2022年空间点线面之间位置关系知识点总结 .docx

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1、精品_精品资料_高中空间点线面之间位置关系学问点总结1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一）空间几何体的结构特点第一章空间几何体（1） 平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长（如图）（2） 平面通常用希腊字母 、等表示,如平面 、平面等,也可以用表示平面的平行四边形的四可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 多面体由如干个平面多边形围成的几何体.旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体.其中,这条定直线 称为旋转体的轴.（2） 柱

2、,锥,台,球的结构特点1.1 棱柱有两个面相互平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面 ABCD等.3 三个公理：（1） 公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为AL可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_些面所围成的几何体叫做棱柱.1.2 圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1 棱锥有一个面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体叫做棱锥.2.2 圆锥以直角三角形的始终角边所在的

3、直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.3.1 棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2 圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1 球以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.BL= LA B公理 1 作用：判定直线是否在平面内（2） 公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.符号表示为： A、B、C三点不共线 =有且只有一个平面 , 使 A 、B、C .公理 2 作用：确定一个平面的依据.A LAB C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）空间几何

4、体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影.平行投影分为正投影和斜投影.（3） 公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示为： P = =L,且 P L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 三视图正视图.侧视图.俯视图.是观看者从三个不同位置观看同一个空间几何体而画出的图形. 画三视图的原就： 长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形.公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内,有且只有一个公

5、共点.PL可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 斜二测法：在坐标系x o y 中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变,平行于x共面直线平行直线：同一平面内,没有公共点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变,平行于y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半.重点记忆：直观图面积 =原图形面积异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点.2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行.符号表示为：设 a、b、c 是三条直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 三 空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面

6、积ab cb=ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆柱的表面积 S =2 rl+ 2 r圆锥的表面积Srlr 2公理 4 作用：判定空间两条直线平行的依据.3 等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆台的表面积 Srlr 2RlR2 球的表面积 SnR214 R24 留意点： a 与 b 所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的挑选无

7、关,为简便,点 O 一般取在两直线中的一条上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_扇形的面积公式S扇形lr3602（其中 l 表示弧长, r 表示半径） 两条异面直线所成的角 0 , .2 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线相互垂直,记作ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、空间几何体的体积柱体的体积 VSh锥体的体积 V1 Sh 两条直线相互垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形. 运算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_底底31432.1.3 2.1.4空间中直线与平面、平

8、面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_台体的体积V（ S上3S上 S下S下 h球体的体积 V3R（1） 直线在平面内 有很多个公共点（2） 直线与平面相交 有且只有一个公共点（3） 直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外,可用a来表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次章 直线与平面的位置关系DC2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Lp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa=Aa2.2. 直线、平面

9、平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平行. 简记为：线线平行,就线面平行.符号表示：a b =aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行.2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直.留意点： a 定理中的“两条相交直线”这一条件不行忽视.b 定理表达了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想.2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个

10、半平面所组成的图形 A梭 lB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、判定两平面平行的方法有三种：（1） 用定义.（2） 判定定理.符号表示：a b ab = Pa b2、二面角的记法：二面角 -l-或-AB- 3、两个平面相互垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,就这两个平面垂直.2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.2 性质定理： 两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.本章学问结构框图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 垂直于同一条直线的两个平面平行.2.2.3 2.2.4

11、直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为：线面平行就线线平行.符号表示：aaab = b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题.2、定理：假如两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.符号表示：= aab直线与直线的位置关系平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）空间直线、平面的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行第三章直线与方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.3 直线

12、、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义一、公式：1. 如直线的倾斜角为90 ,就直线的斜率 k = tan.yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面相互垂直, 记作 L,直线L 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 L 的垂面.如图,直线与平面垂直时 , 它们唯独公共点 P 叫做垂足.2. 过点P1 x1, y1和P2 x2 , y2 的直线的斜率为：21x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如不平行于 y 轴的两直线l1 / /l 2 ,就 k1 = k2 .如两直

13、线 l1l2 ,就 k1k2 = -1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 直线的点斜式方程：yy0kxx0（注：做此题时要分截距为 0 和截距不为 0 两种情形,切不行直接将方程设为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 直线的斜截式方程： ykxbxy1 ,由于用该方程时,要求截距不为0.）ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 直线的两点式方程： yy1xx12.已知直线l1 : xmy60 , l 2 : m2x3y2m0 ,求满意以下条件的 m 值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2y1x2x1（1） l 和l相交

14、.（ 2） ll .（ 3） l / /l .（ 4） l 和l重合 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 直线的截距式方程： xy1ab12解：（1）121212l1和l2相交 , A1B2A2B10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 直线的一般式方程：AxByC0 ,此时,斜率为A ,截距为C .即： 13 m2 m0解得:m1且m3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BB（2）ll , A AB B0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12121 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 对于两直线l1 :

