2022年最全圆锥曲线知识点总结2 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 椭圆的定义 ：高中数学椭圆的学问总结直线 L ：x 2y=0 上,就此椭圆的离心率为_；2 2（3）试确定 m 的取值范畴,使得椭圆 x y 1 上有不同的两点关于直线 y 4 x m 对称；4 3特殊提示 ：由于 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称平面内一个动点P 到两个定点F 1,F 的距离之和等于常数（PF 1PF 22 aF F 1 2）,这问题时,务必别忘了检验0 ！个动点 P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆学问点的应用 1. 如何确定椭圆的标准方程？任何

2、椭圆都有一个对称中心,两条对称轴；当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式；此时,椭圆焦点在坐标轴上；留意： 如PF 1PF 2F F 2,就动点 P 的轨迹为线段F F ；如PF 1PF 2F F 2,就动点 P的轨迹无图形 .（1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时x2y21（a2b22 c ）x ya bcos sin（参数方程,其中a2b2确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标,由焦为参数）,焦点在 y 轴上时y2x2 1（ab0）；点坐标的形式确定标准方程的类型；a2b22. 椭圆标准方程中的三个量a,b ,c的几何意

3、义2. 椭圆的几何性质：2 2（ 1）椭圆 （以 x2 y2 1（a b 0）为例）：范畴：a x a , b y b ；焦点：a b两个焦点 c ,0；对称性：两条对称轴 x 0, y 0,一个对称中心（0,0 ）,四个顶点 a ,0,0, b ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2b ； 离心率：e c,椭圆 0 e 1, ea越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁；2 2（ 2）.点与 椭圆的位置关系：点 P x 0 , y 0 在椭圆外 x 02 y 02 1；a b2 2 2 2x 0 y 0 x 0 y 0点 P x 0 , y 0 在椭圆上 2 21；点 P x 0 , y 0 在椭

4、圆内 2 2 1a b a b3直线与圆锥曲线的位置关系：椭圆标准方程中,a,b,c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的外形大小所确定的；分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为：ab0,ac0,且a2b2c2；可借助右图懂得记忆：a,b ,c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边, b、c 为两条直角边；3如何由椭圆标准方程判定焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判定焦点位置的方法是：（1）相交：0 0直线与椭圆相交； （ 2）相切：0直线与椭圆相切；看2 x ,2 y 的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上；（3）相离：直线

5、与椭圆相离；2 2如: 直线 ykx 1=0 与椭圆 x y1 恒有公共点,就 m 的取值范畴是 _；5 m4. 焦点三角形 （椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）5. 弦长公式 ：如直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x 1 , x 分别为 A、B 的横坐标,就 AB 1 k 2x 1 x ,如 y 1 , y 分别为 A、B 的纵坐标,就 AB 1 12 y 1 y 2,如弦k2AB 所在直线方程设为 x ky b ,就 AB 1 k y 1 y ；4方程 Ax 2 By 2 C A , B , C 均不为零）是表示椭圆的条件2 2 2 2方程 Ax 2 By 2 C 可

6、化为 Ax By 1,即 x By 1,所以只有 A、B、C同号,C C C CA B且 A B 时,方程表示椭圆； 当 C C时,椭圆的焦点在 x 轴上； 当 C C时,椭圆的焦点在 yA B A B6. 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“ 韦达定理” 或“ 点差法”求解；在 椭圆1 轴上；第 1 页,共 6 页x2y21中,以P x0,y 0为中点的弦所在直线的斜率k=b2x 0；5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再22a2y 0；ab由条件确定方程中的参数a,b,c的值；其主要步骤是“ 先定型,再定量” ；如（

7、 1）假如椭圆x2y21弦被点 A（4,2）平分,那么这条弦所在的直线方程是369定义法：由已知条件判定出动点的轨迹是什么图形,然后再依据定义确定方程；（2）已知直线y=x+1 与椭圆x2y21 ab0相交于 A、 B 两点,且线段AB 的中点在6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异a2b2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 共 焦 点 , 就c相 同 ； 与 椭 圆x2y21ab0 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可 设 为2 例 3.已知 P 为椭圆x2y21上的一点,M N 分别为圆x32y21和圆222516abax2mb2y2m1mb

