2022年高等数学教学教案函数的极值与最大值最小值2.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -35函数的极值与最大值最小值授课次序 22教学基本指标教学课题3 5函数的极值与最大值最小值教学方法当堂讲授,辅以多媒体教学概念的引入、极限的证明与性质的教学重点函数极限的概念与性质教学难点推导同济高校编 高等数学 （第 6 版） 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考教材自编教材 高等数学习题课教程作业布置高等数学 标准化作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双语教学课堂教学目标教学过程函数： function .导数： der

2、ivative.微分： differential calculus .中值定理：law of the mean .极 值 ： extreme values . 1 把握用导数求函数极值的方法.2 把握函数最大值和最小值的求法及其简洁应用.1 函数极值的定义（15min）.2 用导数求函数极值的方法（30min ）.3 函数最大值和最小值的求法（20min ）4 最大值和最小值的简洁应用（25min ）教学基本内容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值的定义定义 设函数 fx 在区间

3、a, b内有定义 x0 a, b 假如在 x0 的某一去心邻域内有 fx fx0 就称 fx0是函数 f x的一个极大值 假如在 x0 的某一去心邻域内有 fx fx0 就称 fx0是函数 f x 的一个微小值设函数 fx在点 x0 的某邻域U x0内有定义假如在去心邻域Ux0内有 fx fx0 或 fx f x0就称 fx0是函数f x的一个极大值或微小值 函数的极大值与微小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点函数的极大值和微小值概念是局部性的假如 fx0是函数 fx的一个极大值那只是就x0 邻近的一个局部范畴来说fx0 是 fx的一个最大值假如就 fx的整个定义域来说f x0不肯

4、定是最大值关于微小值也类似极值与水平切线的关系在函数取得极值处曲线上的切线是水平的但曲线上有水平切线的的方函数不肯定取得极值定理 1 必要条件 设函数 f x在点 x0 处可导且在 x0 处取得极值那么这函数在x0 处的导数为零即 f x0 0证为确定起见假定 fx0是极大值 微小值的情形可类似的证明依据极大值的定义在 x0的某个去心邻域内对于任何点xfxfx0均成立于是备注栏可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xx0 时f xxf xf x0 x0f x00因此f x0limxx 0f xxf xf x0 0 x0f x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当

5、xx0 时xx0因此f x0limxx00xx00从而得到f x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -简要证明假定 fx0是极大值依据极大值的定义在 x0 的某个去心邻域内有fxfx0于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是 f x0f x0limf xf x0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同时fx0xx0f

6、 x0xlimxx0x0f xxf x0 x00 从而得到f x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_驻点使导数为零的点即方程 f x0 的实根 叫函数 f x的驻点定理就是说可导函数fx的极值点必定是函数的驻点但的过来函数 fx 的驻点却不肯定是极值点考察函数f x x3 在 x 0 处的情形定理 第一种充分条件设函数 f x在点 x0 的一个邻域内连续在 x0 的左右邻域内可导fx 0在 x0 的某一右邻域内f x 0那么函数f x在 x0 处取fx 0在 x0 的某一右邻域内f x 0那么函数f x在 x0 处取(1) 假如在 x0 的某一左邻域内得极大值(2) 假如在 x

7、0 的某一左邻域内得微小值3 假如在 x0 的某一邻域内f x不转变符号那么函数f x在 x0 处没有极值定理第一种充分条件设函数 fx在含 x0 的区间 a, b内连续在a, x0 及 x0, b内可导1 假如在 a, x0内 f x 0在 x0, b内 f x0那么函数f x在 x0 处取得极大值2 假如在 a, x0内 f x 0在 x0, b内 f x0那么函数f x在 x0 处取得微小值3 假如在 a, x0及x0, b内 f x的符号相同那么函数fx在 x0 处没有极值定理 2 第一充分条件 设函数 fx 在 x0 连续且在 x0 的某去心邻域x0x0x0 x0内可导1 假如在x0

