2022年梅开萍“导数在分析研究函数中的应用”教学案例 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - “ 导数在争论函数中的应用” 教案案例导言： 高中数学内容抽象,推理严谨,应用广泛,难教难学,已成为横跨在相当一部分学子面前一道难以逾越的“坎”,不少同学不免谈 “数”色变,敬而远之,乃至发出数学在时时“磨练我们 ”的赞叹 .笔者从高校毕业始终从事中学数学的课堂教案与教案争论,通过几年的探究发觉：要想提高课堂效率,就必需改变传统的“ 填鸭式” 教案让同学成为课堂的主人,并积极引导同学要善于从数学的基本问题与特点动身,善于用数学的思想与方法驾驭数学学问！设计理念： 依据新课程高中数学的教案实际及本节课的内容特点,本课时的教案先从几个基本问题入手,

2、在解决基本问题的过程中唤起同学对基础学问、基本方法、基本技能的回忆,充分表达了 “学数学就是做数学 ”的理念 .；通过变式训练来凸现“ 数学思维与思想方法” 、显现数学问题的紧密联系性,让同学初步感知数学的自然、简约与美好；通过同学自编练习来培育同学的发散性思维和制造性潜能 . 教案目标：1、学问目标：把握利用导数求函数单调区间、极值、最值的一般方法,理解极值、最值区分与联系 . 2、才能目标：通过本节内容的教案,渗透数形结合、化归等重要数学思想,增强同学数形结合才能与化归意识,培育同学的制造性潜能 . 3、情感目标：通过利用表格争论函数单调性与数形结合的应用,让同学亲身体验数学的简约美,感受

3、极值、最值的和谐统一美,激发同学“ 学好数学”的乐趣,增强同学“ 学好数学” 的信心 . 教案重点： 能利用导数求一些初等函数的单调区间、极值、最值 . 教案难点： 导数在争论函数中的综合应用 . 教案过程实录：1 基本问题：再现学问,夯实“ 双基 ”老师：牛顿、莱布尼兹创立了微积分,导数作为微积分的重要组成部分,进入了中学教材,有了导数这个工具,我们争论函数如虎添翼 .这节课我们从一个基本问题动身,来一次利用导数争论函数的探究之旅问题 1 已知函数 . （1） 求 单调区间； 2）的极值 . 同学1板演）：解： 1）1 / 7 .请看下面的问题：名师归纳总结 - - - - - - -第 1

4、 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 令得：或；令得：的单调递增区间为时,单调递减区间为时,有极2）由1）可知,当有极大值；当小值. 老师：你能依据已经解决的两个问题,画出 同学众：能！的大致图象吗？老师：请画出 的大致图象 一名同学到黑板上画）老师：请大家对这位同学画的图与屏幕上 同学画的图的评判略） O -1 1 2 “几何画板 ”画的图作一下比较 对老师：从的图象看,在上有无最大值、最小值？上无最大值、同学2：由于的图象无最高点、最低点,所以在最小值 . 老师：很好 .假如将定义域限制在闭区间上呢？同学3：在闭区间上必有最大值和最小值. 老师：为什么？同学3：

5、是可导函数,在闭区间上连续,所以必有最大值和最小值. 老师：不错,这位同学的基本功很扎实.现在请同学们解决问题 2. 问题2 求函数,的最大值、最小值 . 同学4板演）：在问题 1的基础上,列表如下：2 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0 0,）,2）2 2,）4 0 0 0 0 . 同学3：利用的图象可以直接求出的无最大值、最小值 . 老师：太棒了！同学 4从数的角度解决了问题 2,同学 3从形的角度解决了问 题2.假如把这两位同学结合起来,也就是把数跟形结合起来了 .同学 4采纳了 表格,不仅单调性表示

