2022年线性代数知识点总结第二章 .docx

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1、精品_精品资料_线性代数学问点总结其次章矩阵及其运算第一节 矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义由 mn 个 数aiji1 , 2 ,m , j;1 ,n2 ,排 成,的 m 行 n 列 的 数 表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11 a21a12 a22a1n a2n称为 m 行 n 列矩阵.简称 mn 矩阵,记作 Aa11 a21a12 a22a1n a2n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_am1am 2amnam1am1a mn可编辑资料

2、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简记为AAm naijm naij, 这mn个数称为A的元素, 简称为元 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.扩展 几种特别的矩阵：方阵 ： 行数与列数都等于 n 的矩阵 A. 记作： An.行列 矩阵： 只有一行 列的矩阵.也称行 列向量.同型矩阵： 两矩阵的行数相等,列数也相等.相等矩阵： AB 同型 ,且对应元素相等.记作：A B 零矩阵： 元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵： 不在主对角线上的元素都是零.单位阵： 主

3、对角线上元素都是1,其它元素都是 0,记作： En不引起混淆时,也可表示为 E （课本 P29P31）留意矩阵与行列式有本质的区分,行列式是一个算式, 一个数字行列式经过运算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同.其次节 矩阵的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵的加法设有两个 m n 矩阵Aaij和Bbij,那么矩阵 A 与 B 的和记作 AB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规定为 ABa11 a21b11 b21a12 a22b12 b22a1n a2 nb1n b2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

4、 - - 欢迎下载精品_精品资料_am1bm1am2bm2amnbmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.（课本 P33） 矩阵加法的运算规律1 ABBA .2 ABCABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 设矩阵Aaij, 记m nAaij m na11 a21am1a12 a22am1a1n a2 namn, A 称为矩阵 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 负矩阵4 AA0, ABAB .（课本 P33）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数与矩阵相乘数 与矩阵 A的乘积记作A或

5、A, 规定为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 与矩阵A的乘积记作A或A, 规定为 AAa11 a21a12 a22a1n a2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_am1am1amn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数乘矩阵的运算规律（设A、B 为 m n矩阵,为数）1 AA .2 AAA.3 ABAB .（课本 P33） 矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵与矩阵相乘设 Bbij 是一个 ms矩阵

6、, Bbij 是一个 sn 矩阵,那么规定矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_阵A与 矩阵B的 乘积 是 一个m n矩 阵 C ijc,其 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ai1ai 2aisb1 jb2 jbsjai1b1 jai 2 b2 jais bsjsaik bkj , ik 11,2,m; j1,2, n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并把此乘积记作CAB留意1.A 与 B 能相乘的条件是：A 的列数 B 的行数.2.矩阵的乘法不满意交换律,即在一般情形下,ABBA ,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.3.对于 n 阶方阵 A

7、和 B,如 AB=BA,就称 A 与 B 是可交换的.矩阵乘法的运算规律1 AB CA BC .2 ABA BAB3 A BCABAC , BCABACA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 Am n En nEm m Am nAm n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 如 A 是 n 阶方阵,就称 Ak 为 A 的 k 次幂,即 AkA AA ,并且k个Am AkAm k ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kAmA mkm, k为正整数 .规定： A0

8、 E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k留意矩阵不满意交换律,即ABBA , ABAk B k （但也有例外） （课本 P36）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_纯量阵矩 阵E称 为 纯 量 阵 , 作 用 是 将 图 形 放 大倍 . 且 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E AAE A,A 为 n 阶方阵时,有 En AnAn En An ,说明纯量阵与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

9、任何同阶方阵都是可交换的. （课本 P36）转置矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作A ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122T如 A, A4581425.28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_转置矩阵的运算性质T1 ATA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T2 ABATBT .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T3 AAT .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T4 ABBT AT.（课本 P39）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方阵的行列式由 n 阶方阵 A 的元

10、素所构成的行列式,叫做方阵A 的行列式,记作A 或det A（ 记住这个符号 ）留意矩阵与行列式是两个不同的概念,n 阶矩阵是 n2 个数按肯定方式排成的数表,而 n阶行列式就是这些数按肯定的运算法就所确定的一个数.运算性质T1 AA .2 An A .(3) ABA BB ABA （课本 P40）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称阵设 A 为 n 阶方阵,假如满意 A=AT ,即aijajii , j1,2, n那么 A 称为对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,假