8、x0内f x 0在x0 x02 假如在x0x0内f x 0在x0 x0 内 f x 0那么函数fx在 x0 处取得极大值 内 f x 0那么函数fx在 x0 处取得微小值3 假如在 x0x0及x0 x0内 f x的符号相同那么函数f x在 x0 处没有极值定理 2 也可简洁的这样说 当 x 在 x0 的邻近渐增的经过 x0 时 假如 f x的符号由负变正 那么 f x在 x0 处取得极大值 假如 f x的符号由正变负 那么 fx在 x0 处取得微小值 假如 f x的符号并不转变 那么 fx在 x0 处没有极值 注 定理的表达与教材有所不同 确定极值点和极值的步骤1 求出导数f x2求出 fx的

9、全部驻点和不行导点3 列表判定 考察 fx的符号在每个驻点和不行导点的左右邻近的情形以便确定该点是否是极值点假如是极值点仍要按定理2 确定对应的函数值是极大值仍是微小值4 确定出函数的全部极值点和极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 求函数f xx43 x1 2的极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 fx在内连续除 x1 外到处可导且f x5 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 令 f x 0得驻点 x 1 x1 为 fx的不行导点3 列表判定33 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载

10、精品_精品资料_x11 1 111f x不行导0fx033 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 极大值为f 1 0微小值为f 133 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -定理 3 其次种充分条件设函数 fx 在点 x0 处具有二阶导数且f x0 0fx0 0那么1当fx0 0

11、时函数fx在 x0 处取得极大值1当证明fx0 0 时在情形 1函数由于fx在 x0 处取得微小值fx0 0 按二阶导数的定义有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x limf xf x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据函数极限的局部保号性当 x 在 x0 的足够小的去心邻域内时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但 f x0 0所以上式即f x0 xx0f x xf x00 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而知道对于这去心邻域内的x 来说 f x与 x x0

12、符号相反因此当 x x0 0 即 x x0 时 f x 0当 x x0 0 即 x x0 时 f x 0依据定理 2 f x在点 x0 处取得极大值类似的可以证明情形2简要证明在情形 1由于 fx0 0f x0 0 按二阶导数的定义有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x limf xf x0 limf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xx0xx0xx 0 xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据函数极限的局部保号性在 x0 的某一去心邻域内有f x0 xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载

13、精品_精品资料_从而在该邻域内当 x x0 时f x 0当 x x0 时f x 0依据定理 2 fx在点 x0 处取得极大值定 理 3 说明假如函数fx在驻点 x0 处的二导数fx00那么该点x0 肯定是极值点并且可以按二阶导数f x0的符来判定fx0是极大值仍是微小值但假如 fx 0 0定理 3 就不能应用争论函数 f xx4 gx x3 在点 x 0 是否有极值？提示f x 4x 3 f 00 fx 12x2 f00但当 x 0 时 f x 0当 x 0 时 f x 0所以 f0为微小值g x 3x2g 00gx 6xg00但 g0不是极值例 2求函数 fx x2 13 1 的极值解1 f

14、 x 6xx2 1 22 令 f x 0求得驻点x11 x 2 0 x3 13 fx 6x2 15x2 14因 f06 0所以 f x在 x 0 处取得微小值微小值为f 0 05因 f 1f10用定理 3 无法判别由于在1 的左右邻域内f x 0所以 fx在 1 处没有极值同理f x在 1 处也没有极值二、最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学试验中经常会遇到这样一类问题在肯定条件下怎样使“产品最多” 、“用料最省” 、“成本最低” 、“效率最高”等问题这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题极值与最值的关系设函数fx 在闭区间 ab上连续就函数的最

15、大值和最小值肯定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得假如最大值不在区间的端点取得就必在开区间ab内取得在这种情形下最大值肯定是函数的极大值因此函数在闭区间ab 上的最大值肯定是函数的全部可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理函数在闭区间a b上的最小值肯定是函数的全部微小值和函数在区间端点的函数

