2022年第八章空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1、重点向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角.数量积（是个数） 、向量积（是个向量） .几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面.平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程）,两平面的夹角.空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）, 两直线的夹角、直线与平面的夹角.2、难点向量积（方向） 、混合积（运算） .把握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形.空间曲线在坐标面上的投影.特别位置的平

2、面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等.）平面方程的几种表示方式之间的转化.直线方程的几种表示方式之间的转化.二、基本学问1、向量及其线性运算向量的基本概念：向量既有大小又有方向的量.向量表示方法：用一条有方向的线段称为有向线段来表示向量有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号以 A 为起点、 B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB向量可用粗体字母 表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a、r、v、F 或 a 、 r 、 v 、F .向量的模向量的大小叫做向量的模向量 a、 a 、 AB 的模分别记为|a|、 | a | 、 |AB |单位向量模等于 1 的向

3、量叫做单位向量.向量的平行两个非零向量假如它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向 量 a 与 b平行记作 a / b零向量认为是与任何向量都平行.两向量平行又称两向量共 线零向量模等于0 的向量叫做零向量记 作 0 或 0零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的共面对量 ： 设有 kk 3个向量当把它们的起点放在同一点时假如 k 个终点和公共起点在一个平面上就称这 k 个向量共面.两向量夹角 ：当把两个非零向量a 与 b 的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 3

4、9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角称为向量a 与 b 的夹角记作a, b 或 b,a假如向量a 与 b 中有一个是零向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规定它们的夹角可以在0 与 之间任意取值.向量的线性运算向量的加法 （三角形法就） ：设有两个向量a 与 b平移向量使b 的起点与a 的终点重合此时从 a 的起点到 b 的终点的向量c称为向量 a 与 b 的和记作 a+b即 c a+b .平行四边

5、形法就向量 a 与 b 不平行时平移向量使a 与 b 的起点重合以 a、b 为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a 与 b 的和 a b向量的加法的运算规律1 交换律 a b b a2结合律 a b c a b c负向量设 a 为一向量与 a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量记为a向量的减法把向量 a 与 b 移到同一起点O就从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向量AB 便是向量 b 与 a 的差 b a向量与数的乘法：向量 a 与实数的乘积记作规定a 是一个向量它的模 | a| | |a|它的方向当0 时与 a 相同当 0 时 与 a 相反当0 时 | a| 0

6、即a 为零向量这时它的方向可以是任意的运算规律1 结合律 a a a. 2安排律aaa. a bab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的单位化设 a 0就向量a 是与 a 同方向的单位向量记为 ea,于是 a|a|ea|a|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 1设向量 a0那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是存在唯独的实数使 b a空间直角坐标系在空间中任意取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴构成一个空间直角坐标系依次记为x 轴横轴 、y 轴纵轴 、z 轴竖轴 统称为坐标轴称为 Oxyz 坐标系它们注

7、:1通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上而 z 轴就是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规章坐标面在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x 轴及 y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面另两个坐标面是yOz 面和 zOx 面卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做 第一卦限它位于 xOy 面的上方在 xOy 面的上方按逆时针方向排列着其次卦限、第三卦限和第四卦限在 xOy 面的下方与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向仍排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II 、III 、I

8、V 、V 、VI 、VII 、VIII表示向量的坐标分解式任给向量r对应有点M使 OMr以 OM 为对角线、三条坐标轴为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_棱作长方体有rOMOPPNNMOPOQOR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设

9、OPxiOQyjORzk就rOMi yjzk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式称为向量r 的坐标分解式xi、 yj、 zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点 M 、向量 r 与三个有序x、y、z 之间有一一对应的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MrOMxiyjzkx, y, z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有序数 x、y、z 称为向量r 在坐标系Oxyz中的坐标记作 rx y z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量 rOM 称为点 M 关于原点O 的向径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用坐标作向量的

10、线性运算设 a ax ay az b bx by bza b ax bx ay by az bz a b ax bx ay by az bz a ax ay az利用向量的坐标判定两个向量的平行设 a axayaz 0b bxbybz向量 b/aba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 b/ abbxax by bzax ay az于是xbybza yaz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的模、方向角、投影设向量 rx y z作 OMr就向量的模长公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|r |x2y2z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

11、料_设有点 A x1 y1 z1、 Bx2 y2 z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABOBOAx2 y2 z2 x1 y1 z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、 B 两点间的距离公式为：| AB| AB |x2x12 y2y1 2z2z12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方向角： 非零向量r 与三条坐标轴的夹角、 、 称为向量r 的方向角设 rx y z就x |r|cosy |r|cosz |r|coscos 、cos 、cos称为向量 r 的方向余弦可编

12、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosx|r |cosy|r |cosz|r |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而投影的性质cos, cos, cos 1 rer|r |2cos2cos2cos1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 1 au |a|cos即 Prj ua |a|cos其中为向量与u 轴的夹角性质 2 a bu au bu 即 Prju a bPrju a Prj ub性质 3 auau 即 Prj u aPrj ua可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选