15、 A1 xB1 yC10 和l2 : A2 xB2 yC20即： 1 m23 m0解得： m12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 如 A1B2（2） 如 A1B2A2B10 ,两直线相交.A2B10,两直线平行或重合.（3）（ 4） A1B2A2 B10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 如 A1 A2B1B20 ,如两直线垂直.即： 13 m2 m0解得:m1或m3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ x1x2y1y2检验： m1时, l1 : xy60,l2 :3x3y20, 此时,两直线平行,所以,可编辑资料 - - - 欢迎下

16、载精品_精品资料_10. 点 x1, y1和 x2, y2 的中点坐标是,22m3时, l1 : x3y60,l2 : x3y60, 此时,两直线重合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 如 P x , y 和P x , y ,就： PP xx 2 yy 2综上所示： m1 时两直线平行. m3 时两直线重合 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1112221 21212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 点 x , y到直线AxByC0的距离为： Ax0By0C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00A2B2可编辑资料 - -

17、- 欢迎下载精品_精品资料_二、基本留意点：1. 过点 a,b ,且平行于 x 轴的直线方程是： yb.2. 过点 a,b ,且平行于 y 轴的直线方程是： xa. 三、典型习题：1.求过点 2,3 ,并且在两轴上的截距相等的直线方程.圆与方程2、1 圆的标准方程： 以点第四章圆与方程C a, b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 xa2yb 2r 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：截距不为 0 时,设两轴上的截距都为 a ,就有直线方程为： xy1 ,aa特例：圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：x 2y 2r 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

18、资料_将 2,3 带入上式可得： a5 ,所以直线方程为： xy1 ,552、2 点与圆的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： xy50 .1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为 r ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两轴上的截距都为 0 时,就直线过原点 0,0 ,由两点式可得：1 点在圆上d=r .2 点在圆外dr .3 点在圆内d r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y0x0 ,即： 3x2 y02. 给定点 M x 0 , y0 及圆

19、C : xa) 2 yb) 2r 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3020综上所述：满意条件的直线方程为：xy50 或 3x2 y0 . M 在圆 C 内 x0a222 y0 br M 在圆 C 上（ x 0a) 2 y 0b) 2r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C 外x0a) 2 y0b) 2 r 2y 1 y 0k x 1x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如点x0 ,y0不在圆上,圆心为 a,b就Rby1k ax1 ,联立求出 k切线方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、3 圆的一般方程：x

20、2y2DxEyF0 .R 2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22DED 2 E 2 4F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 DE4F0 时,方程表示一个圆,其中圆心C,半径 r.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 D 2E 2 4F0 时,方程表示一个点D ,E.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 D 2E2 4F0 时,方程无图形（称虚圆）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

21、精品_精品资料_注：（1 ）方程Ax2BxyCy 2DxEyF0 表示圆的充要条件是：B0 且 AC0 且 D 2E 2 4 AF0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆的直径或方程：已知A x 1, y1 B x 2 ,y 2 xx1 xx 2 yy 1 yy2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, dr相离0 .0.（3） dr相交0 .2、4 直线与圆的位置关系：直线 AxByC0 与圆 xa 2 yb2r 2 的位置关系有三种可编辑资料 - - - 欢迎下载精

22、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 dAaBbC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） drA2B 2相切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_仍可以利用直线方程与圆的方程联立方程组AxByx2y 2C0DxEyF求解,通过解的个数来判定：0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当方程组有 2 个公共解时（直线与圆有2 个交点）,直线与圆相交.（ 2）当方程组有且只有1 个公共解时（直线与圆只有1 个交点）,直线与圆相切.（ 3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有

23、交点）,直线与圆相离.即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为 ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d,就直线与圆的位置关系满意以下关系：相切d=r 0（ 2）相交d0.（3）相离dr 0.2、5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1, O2,半径分别为 r1, r2 , O1O2d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） dr1r2外离4条公切线.（ 2） dr1r2外切3条公切线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） r1r2dr1r 2相交2条公切线.（ 4） dr1r2内切1条公切线

24、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5） 0dr1r2内含无公切线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_外离外切相交内切内含可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、6 圆的切线方程 ：圆 x 2y 2r 2 的斜率为 k 的切线方程是ykx1 k 2 r 过圆 x 2y 2 DxEyF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上一点P x 0,y0 的切线方程为：x0 xy 0 yD xx 02E yy 02F0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般方程如点 x0 ,y0在圆上,就 x ax0 a+y by0 b=R2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,过圆x 2y 2r 2 上一点P x 0 , y 0 的切线方程为x 0 xy 0 yr 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载