6、得很清晰,而且最大值、最小值也很明显,真可谓 是“一举两得 ”；而同学 3采纳图象,让我们从直观上看到函数增减性很最值,可谓是各有千秋啊！他们的共同点是：简洁明白 . 老师：力求简约,追求杰出,是数学的一大魅力.数学实际上很美,只是我们缺少了审美的眼光！有人说数学是无声的诗、立体的画,而我个人认为数学犹如音乐般漂亮,可以说“音乐是感性的数学,数学乃理性的音乐”,你听说过吗？同学众：没有！老师：要学好数学、玩好数学,我们需要一双慧眼,去努力挖掘蕴涵数学 之中的美 如图形美、结构美、对称美、简洁美、和谐美等等,要学会到处体验数学 的自然、简约与美好！老师：问题 1与问题 2说明利用导数可以争论函数

7、的哪些性质？如何争论？同学众：其一,求函数的单调区间；其二,求函数的极值；其三,求函数 的最值 .方法从略）老师：这三类问题是利用导数争论的主要问题,刚才同学们归纳得相当不 错,说明大家对导数的应用有了较深刻的熟悉 . 老师：学数学假如到这里就停下来,那你确定称不上是一个数学“高手 ”,至少你是一个学数学很累的人！那么怎样才能学好数学？我们不仅要把握数学的学问,而且更要增强用数学思维去懂得、摸索与解决问 题的意识！下面我们将问题 1、2进行变式,第一将 3 / 7 的解读式中的一次项系数改为名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - -

8、- - ,就成为含参数的函数了,得到如下的变式1,请同学们摸索 . 2 变式练习：学问迁移,触类旁通变式1 已知函数. 在1,2）上为减函数,在 2,）上为增函数,求实数的值. ,由已知,是的微小值点,所以同学5：,得老师：这样做有没有缺陷？同学3：仍要检验,不过经过检验室符合的 . 老师：很好,假如去掉 “在：由已知,对恒成立,所以,解得. 在上的单调性老师：我们临时把这个问题搁置一下,来争论函数与其导函数的关系 . 同学：,所以函数在上是减函数 . 老师：回头看前面的解法有无问题？同学 1：有点小问题 .应当是对对恒成立,下同 . 同学 2：我仍有一种解法 .由前面的解法,得恒成立,而当时

9、,所以. 老师：已知含参数的函数在某区间上是增减）函数,求参数的范畴问题,通常利用 “如 是特别数函数,且为可导函数,就 在某区间 上是增 减）函数 某区间 上恒有” .转化为含有参数的不等式恒成立问题,同学 1利用了二次函数的图象的性质,同学 方法 .再来解决变式 2. 2利用了参数分别法,都是常用的变式2 已知函数在处有微小值,求的值 . .由已知同学6板演）：.令,得或4 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - .是函数的微小值点,. 老师：变式 2是问题 2第2）小题的逆向问题：已知含参数的函数的极值点,求

10、参数问题 .请同学们归纳解决的策略. ”得到同学7：利用 “可导函数在点处有极值的必要条件是关于参数的方程,解出方程的根,再检验. 老师：完全正确,再来解决变式3. 变式3 设函数,是否有 “对任意不等式恒成立 .”请说明理由 . 意同学3：由问题 3知,在上的最大值为. ,最小值为 0,所以对任恒有老师：这种方法你是怎么想到的？同学3：从 的图象得到启示 . 老师：讲得很在理,函数图象是争论函数不行或缺的工具,在今后可别忘了它的作用！变式 3实际上是证明某区间上任意两个函数值的差的确定值小于某正常数,我们的策略是转化为证明最大值与最小值的差小于此正常数,当然有一个前提是 同学众：在此区间上有

11、最大值与最小值 . 代入同学1：我的想法是将,行吗？老师：这位同学爱动脑筋,这种方法请课后取探讨 目,就叫变式 4吧. 3编题练习：提升才能,进展思维.现在请同学们编一道题同学 4：我编的题目是： 变式4）已知函数 的图象与直线 有相异的三个公共点,求实数 的取值范畴 .改为有相异的两个公共点呢？改为有相异的一个公共点呢？老师：你们觉得这位同学编的题目如何？同学：很有创意！老师：同学们仍可以编出很多其他问题,请课后连续争论,现在请同学们5 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解决这个问题 变式 4）. 同学：由

