 21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123k 213k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_113k 23k212 k211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22OPOQ+6 1k 26 1=.k 26 1k 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 【湖南省株洲市醴陵其次中学、醴陵第四中学2022届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E:x2y23可编辑资料 - -

23、 - 欢迎下载精品_精品资料_221ab ab0 经过点 P2,1,且离心率为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求椭圆的标准方程.（）设 O为坐标原点,在椭圆短轴上有两点M,N 满意 OMNO ,直线 PM、PN分别交椭圆于 A,B探求直线 AB是否过定点,假如经过定点恳求出定点的坐标,假如不经过定点,请说明理由22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】（1） xy821 .（ 2）直线 AB过定点 Q（ 0, 2） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】试题分析： （ 1）依据椭圆的几何性质得到椭圆方程.（ 2）先由特殊情形得到结果,

24、再考虑一般情形,联立直线和椭圆得到二次函数,依据韦达定理,和向量坐标化的方法,得到结果.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1+x2=8kt 4k 2, x1x2=14t 28,4k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又直线 PA的方程为 y 1= y1x11 （ x 2）,即 y 1= kx12x1t1 （ x2）,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 M点坐标为（ 0,12k x12t）,同理可知： N（ 0,12k x22t）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x12x22可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 t = 2 时,对任意的 k 都成立,直线 AB过定点 Q（ 0, 2） . 9【广西桂林市第十八中学2022 届高三上学期第三次月考】已知椭圆Cx2: a 22y1 ab b 20 的左,右可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点分别为F , F . 过原点 O 的直线与椭圆交于M , N 两点,点 P 是椭圆 C 上的点,如 kk1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1N F1M120 ,且 F1MN 的周长为 423 .PMPN4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求椭圆 C 的方程.（

26、 2） 设椭圆在点 P 处的切线记为直线,点 F1, F2 ,O 在上的射影分别为F1AF2BA, B, D ,过 P 作的垂线交 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴于点 Q ,试问x2ODPQ是否为定值？如是,求出该定值.如不是,请说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 14y 21 ;21.m2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【 解 析 】 试 题 分 析 ;（ 1 ） 设M m, n, 就N m,n, a2b 21 , 设P x0 , y0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kyn ,kyn ,以及 kk1

27、, a24b2. 1,由 F NF M0 , 由椭圆的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_APBPxmxmAMBM114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定 义 可 得 2a2c42 3. 2, 结 合 a2b2c2. .3 , 综 合 123 可 得 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22a4, b1,可得椭圆 C 的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由（ 1）知 F3,0, F3,0,直线的方程为：x0xy y1 ,由此可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1 AF2B121. . ,又 PQ, PQ 的

28、方程为yy044 y0 x00xx0,可得 Q3x0 ,04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 216 y 241F AF B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就可得 PQ00,又 OD4,x 216 y 2PQOD1. ,故121 .ODPQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当直线平行于 x 轴时,易知F1 AF2B00F1 APQODF2B1,结论明显成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,可知ODPQ为定值 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 F1NF2M

29、 ,就F1NF1MMNF1NF2M2c2a2c42 3. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2b2c2. 3x2,综合 123 可得： a 24,b 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆 C 的方程为：y21 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由（ 1）知 F3,0, F3,0,直线的方程为：x0 xy y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： x0 x4 y0 y1240 ,所以F1 A3 x00443x04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

30、F2 B3 x0 +43x04x016 y0x016 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 216 y 2x 216 y 20000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ F AF B3x043x04163x 201 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0122x216 y22x16 y163x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PQ, PQ 的方程为 yy4 y0xx,令 y0 ,可得 x3x0, Q3x0 ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00x044可编辑

31、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223 xxx 216 y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 PQx0y 20y 200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0004164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41x 216y 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又点 O 到直线的距离为 OD,x 216y 2PQOD004x 21 .16y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0000F1AF2 B1 .ODPQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当直线平行于 x 轴时,易知F1 APQODF2B1,

32、结论明显成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,F1AF2B1 .ODPQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2【点睛】此题考查的学问点是直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,直线与圆的位置关系,是解析几何的综合应用,难度较大10. 【云南省玉溪第一中学2022 届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy 中,直线 l 与抛物线y 4x 相交于不同的A, B 两点, O为坐标原点1假如直线 l 过抛物线的焦点且斜率为1,求 AB 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）假如OA OB4 ,证明：直线 l 必过肯定点,并求出该定点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】（1） 8.（ 2）证明见解析【解析】试题分析： （）依据抛物线的方程得到焦点的坐标,设出直线与抛物线的两个交点和直线方程, 是直线的