2022年最新北师大版九年级上相似三角形 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点同学编号 同学姓名 授课老师辅导学科 九年级数学 教材版本 上教课题名称 相像三角形 课时进度 总第（ ）课时 授课时间 7 月 28 日教学目标 把握相像三角形的概念、 性质及判定方法, 能够敏捷应用相像三角形的性质和判定方法方法解决实际问题；重点难点重点：相像三角形的概念、判定定理和相像三角形的性质 难点：如何依据问题的结论,在较复杂的图形中找到所要证明的相像三角形同步教学内容及授课步骤学问点归纳：1、三角形相像的判定方法（ 1）定义法：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相像；（ 2）平行法：平行于三角形一边的直线和其

2、它两边 或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相像；（ 3）判定定理 1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像；简述为：两角对应相等,两三角形相像；（ 4）判定定理 2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相像；简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像；（ 5）判定定理 3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似；简述为：三边对应成比例,两三角形相像；（ 6）判定直角三角形相像的方法：以上各种判定均适用；假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形

3、的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相像；#直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；如图, Rt ABC 中, BAC=90 ,AD是斜边BC上的高,就有射影定理如下：名师归纳总结 （ 1）（ AD）2=BDDC,（ AB）2+（ AC）2=（ BC）2；第 1 页,共 10 页（ 2）（ AB）2=BDBC ,（ 3）（ AC）2=CDBC ；注：由上述射影定理仍可以证明勾股定理；即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

4、 - - 名师总结 优秀学问点典型例题：例 1 如图,已知等腰 ABC 中, AB AC ,AD BC 于 D,CG AB,BG 分别交 AD ,AC 于 E、 F,求证：BE 2EF EG 证明：如图,连结 EC, AB AC ,AD BC, ABC ACB ,AD 垂直平分 BC BE EC, 1 2 , ABC- 1 ACB- 2 ,即 3 4,又 CG AB, G 3 , 4 G CE EF又 CEG CEF,CEF GEC ,EG = CEEC 2 EG EF,故 EB 2 =EF EG 【解题技巧点拨】此题必需综合运用等腰三角形的三线合一的性质,线段的垂直平分线的性质和相像三角形的

5、基本图形来得到证明而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ,把原先处在同一条直线上的三条线段BE ,EF,EC 转换到相像三角形的基本图形中是证明此题的关键；FB FD例 2 已知：如图,AD 是 Rt ABC 斜 BC 上的高,E 是 AC 的中点,ED 与 AB 的延长线相交于F,求证：BA= AC证法一：如图,在Rt ABC 中, BAC Rt , AD BC, 3 C,又 E 是 Rt ADC 的斜边 AC 上的中点,1ED= 2AC EC, 2 C,又 1 2 , 1 3 ,第 2 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

6、- - - 名师总结 优秀学问点FB BD DFB AFD , DFB AFD ,FDAD（ 1）BD BA又 AD 是 Rt ABC 的斜边 BC 上的高, Rt ABD Rt CAD ,AD = AC（ 2）FB BA FB FD由（ 1 ）（ 2）两式得FD = AC,故BA = ACFB FD证法二：过点 A 作 AG EF 交 CB 延长线于点 G,就BA = AG（ 1）E 是 AC 的中点,ED AC, D 是 GC 的中点,又 AD GC , AD 是线段 GC 的垂直平分线, AG AC （2 ）FB FD由（ 1 ）（ 2）两式得：BA =AC,证毕；【解题技巧点拨】BD此

7、题证法中,通过连续两次证明三角形相像,得到相应的比例式,然后通过中间比“ AD” 过渡,使问题得证,证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论,三角形的中位线的判定,线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证一、如何证明三角形相像例 1、如图：点 G 在平行四边形ABCD 的边 DC 的延长线上 ,AG 交 BC、BD 于点 E、F,就 AGD F；A42FDAADB3 E1CDCGBCBE例 2、已知ABC 中, AB=AC , A=36 , BD 是角平分线,求证：ABC BCD 例 3：已知,如图,D 为 ABC 内一点连结ED、AD ,以 BC 为边在ABC 外作 CBE= ABD ,BC