16、值中最小者最大值和最小值的求法设 fx在 a b内的驻点和不行导点 它们是可能的极值点为 x1 x2xn就比较fa fx 1fx n fb的大小其中最大的便是函数fx在 a b上的最大值最小的便是函数f x在 a b上的最小值例 3 求函数 fx |x2 3x 2|在3 4 上的最大值与最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 23x2x 3,1 2, 42x3x 3,12, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解f xx 23x2x1, 2f x2x3x1, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 3

17、 4内 fx的驻点为 x32不行导点为x 1 和 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 f 320 f10f 3 21f 20 f46比较可得fx在 x3 处取得它在 3 4 上的最 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大值 20在 x 1 和 x 2 处取它在 3 4 上的最小值0例 4工厂铁路线上AB 段的距离为100km工厂 C 距 A 处为 20km AC 垂直于 AB为了运输需要要在 AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条大路已知铁路每公里货运的运费与大路上每 公里货运的运费之比3: 5为了使货物从供应

18、站B 运到工厂 C 的运费最省问 D 点应选在何处？100kmABD20km可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C解设 ADx km就 DB100 xCD202x2400x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设从 B 点到 C 点需要的总运费为y那么y 5k CD3k DB k 是某个正数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即y5k400x23k100 x 0x 100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_现在问题就归结为x 在0 100 内取何值时目标函数y 的值最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先求 y 对 x 的导数y

19、解方程 y0得 x 15kmk5x3CD400x2400x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 于y|x 0 400ky|x 15 380ky |500k11其 中 以y|x 15 380k为 最 小因 此 当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x 1005ADx 15km 时总运费为最省例 2工厂 C 与铁路线的垂直距离AC 为 20km,A 点到火车站B 的距离为100km.欲修一条从工厂到铁路的大路CD. 已知铁路与大路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂 C 间 的运费最省 , 问 D 点应选在

20、何处？解设 ADx kmB 与 C 间的运费为y就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 5k CD3k DB5k400x23k 100x 0 x100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 k 是某一正数由 yk5x400x 230得 x 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 于y|x 0 400ky|x 15 380k ADx 15km 时总运费为最省y |x100500k1152其 中 以y|x 15 380k为 最 小因 此 当可编辑资料 - -

21、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -留意 f x在一个区间 有限或无限 开或闭 内可导且只有一个驻点 x0 并且这个驻点 x0 是函数 f x的极值点 那么 当 f x0是极大值时 fx0就是 fx在该区间上的最大值 当 f x0是微小值时fx0就是 f x在该区间上的最小值yyy fx y fx 可编辑资料 - -

22、 - 欢迎下载精品_精品资料_fx 0Oax 0bxfx 0Oax 0bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应当指出 实际问题中 往往依据问题的性质就可以肯定函数 fx确有最大值或最小值 而且肯定在定义区间内部取得 这时假如 fx在定义区间内部只有一个驻点 x0 那么不必争论 fx0 是否是极值 就可以肯定 fx0是最大值或最小值例 6把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高h 和宽 b 应如何挑选才可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_能使梁的抗弯截面模量W W1 bh2 最大 .6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 b 与 h 有下面的

23、关系h 2 d 2 b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因而W1 bd 2b 2 0bddh6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这样W 就是自变量b 的函数b 的变化范畴是 0 db现在问题化为b 等于多少时目标函数W 取最大值？为此求 W 对 b 的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_W1 d 263b2解方程 W0 得驻点 b1 d3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于梁的最大抗弯截面模量肯定存在而且在 0d内部取得现在函数 W1 bd 2b2 在6可编辑资料 - - - 欢迎下

24、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 d内只有一个驻点所以当 b1 d 时 W 的值最大这时3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h2d 2b2d 21 d 232 d 2即h2 d33d :h:b3 :2 :1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解把 W 表示成 b 的函数W1 bh261 bd 2b2 0 bd6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 W1 d2 63b20得驻点

25、b3 1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于梁的最大抗弯截面模量肯定存在而且在 0d内部取得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_现在函数W 在0d内只有一个驻点b3 1 d所以当 b3 1 d 时抗弯截面模量W 最大这时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h2 d3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -教学后记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载