8、2,此类问题常用待定系数法求解；x32y24上的点,就PMPN 的最小值为2题型 2： 求椭圆的标准方程7判定曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的依据：例 1、求满意以下各条件的椭圆的标准方程. 1经过两点A 3,2,B 2 3,1； 如把曲线方程中的x 换成x ,方程不变,就曲线关于y 轴对称；2经过点 2, 3且与椭圆9x24y236具有共同的焦点； 如把曲线方程中的y 换成y ,方程不变,就曲线关于x轴对称；3一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为42 4. 如把曲线方程中的x 、 y 同时换成x 、y ,方程不变,就曲线关于原点对称；题型 3:求椭圆的离

9、心率例 1、ABC中,A30 ,AB2,SVABC3,如以A B 为焦点的椭圆经过点C ,就椭圆的8如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的运算问题？离心率为. 思路分析：与焦点三角形PF1F2 有关的运算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式SPF1F21PF 1PF 2sinF 1PF 2相结合的例 2、过椭圆的一个焦点F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P,如F PF 为等腰直角三角形,就椭2圆的离心率为方法进行运算解题；题型 4:椭圆的其他几何性质的运用（范畴、对称性等）将有关线段PF 1、PF2、F 1F 2,有关角F 1PF2 F 1PF2F 1

10、BF2 结合起来,建立例 1.已知实数,x y 满意x2y21,就x2y2x的范畴为PF 1PF 2、PF 1PF 2之间的关系 . 429如何运算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？例 2.已知点A B 是椭圆2 xy21（m0,n0uuur）上两点 ,且 AOuuur BO,就= 2 mn2长 轴 与 短 轴 的 长 短 关 系 决 定 椭 圆 形 状 的 变 化 ； 离 心 率ec0e1, 因 为a题型 5：焦点三角形问题c2a2b2,ac0,用a、 表示为e1b2 0e1；例 1.已知F 1,F 为椭圆x2y21的两个焦点, p 为椭圆上的一点,已知P F 1,F 为一个直角三94a明显：当

11、b 越小时,ae 0e1越大,椭圆外形越扁；当b 越大,ae 0e1越小,角形的三个顶点,且PF 1PF ,求 2PF 1的值 . PF 2椭圆外形越趋近于圆；题型 1:椭圆定义的运用例 2.已知F 1,F 为椭圆 C:x2y21的两个焦点,在C 上满意PF1PF 的点的个数为. 例 1.已知F F 为椭圆x2y21的两个焦点,过F 的直线交椭圆于A 、B 两点如84例 3.已知椭圆的焦点是F 1 ,01 ,F 21,0,且离心率e1 求椭圆的方程 ; 设点 P 在椭圆2592F AF B12,就 AB_. 上,且PF 1PF 21,求 cosF1PF2. 例 2.假如方程x2ky22表示焦点

12、在x 轴的椭圆,那么实数k 的取值范畴是 _. 第 2 页,共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型 6: 三角代换的应用3.椭圆x2y21的一条弦被A4,2平分 ,那么这条弦所在的直线方程是例 1.椭圆x2y21上的点到直线l:xy90的距离的最小值为_3691694. 如F 1,F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点 ,如PF F2:PF F 1:F PF21: 2 :3, 就此椭例 2.椭圆x2y21的内接矩形的面积的最大值为圆的离心率为1695.在平面直角坐标系中,椭圆x2y21 ab0的焦距为 2c,以 O 为圆心, a

13、 为半径的圆,题型 7：直线与椭圆的位置关系的判定a2b2例 1.当 m 为何值时,直线yxm与椭圆x2y21相交？相切？相离？过点a2,0作圆的两切线相互垂直,就离心率e = 169c例 2.如直线ykx1 kR 与椭圆x2y21恒有公共点,求实数m 的取值范畴；双曲线 基本学问点5m题型 8：弦长问题例 1.求直线y2x4被椭圆4x2y21所截得的弦长 . 标准方程（焦点在x 轴）标准方程（焦点在y 轴）99例 2.已知椭圆x2y21的左右焦点分别为F1,F2,如过点 P（ 0,-2）及 F1 的直线交椭圆于A,B双曲线x2y21a0,b0y2x21 a0,b0a2b2a2b22两点,求