8、E= BAD 求证：DBE ABC 例 4、矩形 ABCD 中, BC=3AB ,E、F,是 BC 边的三等分点,连结 似三角形？请证明你的结论；AE、AF 、AC,问图中是否存在非全等的相名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二、如何应用相像三角形证明比例式和乘积式例 5、 ABC 中,在 AC 上截取 AD ,在 CB 延长线上截取BE,使 AD=BE ,求证： DF AC=BCFE D；ADFDA1EEBKCB2CM例 6：已知：如图,在ABC 中, BAC=900 ,M 是 BC 的中点,

9、DM BC 于点 E,交 BA 的延长线于点求证：（ 1 ）MA2=MDME ；（ 2 ）AE2ME：FB ；AD2MD例 7 ： 如图 ABC 中, AD 为中线, CF 为任始终线, CF 交 AD 于 E,交 AB 于 F,求证： AE：ED=2AF三、如何用相像三角形证明两角相等、两线平行和线段相等；例 8 ：已知： 如图 E、F 分别是正方形ABCD 的边 AB 和 AD 上的点,且EBAF1；求证： AEF= FBD ABAD3AFGDDRQCACEDASCE1GFBBE FO32CEAPBOBFDADBC例 9、在平行四边形ABCD 内, AR 、BR、CP、DP 各为四角的平分

10、线,求证： SQ AB ,RP BC 例 10、已知 A 、C、E 和 B、F、 D 分别是 O 的两边上的点,且AB ED,BC FE,求证： AF CD 第 4 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点例 11、直角三角形 ABC 中, ACB=90 ,BCDE 是正方形, AE 交 BC 于 F,FG AC 交 AB 于 G,求证：FC=FG 例 12、Rt ABC 锐角 C 的平分线交AB 于 E,交斜边上的高AD 于 O,过 O 引 BC 的平行线交AB 于 F,求证：AE=BF 课后作业同学姓名所

11、属年级九年级辅导学科数学任课老师作业时限90 分钟布置时间月 日一、填空题1. 已知：在 ABC 中, P 是 AB 上一点,连结CP,当满意条件ACP= 或 APC= 或AC2= 时, ACP ABC 2. 两个相像三角形周长之比为4 9,面积之和为291 ,就面积分别是；3. 如图, DEFG 是 Rt ABC 的内接正方形,如CF8 ,DG 42 ,就 BE；4如图,直角梯形ABCD 中, AD BC,AD CD ,ACAB ,已知 AD 4 ,BC9 ,就 AC ；5 ABC 中, AB 15 ,AC 9 ,点 D 是 AC 上的点,且 长等于；AD=3 ,E 在 AB 上, ADE

12、与 ABC 相像,就 AE 的6. 如图,在正方形网格上画有梯形ABCD ,就 BDC 的度数为；第 5 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点,AD ,7. ABC 中,AB AC,A36 ,BC1 ,BD 平分 ABC 交于 D,就 BD 设 AB x, 就关于 x 的方程是 . 8如图, 已知 D 是等边 ABC 的 BC 边上一点, 把 ABC 向下折叠, 折痕为 MN ,使点 A 落在点 D 处,如 BD DC 2 3,就 AM MN= ；二、挑选题AD 19. 如图,在正 ABC 中, D、E 分

13、别在 AC 、AB 上,且 AC = 3,AE=BE ,就有（）A AED BED B AED CBD C AED ABD D BAD BCD 10 如图,在 ABC 中, D 为 AC 边上一点, DBC A, BC= 6 ,AC3 ,就 CD 的长为（）3 5A.1 B.2 C.2 D.211 如图, ABCD 中, G 是 BC 延长线上一点,有（）AG 与 BD 交于点 E,与 DC 交于点 F,就图中相像三角形共A3 对 B4 对 C 5 对 D6 对12 P 是 Rt ABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点,过点 P 作直线截 ABC ,使截得的三角形与 ABC 相像,满意这