12、图象可得当 时,函数 的图象与直线有相异的三个公共点；当 或 时,有相异的两个公共点；当 或 时,有一个公共点 . 老师：同学 4编的题目是方程的根的个数问题,可以归结为函数的极值问题,同学们既能编题,也能解题,表达了较高的数学素养 这节课的感受 . 4 体验过程：完善同学认知,进展同学才能 同学 4：想不到我也会编题 . .现在请同学们谈谈学习同学 2：很多利用导数争论函数的问题可以归结为三类基本问题：求单调 区间、求极值与求最值 . 同学 5：在解决数学问题时,我们要留意各个问题的内在联系与不同之处,今后我要加强变式练习和编题练习 . 同学 6：利用导数解决同学 2提出的三类基本问题的一般

13、步骤为：1）求导 3）在定义域范畴内详细解决问题 . 函数 2）列表或作图来分析原函数的单调性 详细方法从略）老师：特别好！前面几位同学都发表自己的感受,也总结了本节课的主要 内容 .我想其他同学也肯定有自己的感受,课后大家要好好沟通沟通,这节课我 们就上到这里！5教案反思：1、本节课没有采纳传统的数学复习课教案模式：学问归纳 例题讲解 反馈练习,而是一开头出现了问题1和问题 2,在解决问题的同时唤起同学对基础学问、基本方法、基本技能的回忆,充分表达了“学数学就是做数学 ”的理念 .然后,以同学的已有学问利用导数能求单调区间、极值、最值这一认知基础动身,让同学在新的问题情 境中,引导同学运用作

14、图、猜想、归纳、验证等方法解决问题,在问题解决过 程中获得新知,让同学逐步体会到数学问题的紧密联系,从而进一步完善数学 . 认知结构 .假如我们长期坚持这样去做,同学的制造潜能肯定会得到充分进展2、假如说数学新授课教案实现学问“从薄到厚 ”的话,那么数学复习课教案 6 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 应实现 “从厚到薄 ” .本节课紧紧抓住了利用导数争论函数的三类基本问题这一核心,变式 1和变式 2作为这三类问题的逆向问题,解决问题的思想方法与原问题一脉相承,变式 3和变式 4最终可以转化为这三类问题,正所

15、谓“万变不离其宗 ”.变式教案在培育同学数学技能和思维品质等方面不仅特别有效,而且特别有用,在教案中我们肯定要充分运用.在复习课中,从一个有价值的基本问题动身,进而变换问题的条件、结论、逆向思维、变更设问方式,这样复习课就会成为同学数学探究的重要阵地 . 3、对于基础较好的班级,仍可以让同学探究如下变式：当 时,求证：不等式 对 恒成立 .一方面,引导同学从形的角度去探究,可以利用 “几何画板 ”进行动态演示,揭示问题的几何背景；另一方面,引导同学从数的角度去探究,把问题转化为函数的最值问题,进一步让同学感悟转化思想 . 4、教无定法,老师应依据本班的实际情形敏捷支配教案步骤,切实把关注同学的进展放在首位来考虑,并依此制定合理而科学的教案方案 .如,对于较好的班级,就可以优先进展,实行居高临下的教案思路,先整体把握再对比击破,或是将其纳入整体结构系统,实行类比的学习方式；而对于基础较薄弱的班级,就应以提高学习爱好、教会学习、培育胜利体验为主,千万不行拔苗助长,以防物极必反 . 总体来讲,我在教案中深刻的体会到新教材与以往的不同,新教材以同学为本的教案理念始终贯穿本课.我对自己教授本课基本上是中意的,完成了制定的教案目标 .但有些细节仍有待完善,在今后的工作中我将会改进 .7 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页