14、ABF 2 的面积；题型 9：中点弦问题定义：平面内与两个定点1F ,F 的距离的差的肯定值是常数（小于 2F F 2）的点的轨迹叫例1. 求以椭圆x2y21内的点 A（2,-1）为中点的弦所在的直线方程；双 曲 线 ； 这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的 焦 点 , 两 焦 点 的 距 离 叫 焦 距 ；85MMF 1MF22a2aF 1F2例 2. 中心在原点,一个焦点为F 10,50的椭圆截直线y3x2所得弦的中点横坐标为1,定义Pyyyy2求椭圆的方程xxF2例 3. 椭圆mx2ny21 与直线xy1相交于 A、B 两点,点 C 是 AB的中点如AB2 2,F 1F 2x xO

15、C的斜率为2（O为原点）,求椭圆的方程PF 12巩固训练范畴xa, yRya , xR1. 如图 ,椭圆中心在原点,F 是左焦点 ,直线AB 与 BF 交于 D,且BDB1=90o,对称轴x 轴 , y 轴；实轴长为 2a , 虚轴长为 2b就椭圆的离心率为2.设F 1,F 为椭圆x2y21的两焦点, P 在椭圆上,当F PF 面积为 1 时,uuur PF 1uuur PF 2的值为3 对称中心原点O0,0F2 ,0F 10,cF 20, 第 3 页,共 6 页4焦点坐标F 1c,0名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点在实轴上,ca2

16、2 b；焦距：F F 22 ca,b 这两4 x2y21x2y21916169顶点坐标（a ,0 ） a ,0 0, a , 0, a x2y21y3x2y21y3169169离心率ec12 b,e1同步练习一 : 假如双曲线的渐近线方程为y3x ,就离心率为（）4a2 a5 35 45 3或5 43渐近线ybxyax方程ab例 2、已知双曲线x2y21的离心率为e2,就 k 的范畴为（）共渐近线x2y2k（k0）y2x2k（k0）4k12k1k0的双曲线22225k012k0abab系方程同步练习二 : 双曲线x2y21的两条渐近线相互垂直,就双曲线的离心率为双曲线x2y21与直线 ykxb

17、 的位置关系：2b2a例 3、设 P 是双曲线x2y21 上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F 1,F 2分别是a2b22a9直线和双利用x2y21转化为一元二次方程用判别式确定；双曲线的左、右焦点,如PF 13,就PF 2的值为a22 b同步练习三 : 如双曲线的两个焦点分别为0,2 0 2, ,且经过点2,15,就双曲线的标准方程曲线的位ykxb置二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行；为；相交弦 AB的弦长AB1k2x 1x224x x 2例 4、以下各对曲线中,即有相同的离心率又有相同渐近线的是（）补充学问点：2 Ax3-y2 2=1 和 y92-x3=1 Bx2-y2=1

18、和 y2 2- x3=1 3等轴双曲线的主要性质有：Cy2 2- x3=1 和 x2 2- y3=1 Dx2-y2=1 和x2-y2=1 （1）半 实轴 长=半虚轴长（一般而言是a=b,但有些地区教材版本不同,不肯定用的是393个字母）；同步练习四 : 已知双曲线的中心在原点,两个焦点F 1,F 2分别为 5 0, 和 5 0, ,点 P 在双曲线（2）其标准方程为x2y2C ,其中C0；（3）离心率e2；上且PF 1PF ,且PF F2的面积为 1,就双曲线的方程为（）x2y21x2y21x22 y12 xy21（4）渐近线 ：两条渐近线y= x 相互垂直；233244例题分析：例 5、与双

19、曲线x2y21有共同的渐近线,且经过点A ,323 的双曲线的一个焦点到一条例 1、动点 P 与点F 10 5, 与点F20,5满意PF 1PF 26,就点 P916的轨迹方程为（）渐近线的距离是（）名师归纳总结 （A）8 （B）4 （ C）2 （D）1 第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同步练习五 : 以y3x为渐近线,一个焦点是F（0, 2）的双曲线方程为_. 4. （ 2022 年高考湖南卷文科6 设双曲线x2y21 a0的渐近线方程为43x2y0,就 a 的例 6、以下方程中,以x 2y=0 为渐近线的双曲线方程是2a9值