14、样条件的直线共有（）A1 条 B.2 条 C3 条 D 4 条13 如图,在直角梯形 ABCD 中, AB 7 ,AD 2 ,BC=3 ,如在 AB 上取一点 P,使以 P、A、D 为顶点的三名师归纳总结 第 6 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 角形和以 P、B、C 为顶点的三角形相像,这样的名师总结优秀学问点D4 个P 点有（）A1 个B2 个C 3 个三、解答以下各题14. 如图,长方形 ABCD 中,AB=5 ,BC10 ,点 P 从 A 点动身,沿 AB 作匀速运动, 1 分钟可以到达 B 点,点Q 从 B 点动身,沿 BC

15、作匀速直线运动,1 分钟可到 C 点,现在点 P 点 Q 同时分别从 A 点、 B 点动身,经过多少时间,线段 PQ 恰与线段 BD 垂直？ 15 已知：如图,正方形 DEFG 内接于 Rt ABC ,EF 在斜边 BC 上, EHAB 于 H求证：（ 1 ） ADG HED ；（ 2 ）EF 2BE FC 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（答案）例 1 分析： 关键在找“ 角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,仍应结合详细的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角；本例除公共

16、角G 外,由 BC AD 可得 1=2,所以AGD EGC；再 1=2（对顶角）,由 AB DG 可得 4=G,所以EGC EAB ；例 2 分析： 证明相像三角形应先找相等的角,明显于运算也是一种常用的方法；证明： A=36 , ABC 是等腰三角形,C 是公共角,而另一组相等的角就可以通过运算来求得；借助 ABC= C=72 又 BD 平分 ABC ,就 DBC=36 在 ABC 和 BCD 中, C 为公共角, A= DBC=36 ABC BCD 例 3 分析：由已知条件 ABD= CBE , DBC 公用；所以 DBE= ABC ,要证的DBE 和 ABC ,有一对角相等,要证两个三角

17、形相像,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例；从已知条件中可看到 CBE ABD ,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决；BC证明： 在 CBE 和 ABD 中, CBE= ABD, BCE= BAD CBE ABD BC AB=BE BD即：=AB BDBE DBE 和 ABC 中, CBE= ABD, DBC 公用 CBE+ DBC= ABD+ DBC DBE= ABC 且BC=AB BD DBE ABC BE例 4 分析： 此题要找出相像三角形,那么如何查找相像三角形呢？下面我们来看一看相像三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“ 平行线型” 的相像三角

18、形BDAECBEADCDBACE2 如图：其中 1=2,就 ADE ABC 称为“ 相交线型” 的相像三角形；AADEAF 与 ECA 第 8 页,共 10 页B2E1D4BE1DB21AEC2CC3 如图： 1=2, B=D,就 ADE ABC ,称为“ 旋转型” 的相像三角形；观看此题的图形,假如存在相像三角形只可能是“ 相交线型” 的相像三角形,及名师归纳总结 解：设 AB=a ,就 BE=EF=FC=3a ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点；ECA 由勾股定理可求得AE=2 , 在 EAF 与 ECA 中, AEF 为公共角

19、,且AEEC2所以 EAF EFAE例 5 分析 ：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC ：AC,再利用相像三角形或平行线性质进行证明：证明：过 D 点作 DK AB ,交 BC 于 K,D2ADK AB , DF：FE=BK ：BE 1例 6 又 AD=BE , DF：FE=BK ：AD ,而 BK ：AD=BC ：AC BEC即 DF：FE= BC ：AC, DF AC=BC FE 证明： （1 ） BAC=90 0 ,M 是 BC 的中点, MA=MC , 1= C,DM BC , C= D=90 0 - B, 1= D, 2= 2 , MAE MDA ,MAME, M

20、A2=MDME ,MDMA2（2 ） MAE MDA ,AE MA,AE MEAE2AD MD AD MA AD评注： 命题 1 如图,假如 1= 2 ,那么ABD ACB ,AB 2 =AD命题 2 如图,假如 AB 2=AD AC,那么ABD ACB , 1= 2 ；MAMEMEMDMAMDAC ；例 7分析 ：图中没有现成的相像形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考虑作平行线构造相像形；怎样作？观看要证明的结论,紧紧扣住结论中 “ AE ：ED” 的特点, 作 DG BA 交 CF 于 G,得 AEF DEG ,AEAFDEDG与结论AE2AFAF相比较,明显问题转化为证DG1FB；E

