2022年高等数学-试卷参考答案 .docx

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1、精品_精品资料_高等数学 -2 试卷 A202206 参考答案一、填空题每题2 分,共 10 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3, b4, c5, abc0 ,就 a bb cc a25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, yxy,x2y2f xy, x yxyxy31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zln tan x ,就yzy ,124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. ln1x) 绽开成为 x1) 的幂级数形式时,其收敛域是 1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y25 y0 的通解为y c1 co

2、s5 xc2 sin 5x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、运算题一 每题 7 分,共 21 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2lim xyxy xy. y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 0xy xy2 xy1 xy1 xy0 x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2x2y22 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 lim xyxyx2y2 xy0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

3、料_2x4 yz0L :在平面: 4xyz1 0 上的投影直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3xy2z90解： 过直线 L 的平面束方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_: 2x4 yz3 xy2 z90 ,即 23 x 4 y12 z90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其法线向量为 n23,4,12,又平面的法向量为 n4,1,1 ,因此应有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n n0423 41201311可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入平面束方程得 1

4、7 x31y37 z1170可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求投影直线方程为4xyz10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17 x31y37z1170可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z f xy, x2y2 ,f 具有二阶连续偏导数,求z2 z,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z解：yf1 x2 z2xf2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f1yx yf11xf122 y2 xf 21xf 222 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

5、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f1xyf112 y2x2 f124 xyf22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222三、运算题二 每题 7 分,共 21 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zdV ,其中是由曲面 z4xy与 xy23z 所围成.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：两曲面的交线为x2y23z1,在 xoy的投影为 x2y23 .利用柱面坐标,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2342可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zdVddzdz13.可编辑资料

6、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_002 34121213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另解：zdVdzzdxdydzzdxdyz3zdzz4z2dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0D1D014zz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zR2x2y2 被圆柱面 xR 2y2R 2 所截,在圆柱面内部份的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解： 利用极坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dS1z2z2 dxdyR dxdyRrdrd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy22222R 22RxyR

7、rR 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆柱 xy 对应的极坐标方程为rRcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222RRcosRr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S dxdyddrd222222R2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x R 2y 2 R 2Rxy20Rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223. 求 曲 线 积 分 I2 xy3Ly2 cosxdx12 y sin x3x2 y2 dy , 其 中 L 为 抛 物 线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 xy ,从 0,0 到 ,1

8、.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 令 P2 xy3y2 cos x,Q12 y sin x3 x2y 2在全平面有连续偏导数.由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P6 xy22 y cos xQ ,故积分与路径无关,其势函数ux, yxy3y2 sin xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 Iu x, y2.,120,04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另解： 因积分与路径无关,故I0dx012ysin0232 y2

9、 dy.24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、运算题三 每题 7 分,共 28 分R 单位：万元与花费在两种广告宣扬上的费用x, y 单位：万元之间的关系为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_200 xR100 y,利润额相当于五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.已知广告费可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x510y用总预算是 25 万元,试问如何安排两种广告费用可使利润最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由已知利润为L1 Rxy40 x20 yxy ,并满意 xy25 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令

10、L x, y,540 x20 yx510xyxyy25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Lx x, y,x5102002y10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ly x, y,5x2002510, 由x) 210y) 2得唯独驻点P 5,10,由实际可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_L x, y,10xyy250.xy250可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题及驻点唯独性,当两广告费分别为15 万及 10 万时,可使利润最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1x23x绽开成 x24 的幂级数,并指出收敛域.可编辑

11、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： fx11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x23 x2x1x23x42 x41111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 1x4 32 1x4 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x4 n1 x4 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn3 n 032 n 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 11 x4 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23n 1n

12、1n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 x41 及3x41 知收敛域为 6,2.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dyy cot x dx5ecosx 满意条件 yx24 的解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 该方程为一阶线性微分方程,由常数变易公式得通解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y xcot xdxec5ecosx ecot xdxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1c sin x5ecosx sin xdx1 c sin x5ecos x 可编辑

13、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用初始条件得c1,特解为 y1c sin x5ecosx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x连续,且满意 xext t dtxt dt ,求 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 x连续知,xxt dt,t00t dt 可导,从而 x可导,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xexxt dt ,进一步有x0二阶可导.可编辑资料 - - - 欢迎下

14、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xexx,即 x满意方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x xex 及初始条件01,01.下面求解此初值问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对应齐次方程的特点方程为r 210 ,特点根 ri ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_齐次方程的通解为Yc1 cos xc2 sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

15、- - - 欢迎下载精品_精品资料_因1不是特点方程的根,设yAex 是原方程的一个解,代入原方程易知1A,故原2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程的通解为y c1 cosxc2 sin xe2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入初始条件得c1 , c1 ,从而 x1 cosxsin xex .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12222五、综合题第 1, 2 题各 7 分,第 3 题 6 分,共 20 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyzaa卦限上.0 上任一点 P 的切平

16、面在各坐标轴上截距之和为常数,P 在第一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证： 已知曲面上点Px, y , z 处法线向量为 1,1,1 ,切平面方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0002x02y02z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 xx 1 yy 1 zz 0000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0即 1x x0y01y1y0z0z0z x0x0x0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切平面在三坐标轴上的截距分

17、别为ax0 ,ay0 ,az0 ,且ax0ay0az0a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an0 ,级数1n 1 an发散, k 为一正常数,证明级数1n 1 an发散.k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 假设正项级数1n 1 an收敛,就k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1lim0 lim alim1 ananklim1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnaknn1 ak na可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n

18、nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由比较比判别法知1n 1 an收敛,与已知冲突.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y2x) dydz z2y) dzdx x2z) dxdy ,其中是曲面 z2 x2y2 1z2 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上侧.解： 作帮助平面x2y21 :z11, 1 取下侧.利用高斯公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y2x) dydz z2y) dzdxx2z) dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12233dV3 dzdxdy32zdz1x2y 2 2 z12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 y 2x) dydzz2y) dzdx x2z) dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 y 22x) dydz z2y) dzdx x2z) dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x21dxdydr 2 cos1rdr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x 2y2 1200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_339.244可编辑资料 - - - 欢迎下载