20、为（）Ax2y21Bx2y21Cx2y21Dx2y21A4 B3 C 2 D1 164416221的离心率为5 ,5.【2022 高考江苏 8】（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中,如双曲线2 xy2同步练习六 : 双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点是 0 ,3 ,那么 k 的值是m2 m例 7、经过双曲线x2y21的右焦点 F2作倾斜角为30 的弦 AB,就 m 的值为x22py抛物线3y22px2 y2pxx22py（1）求 |AB|. p0 p0 p0 p0 （2） F1是双曲线的左焦点,求F1AB的周长抛l y y l y y l 物同步练习七过点（0,3）的直线 l 与双曲线

21、x2y21只有一个公共点,求直线l 的方程；O x 线O F x F O x O F x F 43l 高考真题分析1.【 2022 高考新课标文10】等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, C 与抛物线y216x5 定义平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线；的准线交于A B 两点,AB4 3；就 C 的实轴长为（）MMF=点 M到直线 l 的距离 A2B2 2CD范畴x0,yRx0,yRxR y0xR y02. 【 2022 高考山东文11】已知双曲线C ：2 x2 a2 y2 b1 a0,b0的离

22、心率为2. 如抛物线对称性关于 x 轴对称关于 y 轴对称焦点p ,0 2p ,0 20,p 20,p 2C2:x22py p0的焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2,就抛物线C 的方程为 A x28 3yB x216 3yCx28yDx216y焦点在对称轴上33顶点O0,03. 【2022 高考全国文10】已知1F 、F 为双曲线C:x2y22的左、右焦点,点P 在 C 上,e=1 离心率|PF 1| 2 |PF2|,就cosF PF 2准线xpxpypyp2222（A）1 4（B）3 5（C）3 4（D）4 5方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等；顶点到准p名师归纳总结 线的距离2第

23、 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点到准 线的距离p6 联立方程法：y2kxbk2x22kbpxb20焦半径AFx 1pAFx 1pAFy 1pAFy 1py2pxA x 1,y 12222设交点坐标为A x 1y 1,B x2y 2,就有0 , 以及x 1x 2,x 1x 2,仍可进一步求出焦 点弦长 ABx 1x 2px 1x2py 1y2py 1y2py 1y2kx 1bkx 2bk x 1x 22 b,yA x y 1 1y 1y2kx 1bkx 2b k2x 1x2kb x 1x 2b2在涉及弦长,中点,对称,面积等问题

24、时,常用此法,比如oFx 1 相交弦 AB的弦长焦点弦B x 2,y 2AB1k2x 1x 21k2x 1x 224x 1x 21k2aAB 的几或AB11y 1y211y 1y 224y 1y21k2a条性质以 AB 为直径的圆必与准线l 相切k2k2A x 1,y 1如 AB 的倾斜角为,就AB2p如 AB 的倾斜角为,就AB2p（2）. 中点Mx 0y0, x 0x 12x 2,y0y 12y222 cossinB x2,y 2点差法：x x 2p2y y 1 2p2设交点坐标为A x 1y 1,Bx 2y 2,代入抛物线方程,得411AFBFAB2y 122px 1y 222 px 2

25、将两式相减,可得y 1y 2y 1y 22px 1x 2y 1y22pAFBFAF.BFAF.BFp切线y yp xx 0y y 0p xx 0x xp yy 0x x 0p yy 0x 1x2y 1y2方程1、直线与抛物线的位置关系（1）在涉及斜率问题时,k AB2p2直 线l:ykxb , 抛 物 线C:y22px ,由ykxb, 消y 得 ：y 1y2 y2px（ 2 ） 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 , 设 线 段 AB 的 中 点 为Mx 0y 0,（1）当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点；y 1y2y 12p22pp,即kABp,x 1x2y2y0

26、y0y0（2）当 k 0 时, 0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点； =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点；同理,对于抛物线x22pyp0,如直线 l 与抛物线相交于A、B两点,点Mx 0y0 0,直线 l 与抛物线相离,无公共点；（3）如直线与抛物线只有一个公共点, 就直线与抛物线必相切吗 .（不肯定）是弦 AB 的中点,就有k ABx 12x 22x0x0（留意能用这个公式的条件：1）直线1、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法p2pp直线 l ：ykxb抛物线C:y22px , p0与抛物线有两个不同的交点,2）直线的斜率存在,且不等于零）名师归纳总结 第 6 页,共 6 页- - - - - - -