21、DFB1 2BF2证明： 过 D 点作 DG AB 交 FC 于 G 就 AEF DEG ；（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相像）AE AF（1 ）DE DGD 为 BC 的中点,且 DG BFG 为 FC 的中点就 DG 为 CBF 的中位线,DG 1 BF（2 ）将（2 ）代入（ 1 ）得：2AE AF 2 AFDE 1 BF FB2例 8 分析： 要证角相等,一般来说可通过全等三角形、相像三角形,等边对等角等方法来实现,此题要证的两个角分别在两个三角形中,可考虑用相像三角形来证,但要证的两个角所在的三角形明显不行能相像（一个在直角三角形中,另一个在斜三

22、角形中）,所以证明此题的关键是构造相像三角形,证明： 作 FGBD ,垂足为 G；设 AB=AD=3k就 BE=AF=k,AE=DF=2k,BD=32 kAR ： ADB=450, FGD=900 DFG=450DG=FG=DF2kBG=32 k2 k22k2AFFG1AEBG20 AEF GBF AEF= FBD 又 A= FGB=90例 9分析：要证明两线平行较多采纳平行线的判定定理,但本例不具备这样的条件,故可考虑用比例线段去证明；利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标,挑选适当的比例线段；要证明SQ AB ,只需证明AS=BR ：DS；证明：在ADS 和 ARB 中；BR D

23、S这就要进行正确的挑选；第 9 页,共 10 页 DAR= RAB= 1 DAB , DCP= PCB=2AR BR但 ADS CBQ , DS=BQ ,就AS BQ1 ABC ADS ABR 2AR AS, SQ AB ,同理可证, RP BC 例 10 分析： 要证明 AF CD,已知条件中有平行的条件,因而有好多的比例线段可供利用,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点其实要证明 AF CD,只要证明 OA OF即可,因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可胜利；OC OD证明： AB ED,BC FEOA

24、 OB,OE OF两式相乘可得：OA OFOE OD OC OB OC OD例 11 分析：要证明 FC=FG,从图中可以看出它们所在的三角形明显不全等,但存在较多的平行线的条件,因而可用比例线段来证明；要证明 FC=FG ,第一要找出与 FC、 FG 相关的比例线段,图中与 FC、FG 相关的比例式较多,就应挑选与 FC、FG 都有联系的比作为过渡,最终必需得到 FC FG（“ ？” 代表相同的线段或相等的线段）,便. .可完成；证明：FG AC BE, ABE AGF 就有 GF AF而 FC DE AED AFC BE AE就有 CF AFGF CF AF又 BE=DE （正方形的边长相

25、等）DF GF,即 GF=CF ；DE AE BE DE AE BE BE例 12 证明： CO 平分 C, 2=3,故 Rt CAE Rt CDO ,AE ACOD CD又 OF BC,BF AB又 Rt ABD Rt CAD ,AC AB,即 AE BFAE=BF ；OD AD CD AD OD OD9一、 B、 ACB 、AP AB 2.48,243 3.4 4.6 5.5 或 5 6.135 7.1,1,x 2 -x-1=0 8.7 8 二、 9.B 10.C 11.D 12.C 13.C 1三、 14. 5 分钟 15.1（略）（2 ）证 GFC BED 16.1 证 BFD DGC

26、 和 BAD DAC ；（ 2 ）证 ABD ABE ；17.50m 40m 18. 证 ABC ACP 和证ABD ADP 19. （1 ）略（2 ）由（ 1 ）的结论和证 Rt ADC Rt CDB 即得；20.1 略（2 ）36cm 21. 先探究 AD 只能与 BC 成对应边,就BC CD BDAD =BD =AB,得 BD=100,BC=64 ,故 ABD BDC 22.在 ABC 中,作 ACG= E,CG 交 AB 于点 G,在 DEF 中,作 EFH= A,FH 交 DE 于点 H,直线 CG、FH就是所求的分割线；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页