11、如 ATA 就称矩阵 A 为反对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的.即反对称矩阵A=（a ij）中的元素满意 aij aji , i, j=1, 2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相伴矩阵行 列 式 A的 各 个 元 素 的 代 数 余 子 式Aij所 构 成 的 如 下 矩 阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A11 A12AA21 A22An1 An2称为矩阵 A 的相伴矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1nA2nAnn

12、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质AAA AA E （ 易忘学问点 ）（课本 P？）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.（ 2）只有当第一个矩阵的列数等于其次个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满意交换律.（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.第三节逆矩阵定义对于 n 阶矩阵 A,假如有一个 n 阶矩阵 B,使得 ABBA E 就说矩阵 A 是可逆的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.A的逆矩阵记作A 1 , 即A 1B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明1 A , B 互

13、为逆阵, A = B-12 只对方阵定义逆阵.3.如 A 是可逆矩阵,就A 的逆矩阵是唯独的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 1矩阵 A 可逆的充分必要条件是A0 ,并且当 A 可逆时,有 A 11 A* A（重要 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（证明见课本P？）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇特矩阵与非奇特矩阵当 A0 时, A 称为奇特矩阵,当A0 时, A 称为非奇特矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1阵.即A可逆A为非奇特矩阵A0 .可编辑资料 - - - 欢迎下

14、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论如ABE或BA=E ,就 BA（证明见课本 P？ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*(1) 先求| A| 并判定当| A |0时逆阵存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求逆矩阵方法（2）求A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3求 1A*| A |A 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_更好的求逆矩阵的方法-chapter3 初等变换法（ A,E逆矩阵的运算性质可

15、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 如A可逆 ,就A111亦可逆 ,且 A 1A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 如A可逆 , 数0, 就A可逆, 且A11 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 如A, B为同阶方阵且均可逆, 就AB亦可逆 ,且 AB 1B 1A1.（以上证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_见课本 P43）4 TT11 T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

16、如A可逆 ,就A 亦可逆 , 且 AA.115 如A可逆 ,就有 AA.总结逆矩阵的运算方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 待定系数法 .2 利用公式 A 1A . 3 初等变换法 下一章介绍A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第四节矩阵分块法矩阵分块将矩阵 A 用如干条纵线和横线分成很多个小矩阵,每一个小矩阵称为A 的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.分块的目的是为了简化运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分块矩阵的运算规章加法A 与 B 同型,且 A、B 的分块方法相同,就A 与 B 的和定义为对应子块相加.可编辑资料 - -

17、 - 欢迎下载精品_精品资料_数乘AAij .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ATAT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A11A12A131121TTT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_转置设A, 就AA12A22.先外转再内转 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A21A22A23TT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A13A23乘法首 先 AB有 意 义 , 其 次 A的 列 的 分 法 与 B的 行 的 分 法 相 同 .设A为ml矩阵, B为ln矩阵,分块成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA1, A

18、2,At即列向量组 ,BB1B2即行向量组 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 Ai1, Ai 2, Ait 的列数分别等于BnB1j , B2 j , Btj的行数, 那么 ABC11Cs1C1r,Csr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 CijtAik Bkjk 1i1, s; j1, r.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似.分块对角阵（准对角矩阵）设 A 为 n 阶矩阵,如A 的分块矩阵只有在主对角

19、线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2且非零子块都是方阵,即A, 其中 Aii1,2,s 都是方阵 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_As有：1) AA1 A2As .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2) 如每个AiA1A0, 就A可逆 ,且有 A2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_As可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A可逆1111A 可逆 i1,2, s且AdiagA, A, A（ diag（ A）表示对角阵A）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i12sT（

20、课本 P？）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有用的结论设A AO, 就AO（证明见课本 P.）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线性方程组的分块表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线性方程组a11 x1 a21 x1a12 x2 a22 x2.a1n xnb1a2n xnb2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记Aaij ,am1 x1x1 x2x,am2 x2b.b1 b2amn xn,Bbna11 a21a12 a22.a1nb1a2nb2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xnbmam1am2.amnbm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 A 为系数矩阵, x 称为未知数向量,b 称为常数向量, B 称为增广矩阵.增广矩阵可以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分块表示为： B A,b或Ba1, a2,., an, b可编辑资料 - - - 欢迎下载