13、- - - - - - - - - -第 3 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2、数量积、向量积、混合积两向量的数量积数量积对于两个向量a 和 b 它们的模|a|、|b| 及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a 和 b 的数量积记 作 a b 即ab |a| |b| cos数量积的性质1 aa|a| 22 对于两个非零向量a、b 假如ab0 就 ab;反之 假如 ab 就 ab0假如认为零向量与任何向量都垂直就 abab0两向量夹角的余弦的坐标表示设a

14、b就当 a 0、b 0 时 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosa baxb xay b yaz bz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|a |b|222aaaxyz222bbbxyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数量积的坐标表示设 a ax ay az b bx by bz 就ab ax bx ayby az bz数量积的运算律1 交换律abba;2 安排律a b c a c b c3 a ba bab a bab、 为数两向量的向量积向量积设向量 c 是由两个向量a 与 b 按以下方式定出c 的模 |c| |a|b|sin其中为 a 与

15、b 间的夹角 ; c 的方向垂直于a 与 b 所打算的平面c 的指向按右手规章从a 转向 b 来确定那么向量 c 叫做向量a 与 b 的向量积记作 ab 即ca b向量积的性质(1) a a0(2) 对于两个非零向量a、b 假如 ab0 就 a/b 反之假如 a/ b 就 a b0假如认为零向量与任何向量都平行就 a/ bab0数量积的运算律(1) 交换律 a bb a(2) 安排律a b cacb c3 a ba ba b 为数 数量积的坐标表示设 aa bax ay az b bx ay bzaz by iby bz az bxax bz j ax byay bx k为了邦助记忆利用三阶行

16、列式符号上式可写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iabax bxj kaya zbybzaybzi azbx j axbyk aybxk axbz j azbyi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三向量的混合积 ay bzaz

17、by i az bxax bz j ax byay bx k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_混合积： 先作两向量a 和 b 的向量积 ab ,把所得到的向量与第三个向量c 再作数量积 abc ,这样得到的数量叫做三个向量a、b、c 的混合积,记作abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc= aba xa yaz c =bxbybz cxcycz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_混合积的几何意义：混合积 abc 是这样一个数,它的肯定值表示以向量a、b、c 为棱的平行六面体的体积,假如向量a、b、 c 组成右手系,那么混合积的符号 是正的,假如a、

18、b、c 组成左手系,那么混合积的符号是负的.三个向量a、b、c 共面 的充分必要条件事他们的混合积abc=0 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a xa ybxbycxc ya zbz=0cz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、曲面及其方程曲面方程的概念假如曲面S 与三元方程Fx y z 0有下述关系(1) 曲面 S 上任一点的坐标都满意方程Fx y z 0(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满意方程F x y z 0那么方程 F x y z 0 就叫做曲面S的方程而曲面 S 就叫做方程F x y z 0 的 图形例如：方程x x02 y y02 z z02 R

19、2表示球心在点M 0x0 y0 z0、半径为R 的球面旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在 yO z 坐标面上有一已知曲线C它的方程为f y z0把 这 曲 线 绕z轴 旋 转 一 周就 得 到 一 个 以z轴 为 轴 的 旋 转 曲 面它 的 方 程 为f x2y2 , z0这就是所求旋转曲面的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在曲线 C 的方程 fyz 0 中将 y 改成x2y2便得曲线C 绕 z 轴旋转所成的旋转曲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面的方程f x2y2 , z0同理曲线 C

20、绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f y,x2z2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_柱面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面定曲线 C 叫做柱面的准线动直线 L 叫做柱面的母线例如方程x2 y2 R2 在空间直角坐

21、标系中表示圆柱面它的母线平行于z 轴它的准线是xOy面上的圆x2 y2 R2一般的只含 x、y 而缺 z 的方程 F x y 0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面其准线是xOy 面上的曲线CF x y 0类似的只含 x、z 而缺 y 的方程 G x z 0 和只含 y、z 而缺 x 的方程 Hy z 0 分别表示母线平行于 y 轴和 x 轴的柱面 二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面把平面叫做一次曲面1 椭圆锥面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由方程2 椭球面yz 所表示的曲面称为椭圆锥面2x2a2b22x 2y2z2a2b2c2所表示的曲面称为椭球面可编辑资

22、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由方程13 单叶双曲面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由方程 x2a2y2z2b2c21所表示的曲面称为单叶双曲面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 双叶双曲面x2y2z2所表示的曲面称为双叶双曲面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由方程a2b 2c21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 椭圆抛物面x 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由方程a 2b2z 所表示的曲面称为椭圆抛物面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 双曲抛物面x 2y2可编辑资料 - - -

23、 欢迎下载精品_精品资料_由方程a2b2z 所表示的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面又称马鞍面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2方程x2y1a 2b22 y2x1a2b2x2ay可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依次称为 椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面4 空间曲线及其方程空间曲线的一般方程设F x y z 0 和 G x y z 0 是两个曲面方程它们的交线为C所以 C 应满意方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述方程组叫做空间曲线C 的一般方程空间曲线的参数方程F x, y, z 0Gx, y, z 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

24、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间曲线 C 上动点的坐标x、y、z 表示为参数t 的函数x xty ytz zt.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当给定 t t1 时就得到 C 上的一个点 x1y1z1随着 t 的变动便得曲线C 上的全部点方程组2 叫做空间曲线的参数方

25、程空间曲线在坐标面上的投影以曲线 C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于 xOy 面的投影柱面投影柱面与 xOy 面的交线叫做空间曲线C 在 xOy 面上的投影曲线或简称投影 类似的可以定义曲 线 C 在其它坐标面上的投影可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设空间曲线C 的一般方程为F x, y, z0Gx, y, z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设方程组消去变量z 后所得的方程这就是曲线C 关于 xOy 面的投影柱面曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线的方程为H x y 0可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品_精品资料_H x, y0z05 平面及其方程平面的点法式方程法线向量假如一非零向量垂直于一平面这向量就叫做该平面的法线向量已知平面上的一点M 0x0 y0 z0及它的一个法线向量nA B C,平面的点法式方程为： Ax x0 By y0 Czz0 0平面的一般方程平面的一般方程为：Ax By Cz D0, 其中 x y z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标即 n A B C特别位置的平面方程：D0平面过原点n0B C法线向量垂直于x 轴平面平行于x 轴nA0 C法线向量垂直于y 轴平面平行于y 轴nnA0B 0法线向量垂直于0 C法线向量垂直于z 轴x 轴和平面平行于z 轴

27、y 轴平面平行于xOy 平面nA0 0法线向量垂直于y 轴和z 轴平面平行于yOz 平面n0B 0法线向量垂直于x 轴和z 轴平面平行于zOx 平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求这平面的方程平面的截距式方程为：xyzabc1 其中 a 0b 0 c0 该平面与x、y、z 轴的交点依次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 Pa 0 0、Q0 b 0 、R0 0 c三点而 a、b、c 依次叫做平面在x、y、 z 轴上的截距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x - x1y - y1z - z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面的三点式

28、方程为：x2x1y2y1z2z1=0其 中 M x1 , y1 , z1 ,Nx2 , y2 , z2 x3x1y3y1z3z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -P x3 , y3 , z3 是平面上的三点.两平面的夹角两平面的夹角两平面的法线向量的夹角通常指锐角 称为两平面的夹角212设平面1 和2 的法线向量分别为n1 A1 B1 C1

29、 和 n2 A2 B2 C2 那么平面1 和2 的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2应是 n1, n 和 n , n n1, n 两者中的锐角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos|cosn, n |A1A2B1B2C1C2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC12222111222ABC222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面1 和2 垂直 相当于 A1 A2B1B2C1C2 0也即n1垂直于 n2可编辑资料 - - - 欢

30、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面1 和2 平行或重合 相当于A1A2B1C1B2C2也即 n1平行于n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 P0x 0 y0 z0是平面 AxBy Cz D0 外一点P0 到这平面的距离公式为d| Ax0 By0Cz0 D |A2B2C26空间直线及其方程空间直线的一般方程空间直线 L 可以看作是两个平面1 和2 的交线如 果 两 个 相 交 平 面1和2的 方 程 分 别 为A1xB1yC1z D10和A2x B2y C2z D20那么直线 L 满意方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

31、A1x A2x上述方程组叫做空间直线的一般方程空间直线的对称式方程与参数方程B1 y B2 yC1z C2zD1 0D2 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方向向量假如一个非零向量平行于一条已知直线这个向量就叫做这条直线的方向向量简单知道直线上任一向量都平行于该直线的方向向量已知直线L 通过点 M 0 x0y0x0且直线的方向向量为smnp就直线 L 的方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x0 my y0 nz z0 p叫做 直线的对称式方程或点向式方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注当 m n p 中有一个为零例如 m 0而 n p

32、 0 时这方程组应懂得为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x0y y0 nz z0 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m n p 中有两个为零例如 m n 0而 p 0 时这方程组应懂得为x x00y y00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 xx0 my y0 nz z0t p得方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

33、品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x x0mty y0ntz z0pt此方程组就是直线L 的参数方程两直线的夹角两直线的方向向量的夹角 通常指锐角 叫做 两直线的夹角设直线 L1 和 L 2 的方向向量分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 s mnp 和 smnp 那么 L 和 L的夹角就是 s , s 和 s , s s , s 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111222212121212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_者中的锐角因此cos|

34、coss , s |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos|coss , s |m1m2n1n2p1 p2|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mnp12222111222mnp222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设有两直线L 1xx1 my y1 nz z1 pL2xx2my y2 nz z2就p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111222L 1L 2m1m2 n1n2 p1p2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l 1II L2m1n1p1m2n2p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为 直线与平面的夹角当直线与平